Integral diferencial

En el cálculo fraccional , un área del análisis matemático , la diferintegral es un operador combinado de diferenciación / integración . Aplicada a una función ƒ, la q -diferintegral de f , aquí denotada por

${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}f}$

es la derivada fraccionaria (si q > 0) o la integral fraccionaria (si q < 0). Si q = 0, entonces la q -ésima diferintegral de una función es la función misma. En el contexto de la integración y diferenciación fraccionarias, existen varias definiciones de diferintegral.

Las cuatro formas más comunes son:

• La integral diferencial de Riemann-Liouville
  Esta es la más simple y fácil de usar, y por consiguiente es la más utilizada. Es una generalización de la fórmula de Cauchy para la integración repetida a orden arbitrario. Aquí,${\displaystyle n=\lceil q\rceil }$.$${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{a}^{RL}\mathbb {D} _{t}^{q}f(t)&={\frac {d^{q}f(t)}{d(ta)^{q}}}\\&={\frac {1}{\Gamma (nq)}}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\int _{a}^{t}(t-\tau )^{nq-1}f(\tau )d\tau \end{aligned}}}$$
• La diferencia integral de Grunwald-Letnikov
  La integral diferencial de Grunwald-Letnikov es una generalización directa de la definición de derivada . Su uso es más complejo que el de la integral diferencial de Riemann-Liouville, pero en ocasiones puede utilizarse para resolver problemas que la de Riemann-Liouville no puede.$${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{a}^{GL}\mathbb {D} _{t}^{q}f(t)&={\frac {d^{q}f(t)}{d(ta)^{q}}}\\&=\lim _{N\to \infty }\left[{\frac {ta}{N}}\right]^{-q}\sum _{j=0}^{N-1}(-1)^{j}{q \choose j}f\left(tj\left[{\frac {ta}{N}}\right]\right)\end{aligned}}}$$
• La integral de Weyl
  Esto es formalmente similar a la diferintegral de Riemann-Liouville, pero se aplica a funciones periódicas , con integral cero en un período.
• La integral diferencial de Caputo
  A diferencia de la diferintegral de Riemann-Liouville, la derivada de Caputo de una constante${\displaystyle f(t)}$es igual a cero. Además, una forma de la transformada de Laplace permite evaluar simplemente las condiciones iniciales calculando derivadas finitas de orden entero en el punto${\displaystyle a}$.$${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{a}^{C}\mathbb {D} _{t}^{q}f(t)&={\frac {d^{q}f(t)}{d(ta)^{q}}}\\&={\frac {1}{\Gamma (nq)}}\int _{a}^{t}{\frac {f^{(n)}(\tau )}{(t-\tau )^{q-n+1}}}d\tau \end{aligned}}}$$

Las definiciones de derivadas fraccionarias dadas por Liouville, Fourier y Grunwald y Letnikov coinciden. ^{[ 1 ]} Se pueden representar mediante transformadas de Laplace y Fourier o mediante el desarrollo en serie de Newton.

Recordemos la transformada continua de Fourier , aquí denotada${\displaystyle {\mathcal {F}}}$: $${\displaystyle F(\omega )={\mathcal {F}}\{f(t)\}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt}$$

Utilizando la transformada continua de Fourier, en el espacio de Fourier, la diferenciación se transforma en una multiplicación: $${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[{\frac {df(t)}{dt}}\right]=i\omega {\mathcal {F}}[f(t)]}$$

Entonces, $${\displaystyle {\frac {d^{n}f(t)}{dt^{n}}}={\mathcal {F}}^{-1}\left\{(i\omega )^{n}{\mathcal {F}}[f(t)]\right\}}$$ lo cual se generaliza a $${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}f(t)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{(i\omega )^{q}{\mathcal {F}}[f(t)]\right\}.}$$

Bajo la transformada de Laplace bilateral , aquí denotada por${\displaystyle {\mathcal {L}}}$y definido como${\textstyle {\mathcal {L}}[f(t)]=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt}$, la diferenciación se transforma en una multiplicación $${\displaystyle {\mathcal {L}}\left[{\frac {df(t)}{dt}}\right]=s{\mathcal {L}}[f(t)].}$$

Generalizando a un orden arbitrario y resolviendo para${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}f(t)}$, uno obtiene $${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{s^{q}{\mathcal {L}}[f(t)]\right\}.}$$

La representación mediante series de Newton es la interpolación de Newton sobre órdenes enteros consecutivos:

$${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}f(t)=\sum _{m=0}^{\infty }{\binom {q}{m}}\sum _{k=0}^{m}{\binom {m}{k}}(-1)^{mk}f^{(k)}(x).}$$

Para las definiciones de derivadas fraccionarias descritas en esta sección, se cumplen las siguientes identidades:

${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}(t^{n})={\frac {\Gamma (n+1)}{\Gamma (n+1-q)}}t^{nq}}$

${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}(\sin(t))=\sin \left(t+{\frac {q\pi }{2}}\right)}$

${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}(e^{at})=a^{q}e^{at}}$^{[ 2 ]}

• Reglas de linealidad$${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}(f+g)=\mathbb {D} ^{q}(f)+\mathbb {D} ^{q}(g)}$$

$${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}(af)=a\mathbb {D} ^{q}(f)}$$

• Regla cero$${\displaystyle \mathbb {D} ^{0}f=f}$$
• Regla del producto$${\displaystyle \mathbb {D} _{t}^{q}(fg)=\sum _{j=0}^{\infty }{q \choose j}\mathbb {D} _{t}^{j}(f)\mathbb {D} _{t}^{qj}(g)}$$

En general, la regla de composición (o semigrupo ) es una propiedad deseable, pero es difícil de lograr matemáticamente y, por lo tanto, no siempre es completamente satisfecha por cada operador propuesto; ^{[ 3 ]} esto forma parte del proceso de toma de decisiones sobre cuál elegir:

• ${\textstyle \mathbb {D} ^{a}\mathbb {D} ^{b}f=\mathbb {D} ^{a+b}f}$(idealmente)
• ${\textstyle \mathbb {D} ^{a}\mathbb {D} ^{b}f\neq \mathbb {D} ^{a+b}f}$(en la práctica)

• Integrador de orden fraccional

• MathWorld – Cálculo fraccionario
• MathWorld – Derivada fraccionaria
• Revista especializada: Cálculo Fraccional y Análisis Aplicado (1998-2014) y Cálculo Fraccional y Análisis Aplicado (desde 2015)
• Revista especializada: Ecuaciones diferenciales fraccionarias (EDF)
• Revista especializada: Communications in Fractional Calculus ( ISSN 2218-3892 ) 
• Revista especializada: Journal of Fractional Calculus and Applications (JFCA)
• Lorenzo, Carl F.; Hartley, Tom T. (2002). "Cálculo fraccional inicializado" . Tecnología de la información . Tech Briefs Media Group.
• https://web.archive.org/web/20040502170831/http://unr.edu/homepage/mcubed/FRG.html
• Colección de libros, artículos, enlaces, software, etc. relacionados, de Igor Podlubny.
• Podlubny, I. (2002). "Interpretación geométrica y física de la integración fraccionaria y la diferenciación fraccionaria" (PDF) . Cálculo fraccionario y análisis aplicado . 5 (4): 367– 386. arXiv : math.CA/0110241 . Bibcode : 2001math.....10241P . Archivado del original (PDF) el 7 de abril de 2006. Recuperado el 18 de mayo de 2004 .