teorema de inversión de Fourier

La formulación más común del teorema de inversión de Fourier es expresar la transformada inversa como una integral. Para cualquier función integrable${\displaystyle g}$y todo${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$colocar

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\int _{\mathbb {R} }e^{2\pi ix\cdot \xi }\,g(\xi )\,d\xi .}$

Entonces para todos${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$tenemos

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x).}$

El teorema puede reformularse como

${\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }e^{2\pi i(x-y)\cdot \xi }\,f(y)\,dy\,d\xi .}$

Tomando la parte real ^{[ 1 ]} de cada lado de la expresión anterior obtenemos

${\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }\cos(2\pi (x-y)\cdot \xi )\,f(y)\,dy\,d\xi .}$

Para cualquier función${\displaystyle g}$definir el operador de volteo ^{[ 2 ]}${\displaystyle R}$por

${\displaystyle Rg(x):=g(-x).}$

Entonces podemos definir en su lugar

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}f:=R{\mathcal {F}}f={\mathcal {F}}Rf.}$

Es inmediato a partir de la definición de la transformada de Fourier y del operador de inversión que ambos${\displaystyle R{\mathcal {F}}f}$y${\displaystyle {\mathcal {F}}Rf}$coincidir con la definición integral de${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}f}$⁠ , y en particular son iguales entre sí y satisfacen ⁠${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x)}$⁠ .

Desde${\displaystyle Rf=R{\mathcal {F}}^{-1}{\mathcal {F}}f=RR{\mathcal {FF}}f={\mathcal {F}}^{2}f}$tenemos${\displaystyle R={\mathcal {F}}^{2}}$y​${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {F}}^{3}}$⁠ .

La forma del teorema de inversión de Fourier enunciado anteriormente, como es común, es que

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x).}$

En otras palabras,${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}}$es una inversa izquierda de la transformada de Fourier. Sin embargo, también es una inversa derecha de la transformada de Fourier, es decir

${\displaystyle {\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f)(\xi )=f(\xi ).}$

Desde${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}}$es tan similar a ⁠${\displaystyle {\mathcal {F}}}$⁠ , esto se deduce muy fácilmente del teorema de inversión de Fourier (cambio de variables ⁠${\displaystyle \zeta$ :=-\xi } ⁠ ):

${\displaystyle {\begin{aligned}f&={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)\\[6pt]&=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }e^{2\pi ix\cdot \xi }\,e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy\,d\xi \\[6pt]&=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }e^{-2\pi ix\cdot \zeta }\,e^{2\pi iy\cdot \zeta }\,f(y)\,dy\,d\zeta \\[6pt]&={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f)(x).\end{aligned}}}$

Alternativamente, esto se puede ver a partir de la relación entre${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}f}$y el operador de inversión y la asociatividad de la composición de funciones , ya que

${\displaystyle f={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)={\mathcal {F}}R{\mathcal {F}}f={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f).}$

El teorema de inversión de Fourier se cumple para todas las funciones de Schwartz (en términos generales, funciones suaves que decaen rápidamente y cuyas derivadas de cualquier orden también decaen rápidamente). Esta condición tiene la ventaja de ser una afirmación directa y elemental sobre la función (en lugar de imponer una condición a su transformada de Fourier), y la integral que define la transformada de Fourier y su inversa son absolutamente integrables. Esta versión del teorema se utiliza en la demostración del teorema de inversión de Fourier para distribuciones temperadas (véase más adelante).

El teorema de inversión de Fourier se cumple para todas las funciones continuas que son absolutamente integrables (es decir ,${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$⁠ ) ​​con transformada de Fourier absolutamente integrable. Esto incluye todas las funciones de Schwartz, por lo que es una forma estrictamente más fuerte del teorema que la mencionada anteriormente. Esta condición es la que se utiliza arriba en la sección de enunciados .

Una ligera variante consiste en eliminar la condición de que la función${\displaystyle f}$ser continua pero aún así requerir que tanto ella como su transformada de Fourier sean absolutamente integrables. Entonces${\displaystyle f=g}$casi en todas partes donde g es una función continua, y${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=g(x)}$por cada${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$⁠ .

Suave por partes; una dimensión

Si la función es absolutamente integrable en una dimensión (es decir ,${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}$⁠ ) ​​y es suave por partes, entonces se cumple una versión del teorema de inversión de Fourier. En este caso definimos

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\lim _{R\to \infty }\int _{-R}^{R}e^{2\pi ix\xi }\,g(\xi )\,d\xi .}$

Entonces para todos${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)={\frac {1}{2}}(f(x_{-})+f(x_{+})),}$

es decir${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)}$es igual al promedio de los límites izquierdo y derecho de${\displaystyle f}$en​${\displaystyle x}$⁠ . En puntos donde${\displaystyle f}$es continuo esto simplemente es igual a${\displaystyle f(x)}$⁠ .

También se cumple una analogía de dimensiones superiores de esta forma del teorema, pero según Folland (1992) es "bastante delicada y no muy útil".

Continuo por partes; una dimensión

Si la función es absolutamente integrable en una dimensión (es decir ,${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}$⁠ ) ​​pero simplemente continua por partes entonces una versión del teorema de inversión de Fourier sigue siendo válida. En este caso, la integral en la transformada inversa de Fourier se define con la ayuda de una función de corte suave en lugar de una función de corte abrupta; específicamente definimos

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\lim _{R\to \infty }\int _{\mathbb {R} }\varphi (\xi /R)\,e^{2\pi ix\xi }\,g(\xi )\,d\xi ,\qquad \varphi (\xi ):=e^{-\xi ^{2}}.}$

La conclusión del teorema es, por lo tanto, la misma que para el caso de funciones suaves por partes que se analizó anteriormente.

Continuo; cualquier número de dimensiones

Si${\displaystyle f}$es continuo y absolutamente integrable en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$entonces el teorema de inversión de Fourier sigue siendo válido siempre que definamos nuevamente la transformada inversa con una función de corte suave, es decir

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\lim _{R\to \infty }\int _{\mathbb {R} ^{n}}\varphi (\xi /R)\,e^{2\pi ix\cdot \xi }\,g(\xi )\,d\xi ,\qquad \varphi (\xi ):=e^{-\vert \xi \vert ^{2}}.}$

La conclusión ahora es simplemente que para todos${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x).}$

Sin condición de regularidad; cualquier número de dimensiones

Si dejamos de lado todas las suposiciones sobre la continuidad (por partes) de${\displaystyle f}$y supongamos simplemente que es absolutamente integrable, entonces una versión del teorema sigue siendo válida. La transformada inversa se define de nuevo con el corte suave, pero con la conclusión de que

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x)}$

para casi todos${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$⁠ .

En este caso, la transformada de Fourier no puede definirse directamente como una integral, ya que puede no ser absolutamente convergente, por lo que se define mediante un argumento de densidad (véase la sección sobre la transformada de Fourier  en espacios Lp ). Por ejemplo, al poner

${\displaystyle g_{k}(\xi ):=\int _{\{y\in \mathbb {R} ^{n}:\left\vert y\right\vert \leq k\}}e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy,\qquad k\in \mathbb {N} ,}$

podemos establecer${\displaystyle \textstyle {\mathcal {F}}f:=\lim _{k\to \infty }g_{k}}$donde el límite se toma en el${\displaystyle L^{2}}$norma -. La transformada inversa puede definirse mediante la densidad de la misma manera o definiéndola en términos de la transformada de Fourier y el operador de inversión. Entonces tenemos

${\displaystyle f(x)={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f)(x)={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)}$

en la norma cuadrática media . En una dimensión (y solo en una dimensión), también se puede demostrar que converge para casi todo ⁠${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$Este es el teorema de Carleson , pero es mucho más difícil de demostrar que la convergencia en la norma cuadrática media.

La transformada de Fourier puede definirse en el espacio de distribuciones temperadas.${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$por dualidad de la transformada de Fourier en el espacio de funciones de Schwartz. Específicamente para${\displaystyle f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$y para todas las funciones de prueba${\displaystyle \varphi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$nosotros establecimos

${\displaystyle \langle {\mathcal {F}}f,\varphi \rangle$ :=\langle f,{\mathcal {F}}\varphi \rangle,}

dónde${\displaystyle {\mathcal {F}}\varphi }$se define utilizando la fórmula integral. ^{[ 3 ]} Si${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\cap L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$Entonces esto concuerda con la definición habitual. Podemos definir la transformada inversa .${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}:{\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$⁠ , ya sea por dualidad a partir de la transformada inversa en funciones de Schwartz de la misma manera, o definiéndola en términos del operador de inversión (donde el operador de inversión se define por dualidad). Entonces tenemos

${\displaystyle {\mathcal {F}}{\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {F}}^{-1}{\mathcal {F}}=\operatorname {Id} _{{\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}.}$