Espacio Schwartz

En matemáticas , espacio de Schwartz${\displaystyle {\mathcal {S}}}$es el espacio de funciones de todas las funciones cuyas derivadas de todos los órdenes son rápidamente decrecientes . Este espacio tiene la importante propiedad de que la transformada de Fourier es un automorfismo en este espacio. Esta propiedad permite, por dualidad, definir la transformada de Fourier para elementos en el espacio dual.${\displaystyle {\mathcal {S}}^{*}}$de​${\displaystyle {\mathcal {S}}}$⁠ , es decir, para distribuciones temperadas . Una función en el espacio de Schwartz a veces se denomina función de Schwartz .

El espacio de Schwartz recibe su nombre del matemático francés Laurent Schwartz .

Dejar${\displaystyle \mathbb {N} }$Sea el conjunto de los enteros no negativos , y para cualquier ⁠${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$⁠ , deja${\displaystyle \mathbb {N} ^{n}:=\underbrace {\mathbb {N} \times \dots \times \mathbb {N} } _{n{\text{ times}}}}$ser el/ la${\displaystyle n}$-producto cartesiano plegado .

El espacio de Schwartz o espacio de funciones decrecientes rápidamente en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$es el espacio de funciones$${\displaystyle {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} \right):=\left\{f\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} )\mid \forall {\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }}\in \mathbb {N} ^{n},\|f\|_{{\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }}}<\infty \right\},}$$dónde${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} )}$es el espacio de funciones suaves de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$en​${\displaystyle \mathbb {C} }$y​$${\displaystyle \|f\|_{{\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }}}:=\sup _{{\boldsymbol {x}}\in \mathbb {R} ^{n}}\left|{\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {\alpha }}({\boldsymbol {D}}^{\boldsymbol {\beta }}f)({\boldsymbol {x}})\right|.}$$Aquí,${\displaystyle \sup }$denota el supremo , y utilizamos la notación de índices múltiples , es decir${\displaystyle {\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {\alpha }}:=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}}$y​${\displaystyle D^{\boldsymbol {\beta }}:=\partial _{1}^{\beta _{1}}\partial _{2}^{\beta _{2}}\ldots \partial _{n}^{\beta _{n}}}$.​

Para expresar esta definición en lenguaje común, se podría considerar una función que disminuye rápidamente como esencialmente una función.${\displaystyle f}$de tal manera que${\displaystyle f(x)}$,​​${\displaystyle f'(x)}$,​​${\displaystyle f^{\prime \prime }(x)}$⁠ , ... todos existen en todas partes${\displaystyle \mathbb {R} }$y volver a cero como${\displaystyle x\rightarrow \pm \infty }$más rápido que cualquier potencia recíproca de ⁠${\displaystyle x}$⁠ . En particular,${\displaystyle {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} \right)}$es un subespacio de${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} )}$.​

• Si${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$es un índice múltiple, y a es un número real positivo , entonces${\displaystyle {\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {\alpha }}e^{-a\vert {\boldsymbol {x}}\vert ^{2}}\in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$.​
• Cualquier función fluida${\displaystyle f}$con soporte compacto está en${\displaystyle {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$⁠ . Esto es claro ya que cualquier derivado de${\displaystyle f}$es continuo y cuenta con el apoyo de${\displaystyle f}$⁠ , así que${\displaystyle ({\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {\alpha }}{\boldsymbol {D}}^{\boldsymbol {\alpha }})f}$tiene un máximo en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$por el teorema del valor extremo .
• Debido a que el espacio de Schwartz es un espacio vectorial, cualquier polinomio${\displaystyle \phi ({\boldsymbol {x}})}$puede multiplicarse por un factor${\displaystyle e^{-a\vert {\boldsymbol {x}}\vert ^{2}}}$para${\displaystyle a>0}$una constante real, para dar un elemento del espacio de Schwartz. En particular, existe una incrustación de polinomios en un espacio de Schwartz.

• Función de golpe
• Función de Schwartz-Bruhat
• Espacio nuclear