Integrador de orden fraccional

Un integrador de orden fraccional , o simplemente integrador fraccional , es un dispositivo integrador que calcula la integral o derivada de orden fraccional (generalmente denominada diferintegral ) de una entrada. La diferenciación o integración es un parámetro real o complejo. El integrador fraccional resulta útil en el control de orden fraccional, donde el historial del sistema bajo control es importante para la salida del sistema de control.

Algunos controladores industriales utilizan controladores PID de orden fraccional (FOPID), que han superado el rendimiento de los estándar, hasta el punto de que estos últimos a veces se consideran un caso especial de FOPID. Los integradores y diferenciadores de orden fraccional son el componente principal de los FOPID. ^{[ 1 ]}

El operador difintegral ,$${\displaystyle {}_{a}\mathbb {D} _{t}^{q}\left(f(x)\right)}$$ Incluye las operaciones de diferenciación e integración de orden entero, y permite un rango continuo de operaciones de orden no entero a su alrededor. Los parámetros a y t de la función diferente-integral describen el rango sobre el cual se calcula el resultado. El parámetro q de la función diferente-integral puede ser cualquier número real o complejo : si q es mayor que cero, la función diferente-integral calcula una derivada; si q es menor que cero, la función diferente-integral calcula una integral.

La integración de orden entero se puede calcular como una diferintegral de Riemann-Liouville , donde el peso de cada elemento en la suma es el valor unitario constante 1 , que es equivalente a la suma de Riemann . Para calcular una derivada de orden entero, los pesos en la suma serían cero, con la excepción de los puntos de datos más recientes, donde (en el caso de la primera derivada unitaria) el peso del punto de datos en t − 1 es −1 y el peso del punto de datos en t es 1. La suma de los puntos en la función de entrada usando estos pesos resulta en la diferencia de los puntos de datos más recientes. Estos pesos se calculan usando razones de la función Gamma que incorpora el número de puntos de datos en el rango [ a , t ] , y el parámetro q .  

Los dispositivos digitales tienen la ventaja de ser versátiles y no son susceptibles a variaciones inesperadas en la salida debido al calor o al ruido. Sin embargo, la naturaleza discreta de una computadora no permite calcular todo el historial. Debe existir un rango finito [ a , t ] . Por lo tanto, el número de puntos de datos N que se pueden almacenar en la memoria determina el punto de datos más antiguo en la memoria, de modo que el valor a nunca tiene más de N muestras de antigüedad. El efecto es que cualquier historial anterior a a se olvida por completo y ya no influye en la salida.

Una solución a este problema es la aproximación de Coopmans, que permite que los datos antiguos se olviden de forma más gradual (aunque todavía con una disminución exponencial, en lugar de la disminución según la ley de potencias de un dispositivo puramente analógico ).

Los dispositivos analógicos tienen la capacidad de retener información histórica durante intervalos más largos. Esto se traduce en que el parámetro a permanece constante, mientras que t aumenta.

No existe ningún error debido al redondeo , como en el caso de los dispositivos digitales, pero puede haber errores en el dispositivo debido a fugas , y también variaciones inesperadas en el comportamiento causadas por el calor y el ruido.

Un ejemplo de integrador de orden fraccional es una modificación del circuito integrador estándar , donde se utiliza un condensador como impedancia de retroalimentación en un amplificador operacional . Al reemplazar el condensador con un circuito RC Ladder , se obtiene un integrador de medio orden, es decir, con $${\displaystyle q=-{\frac {1}{2}},}$$ se puede construir.

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