péndulo de Foucault

El péndulo de Foucault es un sencillo dispositivo que recibe su nombre del físico francés Léon Foucault y fue concebido como un experimento para demostrar la rotación de la Tierra . Si se observa durante un tiempo prolongado un péndulo largo y pesado suspendido de un techo alto sobre un área circular, su plano de oscilación parece cambiar espontáneamente a medida que la Tierra realiza su rotación de 24 horas . Este efecto es mayor en los polos y disminuye con la latitud hasta desaparecer por completo en el ecuador terrestre .

Foucault introdujo su péndulo en 1851 en el primer experimento que proporcionó evidencia simple y directa de la rotación de la Tierra, la cual demostró posteriormente en 1852 con un experimento de giroscopio . Los péndulos de Foucault se han popularizado en museos de ciencia y universidades. ^{[ 1 ]}

Foucault se inspiró al observar una varilla delgada y flexible en el eje de un torno , que vibraba en el mismo plano a pesar de la rotación del bastidor de soporte del torno. ^{[ 2 ]}

La primera exhibición pública de un péndulo de Foucault tuvo lugar en febrero de 1851 en el Meridiano del Observatorio de París . Unas semanas más tarde, Foucault creó su péndulo más famoso al suspender una masa de plomo recubierta de latón de 28 kilogramos (62 libras) con un cable de 67 metros (220 pies) de largo de la cúpula del Panteón de París .  

Debido a que la latitud de su ubicación era${\displaystyle \phi =\mathrm {48^{\circ }52'N} }$El plano de oscilación del péndulo describió un círculo completo en aproximadamente${\textstyle {\frac {\mathrm {23h56'} }{\sin \phi }}\approx \mathrm {31.8\,h} \;(\mathrm {31\,h\,50\,min} )}$, girando en el sentido de las agujas del reloj aproximadamente 11,3° por hora. El período propio del péndulo era aproximadamente${\textstyle 2\pi {\sqrt {l/g}}\approx 16.5\,\mathrm {s} }$, de modo que con cada oscilación, el péndulo gira aproximadamente${\displaystyle 9.05\times 10^{-4}\mathrm {rad} }$Foucault informó haber observado una desviación de 2,3 mm en el borde de un péndulo en cada oscilación, lo cual se logra si el ángulo de oscilación del péndulo es de 2,1°. ^{[ 2 ]}

Foucault explicó sus resultados en un artículo de 1851 titulado Demostración física del movimiento de rotación de la Tierra mediante el péndulo , publicado en los Comptes rendus de l'Académie des Sciences . Escribió que, en el Polo Norte: ^{[ 3 ]}

...el movimiento oscilatorio de la masa del péndulo describe un arco de círculo cuyo plano es bien conocido y al que la inercia de la materia le asegura una posición inmutable en el espacio. Si estas oscilaciones se prolongan durante un tiempo, el movimiento de la Tierra, que continúa girando de oeste a este, se hará perceptible en contraste con la inmovilidad del plano de oscilación, cuya huella en la Tierra parecerá animada por un movimiento coherente con el movimiento aparente de la esfera celeste; y si las oscilaciones se perpetuaran durante veinticuatro horas, la huella de su plano completaría una revolución entera alrededor de la proyección vertical del punto de suspensión.

El bob original utilizado en 1851 en el Panteón fue trasladado en 1855 al Conservatorio de Artes y Oficios de París. Se realizó una segunda instalación temporal para el 50 aniversario en 1902. ^{[ 4 ]}

Durante la reconstrucción del museo en la década de 1990, el péndulo original se exhibió temporalmente en el Panteón (1995), pero luego fue devuelto al Musée des Arts et Métiers antes de su reapertura en 2000. ^{[ 5 ]} El 6 de abril de 2010, el cable que sostenía la masa del péndulo en el Musée des Arts et Métiers se rompió, causando daños irreparables a la masa del péndulo y al suelo de mármol del museo. ^{[ 6 ] [ 7 ]} La masa del péndulo original, ahora dañada, se exhibe en una vitrina separada junto a la exhibición actual del péndulo.

Una réplica exacta del péndulo original ha estado funcionando bajo la cúpula del Panteón de París desde 1995. ^{[ 8 ]}

Animación de un péndulo de Foucault en el hemisferio norte, con la velocidad y amplitud de rotación de la Tierra muy exageradas. La línea verde muestra la trayectoria de la masa del péndulo sobre el suelo (un sistema de referencia giratorio), mientras que la masa se mueve en los planos verticales correspondientes. El plano de oscilación real parece girar con respecto a la Tierra: sentado a horcajadas sobre la masa como en un columpio, la fuerza ficticia de Coriolis desaparece: el observador se encuentra en un sistema de referencia de "rotación libre". El cable debe ser lo más largo posible; longitudes de 12 a 30  m (40 a 100  pies) son comunes. ^{[ 9 ]}

Péndulo de Foucault animado, pero con una trayectoria en el suelo que no corresponde a una masa lanzada sin velocidad inicial.

Un péndulo de Foucault en el Polo Norte: El péndulo oscila dentro de un solo plano mientras la Tierra rota debajo de él.

La animación describe el movimiento de un péndulo de Foucault a una latitud de 30°N. El plano de oscilación gira un ángulo de −180° durante un día, por lo que después de dos días, el plano regresa a su orientación original.

Tanto en el Polo Norte geográfico como en el Polo Sur geográfico , el plano de oscilación de un péndulo permanece fijo con respecto a las masas distantes del universo mientras la Tierra gira debajo de él, tardando un día sideral en completar una rotación. Por lo tanto, con respecto a la Tierra, el plano de oscilación de un péndulo en el Polo Norte (visto desde arriba) realiza una rotación completa en el sentido de las agujas del reloj durante un día; un péndulo en el Polo Sur gira en sentido contrario a las agujas del reloj.

Cuando un péndulo de Foucault se suspende en el ecuador , el plano de oscilación permanece fijo con respecto a la Tierra. En otras latitudes, el plano de oscilación precesa con respecto a la Tierra, pero más lentamente que en el polo; la velocidad angular, ω (medida en grados en sentido horario por día sideral), es proporcional al seno de la latitud , φ :

$${\displaystyle \omega =360^{\circ }\sin \varphi \ /\mathrm {day} ,}$$

donde las latitudes al norte y al sur del ecuador se definen como positivas y negativas, respectivamente. Un "día de péndulo" es el tiempo necesario para que el plano de un péndulo de Foucault suspendido libremente complete una rotación aparente alrededor de la vertical local. Esto es un día sideral dividido por el seno de la latitud. ^{[ 10 ] [ 11 ]} Por ejemplo, un péndulo de Foucault a 30° de latitud sur, visto desde arriba por un observador terrestre, gira 360° en sentido antihorario en dos días.

Utilizando una longitud de cable suficiente, el círculo descrito puede ser lo suficientemente ancho como para que el desplazamiento tangencial a lo largo del círculo de medición entre dos oscilaciones sea visible a simple vista, lo que convierte al péndulo de Foucault en un experimento espectacular: por ejemplo, el péndulo de Foucault original en el Panteón se mueve circularmente, con una amplitud de péndulo de 6 metros, unos 5  mm en cada período.

Un péndulo de Foucault requiere cuidado al configurarlo, ya que una construcción imprecisa puede causar una desviación adicional que enmascara el efecto terrestre. Heike Kamerlingh Onnes (Premio Nobel 1913) realizó experimentos precisos y desarrolló una teoría más completa del péndulo de Foucault para su tesis doctoral (1879). Observó que el péndulo pasaba de una oscilación lineal a una elíptica en una hora. Mediante un análisis de perturbación , demostró que la imperfección geométrica del sistema o la elasticidad del cable de soporte pueden causar un latido entre dos modos de oscilación horizontales. ^{[ 12 ]} El lanzamiento inicial del péndulo también es crítico; la forma tradicional de hacerlo es usar una llama para quemar un hilo que mantiene temporalmente la masa en su posición inicial, evitando así el movimiento lateral no deseado (ver un detalle del lanzamiento en el 50 aniversario en 1902 ).

Cabe destacar que Vincenzo Viviani , alumno de Galileo , ya observó la desviación de un péndulo en 1661 , pero no hay pruebas de que relacionara el efecto con la rotación de la Tierra; más bien, lo consideraba una molestia en su estudio que debía superarse suspendiendo la masa de un péndulo con dos cuerdas en lugar de una.

La resistencia del aire amortigua la oscilación, por lo que algunos péndulos de Foucault en los museos incorporan un mecanismo electromagnético u otro tipo de accionamiento para mantener la masa oscilante; otros se reinician periódicamente, a veces con una ceremonia de lanzamiento como atracción adicional. Además de la resistencia del aire (el uso de una masa pesada y simétrica tiene como objetivo reducir las fuerzas de fricción, principalmente la resistencia del aire, mediante una masa simétrica y aerodinámica), se dice que el otro problema de ingeniería principal en la creación de un péndulo de Foucault de 1 metro en la actualidad es asegurar que no haya una dirección de oscilación preferida. ^{[ 13 ]}

Muchos sistemas físicos precesan de manera similar a un péndulo de Foucault. Ya en 1836, el matemático escocés Edward Sang ideó y explicó la precesión de una peonza. ^{[ 14 ]} En 1851, Charles Wheatstone ^{[ 15 ]} describió un aparato que consiste en un resorte vibrante montado sobre un disco de manera que forma un ángulo fijo φ con el disco. El resorte se golpea para que oscile en un plano. Cuando se gira el disco, el plano de oscilación cambia igual que el de un péndulo de Foucault en la latitud φ .

De manera similar, consideremos una rueda de bicicleta perfectamente equilibrada y sin girar, montada sobre un disco de modo que su eje de rotación forme un ángulo φ con el disco. Cuando el disco complete una revolución en el sentido de las agujas del reloj, la rueda de la bicicleta no volverá a su posición original, sino que habrá experimentado una rotación neta de 2π sen φ .

La precesión tipo Foucault se observa en osciladores anisotrópicos ^{[ 16 ]} y en un sistema virtual donde una partícula sin masa está restringida a permanecer en un plano giratorio inclinado con respecto al eje de rotación. ^{[ 17 ]}

El espín de una partícula relativista que se mueve en una órbita circular precesa de forma similar al plano de oscilación del péndulo de Foucault. El espacio de velocidades relativistas en ^el espaciotiempo de Minkowski puede tratarse como una esfera S₃ en el espacio euclidiano de cuatro dimensiones con radio imaginario y coordenada temporal imaginaria. El transporte paralelo de vectores de polarización a lo largo de dicha esfera da lugar a la precesión de Thomas , que es análoga a la rotación del plano de oscilación del péndulo de Foucault debida al transporte paralelo a lo largo de una esfera S₂ en ^el espacio euclidiano de tres dimensiones. ^{[ 18 ]}

En física, la evolución de tales sistemas está determinada por fases geométricas . ^{[ 19 ] [ 20 ]} Matemáticamente se entienden a través del transporte paralelo.

El movimiento de un péndulo, como el péndulo de Foucault, se analiza típicamente con respecto a un marco de referencia inercial , aproximado por las "estrellas fijas". ^{[ 21 ]} Estas estrellas, debido a su inmensa distancia de la Tierra, exhiben un movimiento insignificante entre sí en escalas de tiempo cortas, lo que las convierte en un punto de referencia práctico para los cálculos físicos. Si bien las estrellas fijas son suficientes para los análisis físicos, el concepto de un marco de referencia absoluto introduce consideraciones filosóficas y teóricas.

espacio absoluto newtoniano

• Isaac Newton propuso la existencia del "espacio absoluto", un marco de referencia universal e inamovible, independiente de cualquier objeto material. En sus Principia Mathematica , Newton describió el espacio absoluto como el telón de fondo sobre el cual ocurre el movimiento verdadero. ^{[ 22 ]}
• Este concepto fue criticado por pensadores posteriores, como Ernst Mach, quien argumentó que el movimiento solo debería definirse en relación con otras masas en el universo. ^{[ 22 ]}

Fondo cósmico de microondas (CMB)

• La radiación cósmica de fondo (CMB), remanente del Big Bang, proporciona una referencia universal para las observaciones cosmológicas. Al medir el movimiento con respecto a la CMB, los científicos pueden determinar la velocidad de los cuerpos celestes, incluida la Tierra, en relación con el estado inicial del universo. Esto ha llevado a algunos a considerar la CMB como un análogo moderno de un marco de referencia absoluto. ^{[ 23 ]}

Principio de Mach y masas distantes

• Ernst Mach propuso que la inercia surge de la interacción de un objeto con las masas distantes del universo. Según esta perspectiva, el marco de referencia del péndulo podría definirse por la distribución de toda la materia en el cosmos, en lugar de un espacio absoluto abstracto. ^{[ 22 ]}
• Las "masas distantes del universo" desempeñan un papel crucial en la definición del marco inercial, lo que sugiere que el movimiento aparente del péndulo podría estar influenciado por el efecto gravitatorio colectivo de estas masas. Esta perspectiva concuerda con el principio de Mach, que enfatiza la interconexión de los fenómenos locales y cósmicos. ^{[ 22 ] [ 23 ]}
• Sin embargo, la conexión entre el principio de Mach y la relatividad general de Einstein sigue sin resolverse. Einstein inicialmente esperaba incorporar las ideas de Mach, pero posteriormente reconoció las dificultades para hacerlo. ^{[ 24 ]}

Relatividad general y espacio-tiempo

• La relatividad general sugiere que el espaciotiempo en sí mismo puede servir como marco de referencia. El movimiento del péndulo podría entenderse como relativo a la curvatura del espaciotiempo, la cual está influenciada por masas cercanas y distantes. Esta perspectiva concuerda con el concepto de geodésicas en el espaciotiempo curvo. ^{[ 23 ]}
• El efecto Lense-Thirring ^{[ 25 ]} , una predicción de la relatividad general, implica que los objetos masivos en rotación, como la Tierra, pueden "arrastrar" ligeramente el espacio-tiempo ^{[ 26 ]} , lo que podría afectar la oscilación del péndulo. Este efecto, aunque teóricamente significativo, actualmente es demasiado pequeño para medirlo con un péndulo de Foucault.

Para modelar el péndulo de Foucault, consideramos un péndulo de longitud L y masa m , que oscila con pequeñas amplitudes. En un sistema de referencia que gira con la Tierra a una velocidad angular Ω, debe incluirse la fuerza de Coriolis . Las ecuaciones de movimiento en el plano horizontal ( x , y ) son:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {x}}+\omega _{0}^{2}x&=2\Omega \sin(\varphi ){\dot {y}},\\{\ddot {y}}+\omega _{0}^{2}y&=-2\Omega \sin(\varphi ){\dot {x}},\end{aligned}}}$

dónde:

• ${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {g}{L}}}}$es la frecuencia angular natural del péndulo,
• ${\displaystyle \varphi }$es la latitud,
• ${\displaystyle g}$es la aceleración debida a la gravedad.

Estas ecuaciones diferenciales acopladas describen el movimiento del péndulo, incorporando el efecto Coriolis debido a la rotación de la Tierra. ^{[ 27 ]}

Existen numerosos péndulos de Foucault en universidades, museos de ciencia y lugares similares en todo el mundo. El edificio de la Asamblea General de las Naciones Unidas en la sede de la ONU en la ciudad de Nueva York cuenta con uno. Se afirma que el péndulo del Centro de Convenciones de Oregón es el más grande, con una longitud aproximada de 27 m (89 pies) , ^{[ 31 ] [ 32 ]} sin embargo, en el artículo se mencionan otros de mayor tamaño, como el de la Torre Gamow en la Universidad de Colorado , de 39,3 m (129 pies) . Antiguamente existían péndulos mucho más largos, como el de 98 m (322 pies) de la Catedral de San Isaac en San Petersburgo , Rusia . ^{[ 33 ] [ 34 ]}      

El experimento también se llevó a cabo en el Polo Sur , donde se asumió que la rotación de la Tierra tendría el máximo efecto. ^{[ 35 ] [ 36 ]} Se instaló un péndulo en una escalera de seis pisos de una nueva estación en construcción en la Estación del Polo Sur Amundsen-Scott . Tenía una longitud de 33 m (108 pies) y la masa pesaba 25 kg (55 lb) . La ubicación era ideal: ninguna corriente de aire podía perturbar el péndulo. Los investigadores confirmaron que el período de rotación del plano de oscilación era de aproximadamente 24 horas.    

• Rotación absoluta : rotación independiente de cualquier referencia externa. 
• Fuerza de Coriolis : fuerza aparente en un sistema de referencia giratorio. 
• Experimento de Eötvös – Experimento de física 
• Fase geométrica – Fase de un ciclo 
• Giroscopio : dispositivo para medir o mantener la orientación. 
• Marco de referencia inercial : concepto fundamental de la mecánica clásica. 
• Cadena tipo lazo : demostración científica 
• Precesión : cambio periódico en la dirección de un eje de rotación. 

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