Función de Fox-Wright

En matemáticas , la función de Fox-Wright (también conocida como función Psi de Fox-Wright , que no debe confundirse con la función Omega de Wright ) es una generalización de la función hipergeométrica generalizada _p F _q ( z ) basada en ideas de Charles Fox ( 1928 ) y E. Maitland Wright ( 1935 ) :  

$${\displaystyle {}_{p}\Psi _{q}\left[{\begin{matrix}(a_{1},A_{1})&(a_{2},A_{2})&\ldots &(a_{p},A_{p})\\(b_{1},B_{1})&(b_{2},B_{2})&\ldots &(b_{q},B_{q})\end{matrix}};z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (a_{1}+A_{1}n)\cdots \Gamma (a_{p}+A_{p}n)}{\Gamma (b_{1}+B_{1}n)\cdots \Gamma (b_{q}+B_{q}n)}}\,{\frac {z^{n}}{n!}}.}$$

Al cambiar la normalización

$${\displaystyle {}_{p}\Psi _{q}^{*}\left[{\begin{matrix}(a_{1},A_{1})&(a_{2},A_{2})&\ldots &(a_{p},A_{p})\\(b_{1},B_{1})&(b_{2},B_{2})&\ldots &(b_{q},B_{q})\end{matrix}};z\right]={\frac {\Gamma (b_{1})\cdots \Gamma (b_{q})}{\Gamma (a_{1})\cdots \Gamma (a_{p})}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (a_{1}+A_{1}n)\cdots \Gamma (a_{p}+A_{p}n)}{\Gamma (b_{1}+B_{1}n)\cdots \Gamma (b_{q}+B_{q}n)}}\,{\frac {z^{n}}{n!}}}$$

se convierte en _p F _q ( z ) para A _{1... p} = B _{1... q} = 1.

La función de Fox-Wright es un caso especial de la función H de Fox ( Srivastava y Manocha 1984 , p. 50) : 

$${\displaystyle {}_{p}\Psi _{q}\left[{\begin{matrix}(a_{1},A_{1})&(a_{2},A_{2})&\ldots &(a_{p},A_{p})\\(b_{1},B_{1})&(b_{2},B_{2})&\ldots &(b_{q},B_{q})\end{matrix}};z\right]=H_{p,q+1}^{1,p}\left[-z\left|{\begin{matrix}(1-a_{1},A_{1})&(1-a_{2},A_{2})&\ldots &(1-a_{p},A_{p})\\(0,1)&(1-b_{1},B_{1})&(1-b_{2},B_{2})&\ldots &(1-b_{q},B_{q})\end{matrix}}\right.\right].}$$

Toda la función${\displaystyle W_{\lambda,\mu}(z)}$a menudo se la llama función de Wright . ^{[ 1 ]} Es el caso especial de${\displaystyle {}_{0}\Psi _{1}\left[\ldots \right]}$de la función Fox-Wright. Su representación en serie es

$${\displaystyle W_{\lambda ,\mu }(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!\,\Gamma (\lambda n+\mu )}},\lambda >-1.}$$

Esta función se utiliza ampliamente en el cálculo fraccionario . Recordemos que${\displaystyle \lim \limits _{\lambda \to 0}W_{\lambda ,\mu }(z)=e^{z}/\Gamma (\mu )}$Por lo tanto, un valor distinto de cero${\displaystyle \lambda }$con cero${\displaystyle \mu }$es la extensión no trivial más simple de la función exponencial en este contexto.

Tres propiedades fueron enunciadas en el Teorema 1 de Wright (1933) ^{[ 2 ]} y 18.1(30–32) de Erdelyi, Bateman Project, Vol 3 (1955) ^{[ 3 ]} (p. 212)

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda zW_{\lambda ,\mu +\lambda }(z)&=W_{\lambda ,\mu -1}(z)+(1-\mu )W_{\lambda ,\mu }(z)&(a)\\[6pt]{d \over dz}W_{\lambda ,\mu }(z)&=W_{\lambda ,\mu +\lambda }(z)&(b)\\[6pt]\lambda z{d \over dz}W_{\lambda ,\mu }(z)&=W_{\lambda ,\mu -1}(z)+(1-\mu )W_{\lambda ,\mu }(z)&(c)\end{aligned}}}$$

La ecuación (a) es una fórmula de recurrencia. Las ecuaciones (b) y (c) proporcionan dos maneras de reducir una derivada. Además, la ecuación (c) se puede derivar de las ecuaciones (a) y (b).

Un caso especial de (c) es${\displaystyle \lambda =-c\alpha,\mu =0}$. Reemplazando${\displaystyle z}$con${\displaystyle -x^{\alpha }}$, tenemos

$${\displaystyle {\begin{array}{lcl}x{d \over dx}W_{-c\alpha ,0}(-x^{\alpha })&=&-{\frac {1}{c}}\left[W_{-c\alpha ,-1}(-x^{\alpha })+W_{-c\alpha ,0}(-x^{\alpha })\right]\end{array}}}$$

Un caso especial de (a) es${\displaystyle \lambda =-\alpha ,\mu =1}$. Reemplazando${\displaystyle z}$con${\displaystyle -z}$, tenemos $${\displaystyle \alpha zW_{-\alpha ,1-\alpha }(-z)=W_{-\alpha ,0}(-z)}$$

Dos notaciones,${\displaystyle M_{\alpha }(z)}$y${\displaystyle F_{\alpha }(z)}$, se utilizaron ampliamente en la literatura:

$${\displaystyle {\begin{aligned}M_{\alpha }(z)&=W_{-\alpha ,1-\alpha }(-z),\\[1ex]\implies F_{\alpha }(z)&=W_{-\alpha ,0}(-z)=\alpha zM_{\alpha }(z).\end{aligned}}}$$

• Función de Prabhakar
• Función hipergeométrica
• Función hipergeométrica generalizada
• Distribución seminormal modificada

• Fox, C. (1928). "La expansión asintótica de funciones integrales definidas por series hipergeométricas generalizadas". Proc. London Math. Soc . 27 (1): 389– 400. doi : 10.1112/plms/s2-27.1.389 .
• Wright, EM (1935). "La expansión asintótica de la función hipergeométrica generalizada". J. London Math. Soc . 10 (4): 286– 293. doi : 10.1112/jlms/s1-10.40.286 .
• Wright, EM (1940). "La expansión asintótica de la función hipergeométrica generalizada". Proc. London Math. Soc . 46 (2): 389– 408. doi : 10.1112/plms/s2-46.1.389 .
• Wright, EM (1952). "Erratum a "La expansión asintótica de la función hipergeométrica generalizada"" . J. London Math. Soc . 27 : 254. doi : 10.1112/plms/s2-54.3.254-s .
• Srivastava, HM; Manocha, HL (1984). Un tratado sobre funciones generadoras . E. Horwood. ISBN 0-470-20010-3.
• Miller, AR; Moskowitz, IS (1995). "Reducción de una clase de funciones psi de Fox-Wright para ciertos parámetros racionales" . Computers Math. Applic . 30 (11): 73– 82. doi : 10.1016/0898-1221(95)00165-u .
• Sun, Jingchao; Kong, Maiying; Pal, Subhadip (22 de junio de 2021). "La distribución seminormal modificada: propiedades y un esquema de muestreo eficiente" . Communications in Statistics – Theory and Methods . 52 (5): 1591– 1613. doi : 10.1080/03610926.2021.1934700 . ISSN 0361-0926 . S2CID 237919587 .  

• Hypergeom en GitLab