El argumento de Frattini

En la teoría de grupos , una rama de las matemáticas , el argumento de Frattini es un lema importante en la teoría de la estructura de los grupos finitos . Recibe su nombre de Giovanni Frattini , quien lo utilizó en un artículo de 1885 al definir el subgrupo de Frattini de un grupo. El argumento fue tomado por Frattini, como él mismo admite, de un artículo de Alfredo Capelli fechado en 1884. ^[1]

Si es un grupo finito con subgrupo normal , y si es un p -subgrupo de Sylow de , entonces ${\estilo de visualización G}$${\estilo de visualización H}$${\estilo de visualización P}$${\estilo de visualización H}$

$Estilo de visualización G=N_{G}(P)H,$

donde denota el normalizador de en , y significa el producto de los subconjuntos del grupo . $Estilo de visualización N_{G}(P)}$${\estilo de visualización P}$${\estilo de visualización G}$$Estilo de visualización N_{G}(P)H$

El grupo es un subgrupo de Sylow de , por lo que cada subgrupo de Sylow de es un conjugado de , es decir, tiene la forma para algún (ver teoremas de Sylow ). Sea cualquier elemento de . Como es normal en , el subgrupo está contenido en . Esto significa que es un subgrupo de Sylow de . Entonces, por lo anterior, debe ser conjugado con : es decir, para algún${\estilo de visualización P}$${\estilo de visualización p}$${\estilo de visualización H}$${\estilo de visualización p}$${\estilo de visualización H}$${\estilo de visualización H}$${\estilo de visualización P}$$Estilo de visualización h-1Ph$${\displaystyle h\en H}$${\estilo de visualización g}$${\estilo de visualización G}$${\estilo de visualización H}$${\estilo de visualización G}$$estilo de visualización g^{-1}Pg}$${\estilo de visualización H}$$estilo de visualización g^{-1}Pg}$${\estilo de visualización p}$${\estilo de visualización H}$${\estilo de visualización H}$${\estilo de visualización P}$${\displaystyle h\en H}$

${\displaystyle g^{-1}Pg=h^{-1}Ph,}$

y entonces

${\displaystyle hg^{-1}Pgh^{-1}=P.}$

De este modo

${\displaystyle gh^{-1}\en N_{G}(P),}$

y por lo tanto . Pero era arbitrario, y por eso$Estilo de visualización g en N_{G}(P)H$${\displaystyle g\en G}$${\displaystyle G=HN_{G}(P)=N_{G}(P)H.\ \cuadrado }$

• El argumento de Frattini puede utilizarse como parte de una prueba de que cualquier grupo nilpotente finito es un producto directo de sus subgrupos de Sylow.
• Aplicando el argumento de Frattini a , se puede demostrar que siempre que es un grupo finito y es un subgrupo de Sylow de .$Estilo de visualización N_{G}(N_{G}(P))}$${\displaystyle N_{G}(N_{G}(P))=N_{G}(P)}$${\estilo de visualización G}$${\estilo de visualización P}$${\estilo de visualización p}$${\estilo de visualización G}$
• De manera más general, si un subgrupo contiene para algún subgrupo de Sylow de , entonces es autonormalizante, es decir .${\estilo de visualización M\leq G}$$Estilo de visualización N_{G}(P)}$${\estilo de visualización p}$${\estilo de visualización P}$${\estilo de visualización G}$${\estilo de visualización M}$$Estilo de visualización M=N_{G}(M)}$

• El argumento de Frattini en ProofWiki

• Hall, Marshall (1959). La teoría de grupos . Nueva York, NY: Macmillan. (Véase el Capítulo 10, especialmente la Sección 10.4.)