teorema de inversión de Fourier

En matemáticas , el teorema de inversión de Fourier establece que, para muchos tipos de funciones, es posible recuperar una función a partir de su transformada de Fourier . Intuitivamente, puede interpretarse como la afirmación de que, si conocemos toda la información de frecuencia y fase de una onda, podemos reconstruir la onda original con precisión.

El teorema dice que si tenemos una función que satisface ciertas condiciones, y usamos la convención para la transformada de Fourier que ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle ({\mathcal {F}}f)(\xi ):=\int _{\mathbb {R} }e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy,}$

entonces

${\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R} }e^{2\pi ix\cdot \xi }\,({\mathcal {F}}f)(\xi )\,d\xi .}$

En otras palabras, el teorema dice que

${\displaystyle f(x)=\iint _{\mathbb {R} ^{2}}e^{2\pi i(xy)\cdot \xi }\,f(y)\,dy\,d\xi .}$

Esta última ecuación se llama teorema integral de Fourier .

Otra forma de enunciar el teorema es que si es el operador de inversión, es decir, ⁠ ⁠ , entonces ${\displaystyle R}$${\displaystyle (Rf)(x):=f(-x)}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {F}}R=R{\mathcal {F}}.}$

El teorema se cumple si tanto como su transformada de Fourier son absolutamente integrables (en el sentido de Lebesgue ) y es continua en el punto ⁠ ⁠ . Sin embargo, incluso bajo condiciones más generales, se cumplen versiones del teorema de inversión de Fourier. En estos casos, las integrales anteriores pueden no converger en el sentido ordinario. ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$

En esta sección asumimos que es una función continua integrable . Usamos la convención para la transformada de Fourier que ${\displaystyle f}$

${\displaystyle ({\mathcal {F}}f)(\xi ):=\int _{\mathbb {R} }e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy.}$

Además, suponemos que la transformada de Fourier también es integrable.

La formulación más común del teorema de inversión de Fourier es expresar la transformada inversa como una integral. Para cualquier función integrable y todo conjunto ${\displaystyle g}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\int _{\mathbb {R} }e^{2\pi ix\cdot \xi }\,g(\xi )\,d\xi .}$

Entonces, por todo lo que tenemos ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x).}$

El teorema puede reformularse como

${\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }e^{2\pi i(x-y)\cdot \xi }\,f(y)\,dy\,d\xi .}$

Tomando la parte real ^{[ 1 ]} de cada lado de la expresión anterior obtenemos

${\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }\cos(2\pi (x-y)\cdot \xi )\,f(y)\,dy\,d\xi .}$

Para cualquier función, defina el operador de inversión ^{[ 2 ]} mediante ${\displaystyle g}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle Rg(x):=g(-x).}$

Entonces podemos definir en su lugar

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}f:=R{\mathcal {F}}f={\mathcal {F}}Rf.}$

Es inmediato de la definición de la transformada de Fourier y del operador flip que tanto como coinciden con la definición integral de ⁠ ⁠ , y en particular son iguales entre sí y satisfacen ⁠ ⁠ . ${\displaystyle R{\mathcal {F}}f}$${\displaystyle {\mathcal {F}}Rf}$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}f}$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x)}$

Dado que tenemos y ⁠ ⁠ . ${\displaystyle Rf=R{\mathcal {F}}^{-1}{\mathcal {F}}f=RR{\mathcal {FF}}f={\mathcal {F}}^{2}f}$${\displaystyle R={\mathcal {F}}^{2}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {F}}^{3}}$

La forma del teorema de inversión de Fourier enunciado anteriormente, como es común, es que

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x).}$

En otras palabras, es una inversa izquierda de la transformada de Fourier. Sin embargo, también es una inversa derecha de la transformada de Fourier, es decir, ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f)(\xi )=f(\xi ).}$

Dado que es tan similar a ⁠ ⁠ , esto se deduce muy fácilmente del teorema de inversión de Fourier (cambiando variables ⁠ ⁠ ): ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \zeta :=-\xi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}f&={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)\\[6pt]&=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }e^{2\pi ix\cdot \xi }\,e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy\,d\xi \\[6pt]&=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }e^{-2\pi ix\cdot \zeta }\,e^{2\pi iy\cdot \zeta }\,f(y)\,dy\,d\zeta \\[6pt]&={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f)(x).\end{aligned}}}$

Alternativamente, esto se puede ver a partir de la relación entre y el operador de inversión y la asociatividad de la composición de funciones , ya que ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}f}$

${\displaystyle f={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)={\mathcal {F}}R{\mathcal {F}}f={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f).}$

En física e ingeniería, el teorema de inversión de Fourier se suele utilizar bajo el supuesto de que todo se comporta de forma predecible. En matemáticas, este tipo de argumentos heurísticos no están permitidos, y el teorema de inversión de Fourier incluye una especificación explícita de la clase de funciones que admite. Sin embargo, no existe una clase de funciones "óptima", por lo que existen varias variantes del teorema de inversión de Fourier, aunque con conclusiones compatibles.

El teorema de inversión de Fourier se cumple para todas las funciones de Schwartz (en términos generales, funciones suaves que decaen rápidamente y cuyas derivadas de cualquier orden también decaen rápidamente). Esta condición tiene la ventaja de ser una afirmación directa y elemental sobre la función (en lugar de imponer una condición a su transformada de Fourier), y la integral que define la transformada de Fourier y su inversa son absolutamente integrables. Esta versión del teorema se utiliza en la demostración del teorema de inversión de Fourier para distribuciones temperadas (véase más adelante).

El teorema de inversión de Fourier se cumple para todas las funciones continuas que son absolutamente integrables (es decir , ⁠ ⁠${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ ) con transformada de Fourier absolutamente integrable. Esto incluye todas las funciones de Schwartz, por lo que es una forma estrictamente más fuerte del teorema que la mencionada anteriormente. Esta condición es la que se utiliza arriba en la sección de enunciados .

Una ligera variante consiste en eliminar la condición de que la función sea continua, pero seguir exigiendo que tanto ella como su transformada de Fourier sean absolutamente integrables. Entonces, casi en todas partes donde g es una función continua, y para cada ⁠ ⁠ . ${\displaystyle f}$${\displaystyle f=g}$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=g(x)}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

Suave por partes; una dimensión

Si la función es absolutamente integrable en una dimensión (es decir , )${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}$ y es suave a trozos, entonces se cumple una versión del teorema de inversión de Fourier. En este caso definimos

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\lim _{R\to \infty }\int _{-R}^{R}e^{2\pi ix\xi }\,g(\xi )\,d\xi .}$

Entonces para todos${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)={\frac {1}{2}}(f(x_{-})+f(x_{+})),}$

es decir, es igual al promedio de los límites izquierdo y derecho de en ⁠ ⁠ . En los puntos donde es continua, esto simplemente es igual a ⁠ ⁠ . ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)}$

También se cumple una analogía de dimensiones superiores de esta forma del teorema, pero según Folland (1992) es "bastante delicada y no muy útil".

Continuo por partes; una dimensión

Si la función es absolutamente integrable en una dimensión (es decir , )${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}$ pero solo continua a trozos, entonces una versión del teorema de inversión de Fourier sigue siendo válida. En este caso, la integral en la transformada inversa de Fourier se define con la ayuda de una función de corte suave en lugar de una función de corte abrupta; específicamente definimos

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\lim _{R\to \infty }\int _{\mathbb {R} }\varphi (\xi /R)\,e^{2\pi ix\xi }\,g(\xi )\,d\xi ,\qquad \varphi (\xi ):=e^{-\xi ^{2}}.}$

La conclusión del teorema es, por lo tanto, la misma que para el caso de funciones suaves por partes que se analizó anteriormente.

Continuo; cualquier número de dimensiones

Si es continua y absolutamente integrable en entonces el teorema de inversión de Fourier sigue siendo válido siempre que definamos nuevamente la transformada inversa con una función de corte suave, es decir ${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\lim _{R\to \infty }\int _{\mathbb {R} ^{n}}\varphi (\xi /R)\,e^{2\pi ix\cdot \xi }\,g(\xi )\,d\xi ,\qquad \varphi (\xi ):=e^{-\vert \xi \vert ^{2}}.}$

La conclusión ahora es simplemente que para todos${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x).}$

Sin condición de regularidad; cualquier número de dimensiones

Si eliminamos todas las suposiciones sobre la continuidad (por partes) de y asumimos simplemente que es absolutamente integrable, entonces una versión del teorema sigue siendo válida. La transformada inversa se define nuevamente con el corte suave, pero con la conclusión de que ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x)}$

para casi todos ⁠ ⁠${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ .

En este caso, la transformada de Fourier no puede definirse directamente como una integral, ya que puede no ser absolutamente convergente, por lo que se define mediante un argumento de densidad (véase la sección sobre la transformada de Fourier en espacios Lp ). Por ejemplo, al poner

${\displaystyle g_{k}(\xi ):=\int _{\{y\in \mathbb {R} ^{n}:\left\vert y\right\vert \leq k\}}e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy,\qquad k\in \mathbb {N} ,}$

Podemos establecer dónde se toma el límite en la norma. La transformada inversa puede definirse mediante la densidad de la misma manera o definiéndola en términos de la transformada de Fourier y el operador de inversión. Entonces tenemos ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {F}}f:=\lim _{k\to \infty }g_{k}}$${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle f(x)={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f)(x)={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)}$

en la norma cuadrática media . En una dimensión (y solo en una dimensión), también se puede demostrar que converge para casi todo ⁠ ⁠${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ . Este es el teorema de Carleson , pero es mucho más difícil de demostrar que la convergencia en la norma cuadrática media.

La transformada de Fourier puede definirse en el espacio de distribuciones temperadas mediante la dualidad de la transformada de Fourier en el espacio de funciones de Schwartz. Específicamente para y para todas las funciones de prueba, establecemos ${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle \varphi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle \langle {\mathcal {F}}f,\varphi \rangle :=\langle f,{\mathcal {F}}\varphi \rangle ,}$

donde se define usando la fórmula integral. ^{[ 3 ]} Si entonces esto concuerda con la definición usual. Podemos definir la transformada inversa ⁠ ⁠ , ya sea por dualidad a partir de la transformada inversa en funciones de Schwartz de la misma manera, o definiéndola en términos del operador de inversión (donde el operador de inversión se define por dualidad). Entonces tenemos ${\displaystyle {\mathcal {F}}\varphi }$${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\cap L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}:{\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}{\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {F}}^{-1}{\mathcal {F}}=\operatorname {Id} _{{\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}.}$

El teorema de inversión de Fourier es análogo a la convergencia de las series de Fourier . En el caso de la transformada de Fourier tenemos

${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,\quad {\hat {f}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,}$

${\displaystyle {\hat {f}}(\xi ):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy,}$

${\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{2\pi ix\cdot \xi }\,{\hat {f}}(\xi )\,d\xi .}$

En el caso de la serie de Fourier, en cambio tenemos

${\displaystyle f:[0,1]^{n}\to \mathbb {C} ,\quad {\hat {f}}:\mathbb {Z} ^{n}\to \mathbb {C} ,}$

${\displaystyle {\hat {f}}(k):=\int _{[0,1]^{n}}e^{-2\pi iy\cdot k}\,f(y)\,dy,}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{k\in \mathbb {Z} ^{n}}e^{2\pi ix\cdot k}\,{\hat {f}}(k).}$

En particular, en una dimensión y la suma va de a ⁠ ⁠ . ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle \infty }$

En las aplicaciones de la transformada de Fourier, el teorema de inversión de Fourier suele desempeñar un papel fundamental. En muchas situaciones, la estrategia básica consiste en aplicar la transformada de Fourier, realizar alguna operación o simplificación y, a continuación, aplicar la transformada inversa de Fourier.

De forma más abstracta, el teorema de inversión de Fourier es una afirmación sobre la transformada de Fourier como un operador (véase transformada de Fourier § Transformada de Fourier en espacios de funciones ). Por ejemplo, el teorema de inversión de Fourier en muestra que la transformada de Fourier es un operador unitario en ⁠ ⁠ . ${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$

• Espacio de Hilbert manipulado
• paquete de ondas

• Folland, Gerald B. (1992). Análisis de Fourier y sus aplicaciones . Pacific Grove, California: Wadsworth & Brooks/Cole. ISBN 978-0-534-17094-3.
• Folland, GB (1995). Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales (2.ª ed.). Princeton, EE. UU.: Princeton Univ. Press. ISBN 978-0-691-04361-6.