Conjunto estacionario

En matemáticas , específicamente en teoría de conjuntos y teoría de modelos , un conjunto estacionario es un conjunto que no es demasiado pequeño en el sentido de que interseca todos los conjuntos de club y es análogo a un conjunto de medida distinta de cero en la teoría de la medida . Hay al menos tres nociones estrechamente relacionadas de conjunto estacionario, dependiendo de si uno está mirando subconjuntos de un ordinal , o subconjuntos de algo de cardinalidad dada , o un conjunto potencia .

Si es un cardinal de cofinalidad incontable , e interseca todo conjunto de tréboles en entonces se denomina conjunto estacionario . ^[1] Si un conjunto no es estacionario, se denomina conjunto delgado . Esta noción no debe confundirse con la noción de conjunto delgado en teoría de números . ${\estilo de visualización \kappa}$ ${\displaystyle S\subseteq \kappa ,}$${\estilo de visualización S}$ ${\displaystyle \kappa ,}$${\estilo de visualización S}$

Si es un conjunto estacionario y es un conjunto de clubes, entonces su intersección también es estacionaria. Esto se debe a que si es cualquier conjunto de clubes, entonces es un conjunto de clubes, por lo tanto no está vacío. Por lo tanto, debe ser estacionario. ${\estilo de visualización S}$${\estilo de visualización C}$${\displaystyle S\cap C}$${\estilo de visualización D}$${\estilo de visualización C\cap D}$${\displaystyle (S\cap C)\cap D=S\cap (C\cap D)}$${\displaystyle (S\cap C)}$

Véase también : Lema de Fodor

La restricción a la cofinalidad incontable se aplica para evitar trivialidades: supongamos que tiene cofinalidad contable. Entonces es estacionario en si y solo si está acotado en . En particular, si la cofinalidad de es , entonces dos subconjuntos estacionarios cualesquiera de tienen intersección estacionaria. ${\estilo de visualización \kappa}$${\displaystyle S\subseteq \kappa}$${\estilo de visualización \kappa}$${\displaystyle \kappa \setminus S}$${\estilo de visualización \kappa}$${\estilo de visualización \kappa}$${\displaystyle \omega =\aleph _ {0}}$${\estilo de visualización \kappa}$

Esto ya no es así si la cofinalidad de es incontable. De hecho, supongamos que es además regular y estacionario. Entonces se puede dividir en muchos conjuntos estacionarios disjuntos. Este resultado se debe a Solovay . Si es un cardinal sucesor , este resultado se debe a Ulam y se muestra fácilmente por medio de lo que se llama una matriz de Ulam . ${\estilo de visualización \kappa}$${\estilo de visualización \kappa}$${\displaystyle S\subseteq \kappa}$${\estilo de visualización S}$${\estilo de visualización \kappa}$${\estilo de visualización \kappa}$

H. Friedman ha demostrado que para cada ordinal sucesor contable , cada subconjunto estacionario de contiene un subconjunto cerrado de tipo de orden . ${\estilo de visualización \beta}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\estilo de visualización \beta}$

También existe una noción de subconjunto estacionario de , para un cardinal y un conjunto tales que , donde es el conjunto de subconjuntos de de cardinalidad : . Esta noción se debe a Thomas Jech . Como antes, es estacionario si y solo si cumple con cada club, donde un subconjunto de club de es un conjunto no acotado bajo y cerrado bajo la unión de cadenas de longitud como máximo . Estas nociones son en general diferentes, aunque para y coinciden en el sentido de que es estacionario si y solo si es estacionario en . ${\displaystyle [X]^{\lambda }}$${\estilo de visualización \lambda}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle |X|\geq \lambda }$${\displaystyle [X]^{\lambda }}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización \lambda}$${\displaystyle [X]^{\lambda }=\{Y\subseteq X:|Y|=\lambda \}}$${\displaystyle S\subseteq[X]^{\lambda}}$${\displaystyle [X]^{\lambda }}$${\displaystyle \subseteq}$${\estilo de visualización \lambda}$${\displaystyle X=\omega _{1}}$${\displaystyle \lambda =\aleph _{0}}$${\displaystyle S\subseteq[\omega_{1}]^{\omega}}$${\displaystyle S\cap\omega_{1}}$${\displaystyle \omega _{1}}$

La versión apropiada del lema de Fodor también es válida para esta noción.

Existe una tercera noción, de naturaleza teórica de modelos y a la que a veces se denomina estacionariedad generalizada . Esta noción probablemente se deba a Magidor , Foreman y Shelah y también ha sido utilizada de forma destacada por Woodin .

Sea ahora un conjunto no vacío. Un conjunto es club (cerrado e ilimitado) si y solo si existe una función tal que . Aquí, es la colección de subconjuntos finitos de . ${\estilo de visualización X}$${\displaystyle C\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$${\displaystyle F:[X]^{<\omega }\to X}$${\displaystyle C=\{z:F[[z]^{<\omega }]\subseteq z\}}$${\displaystyle [y]^{<\omega }}$${\estilo de visualización y}$

${\displaystyle S\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$es estacionario en si y solo si cumple cada subconjunto del club de . ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$

Para ver la conexión con la teoría de modelos, observe que si es una estructura con universo en un lenguaje contable y es una función de Skolem para , entonces un estacionario debe contener una subestructura elemental de . De hecho, es estacionario si y solo si para cualquier estructura de este tipo existe una subestructura elemental de que pertenece a . ${\estilo de visualización M}$ ${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización F}$${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización S}$${\estilo de visualización M}$${\displaystyle S\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización S}$

• "Conjunto estacionario". PlanetMath .