transformada de Fourier-Mukai

En geometría algebraica , una transformada de Fourier-Mukai Φ _K es un functor entre categorías derivadas de haces coherentes D( X ) → D( Y ) para esquemas X e Y , que es, en cierto sentido, una transformada integral a lo largo de un objeto núcleo K ∈ D( X × Y ). La mayoría de los functores naturales, incluidos los básicos como los pushforwards y pullbacks , son de este tipo.

Este tipo de functores fueron introducidos por Mukai ( 1981 ) para demostrar una equivalencia entre las categorías derivadas de haces coherentes en una variedad abeliana y su dual . Dicha equivalencia es análoga a la transformada de Fourier clásica que establece un isomorfismo entre distribuciones temperadas en un espacio vectorial real de dimensión finita y su dual . 

Sean X e Y variedades proyectivas suaves , K ∈ D ^b ( X × Y ) un objeto en la categoría derivada de haces coherentes sobre su producto. Denotemos por q la proyección X × Y → X , por p la proyección X × Y → Y . Entonces la transformada de Fourier-Mukai Φ _K es un functor D ^b ( X )→D ^b ( Y ) dado por

${\displaystyle {\mathcal {F}}\mapsto \mathrm {R} p_{*}\left(q^{*}{\mathcal {F}}\otimes ^{L}K\right)}$

donde R p _* es el functor de imagen directa derivado y${\displaystyle \otimes ^{L}}$es el producto tensorial derivado .

Las transformadas de Fourier-Mukai siempre tienen adjuntos izquierdo y derecho , ambos también transformaciones de núcleo. Dados dos núcleos K ₁ ∈ D ^b ( X × Y ) y K ₂ ∈ D ^b ( Y × Z ), el functor compuesto Φ _{K 2}${\displaystyle \circ }$Φ _{K 1} es también una transformada de Fourier-Mukai.

El haz estructural de la diagonal${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\Delta }\in \mathrm {D} ^{b}(X\times X)}$, tomado como núcleo, produce el functor identidad en D ^b ( X ). Para un morfismo f : X → Y , el haz de estructura del grafo Γ _f produce un empuje hacia adelante cuando se ve como un objeto en D ^b ( X × Y ), o un retroceso cuando se ve como un objeto en D ^b ( Y × X ).

Dejar${\displaystyle X}$ser una variedad abeliana y${\displaystyle {\hat {X}}}$sea ​​su doble variedad . El paquete de Poincaré${\displaystyle {\mathcal {P}}}$en${\displaystyle X\times {\hat {X}}}$, normalizado para ser trivial en la fibra en cero, puede usarse como un núcleo de Fourier-Mukai. Sea${\displaystyle p}$y${\displaystyle {\hat {p}}}$sean las proyecciones canónicas. El functor de Fourier-Mukai correspondiente con núcleo${\displaystyle {\mathcal {P}}}$es entonces

${\displaystyle R{\mathcal {S}}:{\mathcal {F}}\in D(X)\mapsto R{\hat {p}}_{\ast }(p^{\ast }{\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {P}})\in D({\hat {X}})}$

Existe un functor similar

${\displaystyle R{\widehat {\mathcal {S}}}:D({\hat {X}})\to D(X).\,}$

Si la clase canónica de una variedad es amplia o anti-amplia, entonces la categoría derivada de haces coherentes determina la variedad. ^{[ 1 ]} En general, una variedad abeliana no es isomorfa a su dual, por lo que esta transformada de Fourier-Mukai da ejemplos de diferentes variedades (con haces canónicos triviales) que tienen categorías derivadas equivalentes.

Sea g la dimensión de X. La transformación de Fourier-Mukai es casi involutiva  :

${\displaystyle R{\mathcal {S}}\circ R{\widehat {\mathcal {S}}}=(-1)^{\ast }[-g]}$

Intercambia el producto de Pontrjagin y el producto tensorial .

${\displaystyle R{\mathcal {S}}({\mathcal {F}}\ast {\mathcal {G}})=R{\mathcal {S}}({\mathcal {F}})\otimes R{\mathcal {S}}({\mathcal {G}})}$

${\displaystyle R{\mathcal {S}}({\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {G}})=R{\mathcal {S}}({\mathcal {F}})\ast R{\mathcal {S}}({\mathcal {G}})[g]}$

Deninger y Murre (1991) han utilizado la transformada de Fourier-Mukai para demostrar la descomposición de Künneth para los motivos de Chow de las variedades abelianas.

En la teoría de cuerdas , la dualidad T (abreviatura de dualidad del espacio objetivo ), que relaciona dos teorías cuánticas de campos o teorías de cuerdas con diferentes geometrías espaciotemporales, está estrechamente relacionada con la transformación de Fourier-Mukai. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

• Geometría algebraica no conmutativa derivada

• Deninger, Christopher; Murre, Jacob (1991), "Descomposición motivacional de esquemas abelianos y la transformada de Fourier", J. Reine Angew. Math. , 422 : 201– 219, MR 1133323 

• Huybrechts, D. (2006), Transformadas de Fourier-Mukai en geometría algebraica , Oxford Mathematical Monographs, vol.  1, The Clarendon Press Oxford University Press, doi : 10.1093/acprof:oso/9780199296866.001.0001 , ISBN 978-0-19-929686-6, MR 2244106 
• Bartocci, C.; Bruzzo, U.; Hernández Ruipérez, D. (2009), Transformadas de Fourier–Mukai y Nahm en geometría y física matemática , Progreso en Matemáticas, vol.  276, Birkhäuser, doi : 10.1007/b1801 , ISBN 978-0-8176-3246-5, MR 2511017 
• Mukai, Shigeru (1981). "Dualidad entre${\displaystyle D(X)}$y${\displaystyle D({\hat {X}})}$con su aplicación a haces de Picard" . Nagoya Mathematical Journal . 81 : 153–175 . ISSN 0027-7630 .