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Articulo de referencia

Función de Prabhakar

La función de Prabhakar es una función especial en matemáticas introducida por el matemático indio Tilak Raj Prabhakar en un artículo publicado en 1971. [ 1 ] Esta función es un...

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La función de Prabhakar es una función especial en matemáticas introducida por el matemático indio Tilak Raj Prabhakar en un artículo publicado en 1971. [ 1 ] Esta función es una generalización de tres parámetros de la conocida función de Mittag-Leffler de dos parámetros . Originalmente, se introdujo para resolver ciertas clases de ecuaciones integrales . Posteriormente, se descubrió que tenía aplicaciones en la teoría del cálculo fraccionario y también en ciertas áreas de la física. [ 2 ]

Definición

Primero se definen las funciones de Mittag-Leffler de uno y dos parámetros. Luego se presenta la definición de la función de Mittag-Leffler de tres parámetros, la función de Prabhakar. En las siguientes definiciones,Γ(z){\displaystyle \Gamma (z)}es la conocida función gamma definida por

Γ(z)=∫0∞tz−1mi−zdz,ℜ(z)>0{\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-z}\,dz,\quad \Re (z)>0}.

En lo que sigue se asumirá queα{\displaystyle \alpha },β{\displaystyle \beta }yγ{\displaystyle \gamma }son todos números complejos.

Función Mittag-Leffler de un parámetro

La función de Mittag-Leffler de un parámetro se define como [ 3 ].

miα(z)=∑norte=0∞znorteΓ(αnorte+1).{\displaystyle E_{\alpha }(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {z^{n}}{\Gamma (\alpha n+1)}}.}

Función de Mittag-Leffler de dos parámetros

La función de Mittag-Leffler de dos parámetros se define como [ 4 ].

miα,β(z)=∑norte=0∞znorteΓ(αnorte+β),ℜ(α)>0.{\displaystyle E_{\alpha ,\beta }(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {z^{n}}{\Gamma (\alpha n+\beta )}},\quad \Re (\alpha )>0.}

Función de Mittag-Leffler de tres parámetros (función de Prabhakar)

La función de Mittag-Leffler de tres parámetros (función de Prabhakar) se define mediante [ 1 ] [ 5 ] [ 6 ].

miα,βγ(z)=∑norte=0∞(γ)nortenorte¡Γ(αnorte+β)znorte,ℜ(α)>0{\displaystyle E_{\alpha ,\beta }^{\gamma }(z)=\sum _ {n=0}^{\infty }{\dfrac {(\gamma )_{n}}{n!\Gamma (\alpha n+\beta )}}z^{n},\quad \Re (\alpha )>0}

dónde(γ)norte=γ(γ+1)…(γ+norte−1){\displaystyle (\gamma )_{n}=\gamma (\gamma +1)\ldots (\gamma +n-1)}.

Casos especiales elementales

Los siguientes casos especiales se derivan inmediatamente de la definición. [ 2 ]

  1. miα,β0(z)=1Γ(β){\displaystyle E_{\alpha ,\beta }^{0}(z)={\frac {1}{\Gamma (\beta )}}}
  2. miα,β1(z)=miα,β(z){\displaystyle E_{\alpha ,\beta }^{1}(z)=E_{\alpha ,\beta }(z)}, la función de Mittag-Leffler de dos parámetros.
  3. miα,11(z)=miα(z){\displaystyle E_{\alpha ,1}^{1}(z)=E_{\alpha }(z)}, la función de Mittag-Leffler de un parámetro.
  4. mi1,11(z)=miz{\displaystyle E_{1,1}^{1}(z)=e^{z}}, la función exponencial clásica .

Propiedades

Fórmula de reducción

La siguiente fórmula se puede simplificar para disminuir el valor del tercer parámetro.γ{\displaystyle \gamma }. [ 2 ]

miα,βγ+1(z)=1αγ[miα,β−1γ(z)+(1−β+αγ)miα,βγ(z)]{\displaystyle E_{\alpha ,\beta }^{\gamma +1}(z)={\frac {1}{\alpha \gamma }}{\big [}E_{\alpha ,\beta -1}^{\gamma }(z)+(1-\beta +\alpha \gamma )E_{\alpha ,\beta }^{\gamma }(z){\big ]}}

Relación con la función de Fox-Wright

La función de Prabhakar está relacionada con la función de Fox-Wright mediante la siguiente relación:

miα,βγ(z)=1Γ(γ)1Ψ1((γ,1)(β,α);z){\displaystyle E_{\alpha ,\beta }^{\gamma }(z)={\frac {1}{\Gamma (\gamma )}}{}_{1}\Psi _{1}\left({\begin{matrix}\left(\gamma ,1\right)\\(\beta ,\alpha )\end{matrix}};z\right)}

Derivados

La derivada de la función de Prabhakar viene dada por

ddz(miα,βγ(z))=1αz[miα,β−1γ(z)+(1−β)miα,βγ]{\displaystyle {\frac {d}{dz}}\left(E_{\alpha ,\beta }^{\gamma }(z)\right)={\frac {1}{\alpha z}}{\big [}E_{\alpha ,\beta -1}^{\gamma }(z)+(1-\beta )E_{\alpha ,\beta }^{\gamma }{\big ]}}

Existe una expresión general para derivadas de orden superior. Seametro{\displaystyle m}ser un número entero positivo.metro{\displaystyle m}La -ésima derivada de la función de Prabhakar viene dada por

dmetrodzmetro(miα,βγ(z))=Γ(γ+metro)Γ(γ)miα,metroα+βγ+metro(z){\displaystyle {\frac {d^{m}}{dz^{m}}}\left(E_{\alpha ,\beta }^{\gamma }(z)\right)={\frac {\Gamma (\gamma +m)}{\Gamma (\gamma )}}E_{\alpha ,m\alpha +\beta }^{\gamma +m}(z)}

El siguiente resultado es útil en las aplicaciones.

dmetrodzmetro(tβ−1miα,βγ(tαz))=tβ−metro−1miα,β−metroγ(tαz){\displaystyle {\frac {d^{m}}{dz^{m}}}\left(t^{\beta -1}E_{\alpha ,\beta }^{\gamma }(t^{\alpha }z)\right)=t^{\beta -m-1}E_{\alpha ,\beta -m}^{\gamma }(t^{\alpha }z)}

Integrales

Se conoce el siguiente resultado que involucra la función de Prabhakar.

∫0tτβ−1miα,βγ(ταz)=tβmiα,β+1γ(tαz){\displaystyle \int _{0}^{t}\tau ^{\beta -1}E_{\alpha ,\beta }^{\gamma }(\tau ^{\alpha }z)=t^{\beta }E_{\alpha ,\beta +1}^{\gamma }(t^{\alpha }z)}

Laplace transforma

El siguiente resultado, que involucra transformadas de Laplace, juega un papel importante tanto en aplicaciones físicas como en cálculos numéricos de la función de Prabhakar.

L[tβ−1miα,βγ(tαz);s]=sαγ−β(sα−z)γ,ℜ(s)>0,|s|>|z|1/α{\displaystyle L\left[t^{\beta -1}E_{\alpha ,\beta }^{\gamma }(t^{\alpha }z)\,;\,s\right]={\frac {s^{\alpha \gamma -\beta }}{(s^{\alpha }-z)^{\gamma }}},\quad \Re (s)>0,\quad |s|>|z|^{1/\alpha }}

Cálculo fraccionario de Prabhakar

La siguiente función se conoce en la literatura como el núcleo de Prabhakar. [ 2 ]

miα,βγ(t;λ)=tβ−1miα,βγ(λtα){\displaystyle e_{\alpha ,\beta }^{\gamma }(t;\lambda )=t^{\beta -1}E_{\alpha ,\beta }^{\gamma }(\lambda t^{\alpha })}

Dada cualquier funciónF(t){\displaystyle f(t)}, la convolución del núcleo de Prabhakar yF(t){\displaystyle f(t)}Se denomina integral fraccionaria de Prabhakar:

∫t0t(t−tú)β−1miα,βγ(λ(t−tú)α)F(tú)dtú{\displaystyle \int _{t_{0}}^{t}(t-u)^{\beta -1}E_{\alpha ,\beta }^{\gamma }\left(\lambda (t-u)^{\alpha }\right)f(u)\,du}

Las propiedades de la integral fraccionaria de Prabhakar se han estudiado ampliamente en la literatura. [ 7 ] [ 8 ]

Referencias

  1. 1 2 Tilak Raj Prabhakar (1971). "Una ecuación integral singular con una función de Mittag-Leffler generalizada en el núcleo" (PDF) . Yoklohama Mathematics Journal . 19 (1): 7– 15. Recuperado el 27 de diciembre de 2023 .
  2. 1 2 3 4 Andrea Giusti, Ivano Colombaro, Roberto Garra (2020). "Una guía práctica para el cálculo fraccional de Prabhakar". Cálculo fraccional y análisis aplicado . 25 (1): 9– 54. arXiv : 2002.10978 . doi : 10.1515/fca-2020-0002 .{{cite journal}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
  3. ↑ Rudolf Gorenflo, Anatoly A. Kilbas, Francesco Mainardi, Sergei V. Rogosin (2014). Funciones de Mittag-Leffler, temas relacionados y aplicaciones . Springer. pág. 17. ISBN  978-3-662-43929-6.{{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
  4. ↑ Rudolf Gorenflo, Anatoly A. Kilbas, Francesco Mainardi, Sergei V. Rogosin (2014). Funciones de Mittag-Leffler, temas relacionados y aplicaciones . Springer. pág. 56. ISBN  978-3-662-43929-6.{{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
  5. ↑ Rudolf Gorenflo, Anatoly A. Kilbas, Francesco Mainardi, Sergei V. Rogosin (2014). Funciones de Mittag-Leffler, temas relacionados y aplicaciones . Springer. pág. 97. ISBN  978-3-662-43929-6.{{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
  6. ↑ Roberto Garra y Roberto Garrappa (2018). "La función de Prabhakar o de Mittag-Leffler de tres parámetros: teoría y aplicación". Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation . 56 : 314–329 . arXiv : 1708.07298v2 . Bibcode : 2018CNSNS..56..314G . doi : 10.1016/j.cnsns.2017.08.018 .
  7. ↑ Anatoly A. Kilbas, Megumi Saigo y RK Saxena (2004). "Función de Mittag-Leffler generalizada y operadores de cálculo fraccional generalizados". Transformadas Integrales y Funciones Especiales . 15 (1): 31– 49. doi : 10.1080/10652460310001600717 . S2CID 120569191 . 
  8. ↑ F. Polito y Z. Tomovski (2016). "Algunas propiedades de los operadores de cálculo fraccional de tipo Prabhakar". Cálculo diferencial fraccional . 6 (1): 73– 94. arXiv : 1508.03224 . doi : 10.7153/fdc-06-05 .