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Fractura de materiales blandos

La fractura de materiales blandos implica grandes deformaciones y embotamiento de grietas antes de que se produzca la propagación de la grieta. En consecuencia, el campo de tens...

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La fractura de materiales blandos implica grandes deformaciones y embotamiento de grietas antes de que se produzca la propagación de la grieta. En consecuencia, el campo de tensiones cerca de la punta de la grieta es significativamente diferente de la formulación tradicional que se encuentra en la mecánica de fractura elástica lineal . Por lo tanto, el análisis de fractura para estas aplicaciones requiere una atención especial. [ 1 ] La mecánica de fractura elástica lineal (LEFM) y el campo K (véase Mecánica de fractura ) se basan en la suposición de deformación infinitesimal y, como resultado, no son adecuados para describir la fractura de materiales blandos. Sin embargo, el enfoque general de LEFM puede aplicarse para comprender los fundamentos de la fractura en materiales blandos. La solución para la deformación y el campo de tensiones de grieta en materiales blandos considera grandes deformaciones y se deriva del marco de la elastostática de deformación finita y los modelos de materiales hiperelásticos.

Los materiales blandos ( materia blanda ) consisten en un tipo de material que incluye, por ejemplo, tejidos biológicos blandos y elastómeros sintéticos, y que es muy sensible a las variaciones térmicas. Por lo tanto, los materiales blandos pueden deformarse considerablemente antes de que se propague una grieta. [ 2 ]

Modelos de materiales hiperelásticos

Los modelos de materiales hiperelásticos se utilizan para obtener la relación tensión-deformación mediante una función de densidad de energía de deformación. Los modelos relevantes para derivar relaciones tensión-deformación en materiales blandos son: el modelo sólido de Mooney-Rivlin , el modelo neo-Hookeano , el modelo de endurecimiento exponencial y el modelo hiperelástico de Gent . En esta página, los resultados se derivarán principalmente del modelo neo-Hookeano.

Neohookeano generalizado (FNG)

El modelo neo-Hookeano se generaliza para tener en cuenta el factor de endurecimiento:

W=μ2b{[1+bnorte(I−3)]norte−1},{\displaystyle W={\frac {\mu }{2b}}\left\{\left[1+{\frac {b}{n}}(I-3)\right]^{n}-1\right\},}

donde b>0 y n>1/2 son parámetros del material, yI=I1{\displaystyle I=I_{1}}es el primer invariante del tensor de deformación de Cauchy-Green:

I1=λ12+λ22+λ32,{\displaystyle I_{1}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2},}

dóndeλα{\displaystyle \lambda _ {\alpha }}son los tramos principales.

Modelo neo-hookeano específico

Al establecer n=1, se deriva la función específica de tensión-deformación para el modelo neo-Hookeano :

W=μ2(I−3){\displaystyle W={\frac {\mu}{2}}(I-3)}.

Soluciones para la punta de grietas con deformación finita (bajo grandes deformaciones)

Figura 1: Formulación del problema de la grieta. (A) Grieta no deformada con coordenadas (incógnita1,incógnita2{\displaystyle x_{1},x_{2}}) en base cartesiana y (r,θ{\displaystyle r,\theta }) en base polar. (B) La grieta está bajo condición de deformación plana con carga uniaxial y las coordenadas son (y1,y2{\displaystyle y_{1},y_{2}}) en base cartesiana y (ρ,ϕ{\displaystyle \rho ,\phi }) en base polar. Adaptado de Long y Hui [4].

Dado que el método LEFM ya no es aplicable, se adaptan métodos alternativos para capturar grandes deformaciones en el cálculo de los campos de tensión y deformación. En este contexto, el método de análisis asintótico resulta relevante.

Método de análisis asintótico

El método de análisis asintótico consiste en analizar asintóticamente la punta de la grieta para encontrar un desarrollo en serie de las coordenadas deformadas que permita caracterizar la solución cerca de la punta de la grieta. El análisis se reduce a un problema de valores propios no lineal. [ 3 ]

El problema se formula en base a una grieta en un sólido infinito, cargado en el infinito con tensión uniaxial uniforme bajo condición de deformación plana (véase la Fig. 1). A medida que la grieta se deforma y progresa, las coordenadas en la configuración actual se representan mediante y1{\displaystyle y_{1}}yy2{\displaystyle y_{2}}en base cartesiana yρ{\displaystyle \rho }yϕ{\displaystyle \phi }en base polar. Las coordenadasy1{\displaystyle y_{1}}yy2{\displaystyle y_{2}}son funciones de las coordenadas no deformadas (r,θ{\displaystyle r,\theta }) y cerca de la punta de la grieta, cuando r→0, se puede especificar como:

yα(r,θ)=rmetroαυα(θ)+rpagαqα(θ)+...{\displaystyle y_{\alpha }(r,\theta )=r^{m_{\alpha }}\upsilon _{\alpha }(\theta )+r^{p_{\alpha }}q_{\alpha }(\theta )+...}
metroα<pagα,{\displaystyle m_{\alpha }<p_{\alpha },}α=1,2,{\displaystyle \alpha =1,2,}

dóndemetroα{\displaystyle m_{\alpha }},pagα{\displaystyle p_{\alpha }}son exponentes desconocidos yυα(θ){\displaystyle \upsilon _{\alpha }(\theta )}, qα(θ){\displaystyle q_{\alpha }(\theta )}son funciones desconocidas que describen la variación angular.

Para obtener los autovalores, la ecuación anterior se sustituye en el modelo constitutivo, lo que produce los componentes de tensión nominales correspondientes. Luego, las tensiones se sustituyen en las ecuaciones de equilibrio (la misma formulación que en la teoría LEFM) y se aplican las condiciones de contorno. Se conservan los términos más dominantes, lo que da como resultado un problema de autovalores paraυα(θ){\displaystyle \upsilon _{\alpha }(\theta )}ymetroα{\displaystyle m_{\alpha }}. [ 4 ]

Deformación y campo de tensiones en una grieta de deformación plana

Para el caso de un sólido neo-Hookeano homogéneo (n=1) bajo la condición de Modo I, las coordenadas deformadas para una configuración de deformación plana vienen dadas por [ 4 ] [ 5 ].

y1=−b0rpecado2⁡(θ/2),y2=ar1/2pecado⁡(θ/2),{\displaystyle y_{1}=-b_{0}r\sin ^{2}(\theta /2),\quad y_{2}=ar^{1/2}\sin(\theta /2),}

donde un yb0{\displaystyle b_{0}}son amplitudes positivas desconocidas que dependen de la carga aplicada y la geometría de la muestra.

Los términos principales para la tensión nominal (o primera tensión de Piola-Kirchhoff , denotada porσ{\displaystyle \sigma }(en esta página) son:

σ11=μb0,σ12=o(1),{\displaystyle \sigma _{11}=\mu b_{0},\quad \sigma _{12}=o(1),}
σ21=−μa2r−1/2pecado⁡(θ/2),{\displaystyle \sigma _{21}=-{\frac {\mu a}{2}}r^{-1/2}\sin(\theta /2),}
σ22=μa2r−1/2porque⁡(θ/2).{\displaystyle \sigma _{22}={\frac {\mu a}{2}}r^{-1/2}\cos(\theta /2).}

De este modo,σ11{\displaystyle \sigma _{11}}y σ21{\displaystyle \sigma _{21}}están delimitados en la punta de la grieta y σ21{\displaystyle \sigma _{21}}y σ22{\displaystyle \sigma _{22}}tienen la misma singularidad.

Los términos principales para la tensión verdadera (o tensión de Cauchy , denotada porτ{\displaystyle \tau }en esta página),

τ11=μb02pecado2⁡(θ/2),{\displaystyle \tau _{11}=\mu b_{0}^{2}\sin ^{2}(\theta /2),}
τ12=τ21=−μ2ab0r−1/2pecado2⁡(θ/2),{\displaystyle \tau _{12}=\tau _{21}=-{\frac {\mu }{2}}ab_{0}r^{-1/2}\sin ^{2}(\theta /2),}
τ22=μ4a2r−1.{\displaystyle \tau _{22}={\frac {\mu }{4}}a^{2}r^{-1}.}

El único componente de tensión verdadero completamente definido por un es τ22{\displaystyle \tau _{22}}También presenta la singularidad más severa. Con esto, queda claro que la singularidad difiere si la tensión se da en la configuración actual o de referencia. Además, en LEFM, el campo de tensión real bajo el Modo I tiene una singularidad der−1/2{\displaystyle {r}^{-1/2}}, [ 6 ] que es más débil que la singularidad enτ22{\displaystyle \tau _{22}}.

Mientras que en LEFM el campo de desplazamiento cerca de la punta depende solo del factor de intensidad de tensión del Modo I , aquí se muestra que para grandes deformaciones, el desplazamiento depende de dos parámetros (a yb0{\displaystyle b_{0}}para una condición de deformación plana).

Deformación y campo de tensiones en una grieta de tensión plana

El campo de deformación de la punta de la grieta para una configuración de Modo I en un sólido neo-Hookeano de material homogéneo (n=1) viene dado por [ 4 ] [ 5 ].

y1=dorporque⁡θ,y2=arpecado⁡(θ/2),{\displaystyle y_{1}=cr\,\cos \theta ,\quad y_{2}=a{\sqrt {r}}\sin(\theta /2),}

donde a y c son amplitudes positivas e independientes determinadas por las condiciones de contorno de campo lejano.

Los términos dominantes de la tensión nominal son

σ11=μdo,σ12=o(1),{\displaystyle \sigma _{11}=\mu c,\quad \sigma _{12}=o(1),}
σ21=−μa2r−1/2pecado⁡(θ/2),{\displaystyle \sigma _{21}=-{\frac {\mu a}{2}}r^{-1/2}\sin(\theta /2),}
σ22=μa2r−1/2porque⁡(θ/2).{\displaystyle \sigma _{22}={\frac {\mu a}{2}}r^{-1/2}\cos(\theta /2).}

Y los verdaderos componentes de estrés son

τ11=μdo2,τ12=τ21=−μ2ador−1/2pecado⁡(θ/2),{\displaystyle \tau _{11}=\mu c^{2},\quad \tau _{12}=\tau _{21}=-{\frac {\mu }{2}}acr^{-1/2}\sin(\theta /2),}
τ22=μ4a2r−1.{\displaystyle \tau _{22}={\frac {\mu }{4}}a^{2}r^{-1}.}

Análogamente, el desplazamiento depende de dos parámetros (a y c para una condición de tensión plana ) y la singularidad es más fuerte en el τ22{\displaystyle \tau _{22}}término.

La distribución de la tensión real en las coordenadas deformadas (como se muestra en la figura 1B) puede ser relevante al analizar la propagación de grietas y el fenómeno de redondeo. Además, resulta útil para verificar los resultados experimentales de la deformación de la grieta.

Integral J

La integral J representa la energía que fluye hacia la grieta; por lo tanto, se utiliza para calcular la tasa de liberación de energía , G. Además, puede emplearse como criterio de fractura. Se ha comprobado que esta integral es independiente de la trayectoria siempre que el material sea elástico y no se produzcan daños en la microestructura.

Evaluar J en una trayectoria circular en la configuración de referencia produce

J=πA(2norte−12norte)2norte−1norte2−nortea2norte,{\displaystyle J=\pi A\left({\frac {2n-1}{2n}}\right)^{2n-1}n^{2-n}a^{2n},}

para el modo I de deformación plana, donde a es la amplitud del término de orden principal dey2{\displaystyle y_{2}}y A y n son parámetros del material derivados de la función de energía de deformación.

Para el modo de tensión plana I en un material neoheookean, J viene dado por

J=μπ2(bnorte)norte−1(2norte−12norte)2norte−1norte1−nortea2norte,{\displaystyle J={\frac {\mu \pi }{2}}\left({\frac {b}{n}}\right)^{n-1}\left({\frac {2n-1}{2n}}\right)^{2n-1}n^{1-n}a^{2n},}

donde b y n son parámetros materiales de los sólidos GNH. Para el caso específico de un modelo neo-Hookeano, donde n=1, b=1 yA=μ/2{\displaystyle A=\mu /2}, la integral J para tensión plana y deformación plana en Modo I son las mismas:

J=μπa24.{\displaystyle J={\frac {\mu \pi a^{2}}{4}}.}

Integral J en el experimento de cizallamiento puro

La integral J se puede determinar experimentalmente. Un experimento común es el de corte puro en una tira infinitamente larga, como se muestra en la Fig. 2. Los bordes superior e inferior se sujetan con mordazas y la carga se aplica tirando de ellas verticalmente en ± ∆. [ 4 ] Este conjunto genera una condición de tensión plana.

Figura 2: Experimento de cizallamiento puro.

Bajo estas condiciones, la integral J se evalúa, por lo tanto, como

J=2h0W(I1,I2)=2h0Ψ(λ),{\displaystyle J=2h_{0}W(I_{1},I_{2})=2h_{0}\Psi (\lambda),}

dóndeI1=I2=λ2+λ−2+1,{\displaystyle I_{1}=I_{2}=\lambda ^{2}+\lambda ^{-2}+1,}λ=1+Δh0,{\displaystyle \lambda =1+{\frac {\Delta }{h_{0}}},}

yh0{\displaystyle h_{0}}es la altura de la tira en estado no deformado. La funciónΨ(λ){\displaystyle \Psi (\lambda)}se determina midiendo la tensión nominal que actúa sobre la tira estirada porλ{\displaystyle \lambda }:

Ψ=∫1λσ(λ)dλ.{\displaystyle \Psi =\int _{1}^{\lambda }\sigma (\lambda )d\lambda .}

Por lo tanto, a partir del desplazamiento impuesto de cada mordaza, ± ∆, es posible determinar la integral J para la tensión nominal correspondiente. Con la integral J, se puede hallar la amplitud (parámetro a) de algunos componentes de tensión reales. Sin embargo, las amplitudes de otros componentes de tensión dependen de otros parámetros como c (por ejemplo, σ11{\displaystyle \sigma _{11}}bajo condiciones de tensión plana) y no puede determinarse mediante el experimento de cizallamiento puro. Sin embargo, el experimento de cizallamiento puro es muy importante porque permite caracterizar la tenacidad a la fractura de materiales blandos.

grietas en la interfaz

Figura 3: Geometría de la grieta de la interfaz. Adaptado de Gaubelle y Knauss [5].

Para abordar la interacción de adhesión entre adhesivos blandos y sustratos rígidos, se especifica la solución asintótica para un problema de fisura interfacial entre un material GNH y un sustrato rígido. [ 5 ] La configuración de fisura interfacial considerada aquí se muestra en la Fig. 3, donde se desprecia el deslizamiento lateral.

Para el caso especial neo-Hookeano con n=1, y v1¯=v2¯=porque⁡θ{\displaystyle {\overline {v_{1}}}={\overline {v_{2}}}=\cos \theta }, la solución para las coordenadas deformadas es

y1=a1r12pecado⁡(θ2)+rporque⁡θ,{\displaystyle y_{1}=a_{1}r^{\frac {1}{2}}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)+r\cos \theta ,}
y2=a2r12pecado⁡(θ2),{\displaystyle y_{2}=a_{2}r^{\frac {1}{2}}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right),}
Figura 4: Interfaz entre material blando y sustrato rígido. A) Representación gráfica de las coordenadas deformadas de la punta de la grieta. B) Forma parabólica de la punta de la grieta.

lo cual es equivalente a

y1=a1a2y2−(y2a2)2.{\displaystyle y_{1}={\frac {a_{1}}{a_{2}}}y_{2}-\left({\frac {y_{2}}{a_{2}}}\right)^{2}.}

Según la ecuación anterior, se observa que la grieta en este tipo de interfaz se abre con forma parabólica. Esto se confirma al graficar las coordenadas normalizadas.y1/a22{\displaystyle y_{1}/a_{2}^{2}}vs y2/a22{\displaystyle y_{2}/a_{2}^{2}}para diferentesa1/a2{\displaystyle a_{1}/a_{2}}relaciones (véase la figura 4).

Para analizar la interfaz entre dos láminas de GNH con las mismas características de endurecimiento, consulte el modelo descrito por Gaubelle y Knauss. [ 5 ]

Véase también

Referencias

  1. ↑ Goldman Boué, T.; Harpaz, R.; Fineberg, J.; Bouchbinder, E. (2015). "Failing softly: a fracture theory of highly-deformable materials". Soft Matter . 11 (19): 3812– 3821. arXiv : 1502.04848 . Bibcode : 2015SMat...11.3812G . doi : 10.1039/c5sm00496a . ISSN 1744-683X . PMID 25857951 . S2CID 3563761 .   
  2. ↑ Hui, C.-Y.; A., Jagota; Bennison, S. J; Londono, JD (2003-06-08). "Fruncimiento de grietas y resistencia de sólidos elásticos blandos". Actas de la Royal Society de Londres. Serie A: Ciencias Matemáticas, Físicas y de Ingeniería . 459 (2034): 1489– 1516. Bibcode : 2003RSPSA.459.1489H . doi : 10.1098/rspa.2002.1057 . ISSN 1471-2946 . S2CID 17786122 .  
  3. ↑ Knowles, JK; Sternberg, Eli (junio de 1973). "Análisis asintótico de deformación finita del campo elastostático cerca de la punta de una grieta". Journal of Elasticity . 3 (2): 67– 107. doi : 10.1007/bf00045816 . ISSN 0374-3535 . S2CID 123079586 .  
  4. 1 2 3 4 Long, Rong; Hui, Chung-Yuen (septiembre de 2015). "Campos de punta de grieta en sólidos elásticos blandos sometidos a grandes deformaciones cuasiestáticas: una revisión" . Extreme Mechanics Letters . 4 : 131–155 . doi : 10.1016/j.eml.2015.06.002 . ISSN 2352-4316 . 
  5. 1 2 3 4 Geubelle, Philippe H.; Knauss, Wolfgang G. (1994). "Deformaciones finitas en la punta de una grieta en una lámina de material hiperelástico: II. Casos especiales de bimateriales". Journal of Elasticity . 35 ( 1– 3): 99– 137. doi : 10.1007/bf00115540 . ISSN 0374-3535 . S2CID 120614422 .  
  6. ↑ Zehnder, Alan T. (2012). Mecánica de fractura . Notas de clase en mecánica aplicada y computacional. Vol. 62. doi : 10.1007/978-94-007-2595-9 . ISBN  978-94-007-2594-2ISSN 1613-7736​​