ecuación de difracción de Fraunhofer

Suponiendo que el centro de la ranura se encuentra en x = 0 , la primera ecuación anterior, para todos los valores de y , es: ^{[ 11 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}U(x,z)&=a\int _{-W/2}^{W/2}e^{{-2\pi ixx'}/(\lambda z)}\,dx'\\[4pt]&=-{\frac {a\lambda z}{2\pi ix}}\left[e^{{-2\pi ixx'}/(\lambda z)}\right]_{-W/2}^{W/2}\end{aligned}}}$$

Utilizando la fórmula de Euler , esto se puede simplificar a: $${\displaystyle {\begin{aligned}U(x,z)&=aW{\frac {\sin \left[{\frac {\pi Wx}{\lambda z}}\right]}{\frac {\pi Wx}{\lambda z}}}\\&=aW\operatorname {sinc} {\frac {\pi Wx}{\lambda z}}\end{aligned}}}$$

donde sinc ( p ) = sin( p )/ p . La función sinc a veces se define como sin( π p )/ π p y esto puede causar confusión al observar derivaciones en diferentes textos.

Esto también se puede escribir como: $${\displaystyle U(\theta )=aW\operatorname {sinc} \left[{\frac {\pi W\sin \theta }{\lambda }}\right]}$$ donde θ es el ángulo entre el eje z y la línea que une x con el origen y sen θ ≈ x / z cuando θ << 1 .

La hendidura se puede representar mediante la función rect como: ^{[ 12 ]}$${\displaystyle \operatorname {rect} \left({\frac {x}{W}}\right)}$$

La transformada de Fourier de esta función viene dada por $${\displaystyle {\hat {f}}(\operatorname {rect} (ax))={\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {sinc} \left({\frac {\xi }{a}}\right)}$$ donde ξ es la frecuencia de la transformada de Fourier, y la función sinc se define aquí como sin( π x )/( π x ).

La frecuencia de la transformada de Fourier aquí es x / λz , lo que da como resultado $${\displaystyle {\begin{aligned}U(x,z)&\propto W{\frac {\sin {\frac {\pi Wx}{\lambda z}}}{\frac {\pi Wx}{\lambda z}}}\\&\propto W\operatorname {sinc} {\frac {\pi Wx}{\lambda z}}\\&\propto W\operatorname {sinc} {\frac {\pi W\sin \theta }{\lambda }}\\&\propto W\operatorname {sinc} (kW\sin \theta /2)\end{aligned}}}$$

Tenga en cuenta que la función sinc se define aquí como sin( x )/( x ) para mantener la coherencia.

La intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud y, por lo tanto, es ^{[ 13 ].}$${\displaystyle {\begin{aligned}I(\theta )&\propto \operatorname {sinc} ^{2}\left[{\frac {\pi W\sin \theta }{\lambda }}\right]\\&\propto \operatorname {sinc} ^{2}\left[{\frac {kW\sin \theta }{2}}\right]\end{aligned}}}$$

Utilizando la relación de recurrencia ^{[ 17 ]}$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[x^{n+1}J_{n+1}(x)\right]=x^{n+1}J_{n}(x)}$$ dar $${\displaystyle \int _{0}^{x}x'J_{0}(x')\,dx'=xJ_{1}(x)}$$

Si sustituimos $${\displaystyle x'={\frac {2\pi \rho }{\lambda z}}\rho '}$$ y los límites de la integración se convierten en 0 y πρW / λz , obtenemos $${\displaystyle U(\rho ,z)\propto {\frac {J_{1}(\pi W\rho /\lambda z)}{\pi W\rho /\lambda z}}}$$

Haciendo ρ / z = sin θ , obtenemos $${\displaystyle U(\theta )\propto {\frac {J_{1}(\pi W\sin \theta /\lambda )}{\pi W\sin \theta /\lambda }}}$$

Podemos escribir la función de apertura como una función escalón.$${\displaystyle \Pi (W/2)}$$

La transformada de Fourier-Bessel para esta función viene dada por la relación $${\displaystyle F[\Pi (r/a)]={\frac {2\pi J_{1}(qa)}{q}}}$$ donde q/2π es la frecuencia de transformación que es igual a ρ / λz y a = W /2 .

Así, obtenemos $${\displaystyle {\begin{aligned}U(\rho )&={\frac {2\pi J_{1}(\pi W\rho /\lambda z)}{2\pi W\rho /\lambda z}}\\&={\frac {2\pi J_{1}(\pi W\sin \theta /\lambda )}{W\sin \theta /\lambda }}\\&={\frac {2\pi J_{1}(kW\sin \theta /2)}{kW\sin \theta /2}}\end{aligned}}}$$

La intensidad viene dada por: ^{[ 18 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}I(\theta )&\propto \left[{\frac {J_{1}(\pi W\sin \theta /\lambda )}{(\pi W\sin \theta /\lambda )}}\right]^{2}\\&\propto \left[{\frac {J_{1}(kW\sin \theta /2)}{(kW\sin \theta /2)}}\right]^{2}\end{aligned}}}$$

Esto se conoce como el patrón de difracción de Airy.

El patrón de difracción es simétrico con respecto al eje normal.

La transformada de Fourier-Bessel o de Hankel se define como $${\displaystyle F_{\nu }(k)=\int _{0}^{\infty }f(r)J_{\nu }(kr)\,r\,dr}$$ donde J _ν es la función de Bessel de primera especie de orden ν con ν ≥ −1/2 .

La transformada de Hankel es $${\displaystyle F_{\nu }{\left[e^{(ar)^{2}/2}\right]}={\frac {e^{-k^{2}/2a^{2}}}{a^{2}}}}$$ donación $${\displaystyle U(\rho ,z)\propto e^{-\left[{\frac {\pi \rho \sigma }{\lambda z}}\right]^{2}}}$$ y $${\displaystyle U(\theta )\propto e^{-\left[{\frac {\pi \sigma \sin \theta }{\lambda }}\right]^{2}}}$$

La intensidad viene dada por: ^{[ 19 ]}$${\displaystyle I(\theta )\propto e^{-{\frac {2\pi ^{2}\sigma ^{2}\sin ^{2}\theta }{\lambda ^{2}}}}}$$

Esta función se representa gráficamente a la derecha, y se puede observar que, a diferencia de los patrones de difracción producidos por aperturas rectangulares o circulares, no presenta anillos secundarios. Esto se puede utilizar en un proceso denominado apodización : la apertura se cubre con un filtro cuya transmisión varía según una función gaussiana, lo que da como resultado un patrón de difracción sin anillos secundarios. ^{[ 20 ] [ 21 ]}

Supongamos que tenemos dos rendijas largas iluminadas por una onda plana de longitud de onda λ . Las rendijas se encuentran en el plano z = 0 , paralelas al eje y , separadas por una distancia S y son simétricas respecto al origen. El ancho de las rendijas es pequeño en comparación con la longitud de onda.

La luz incidente se difracta en las rendijas en ondas esféricas uniformes. Las ondas que viajan en una dirección θ dada desde las dos rendijas tienen fases diferentes. La fase de las ondas de las rendijas superior e inferior con respecto al origen viene dada por (2 π / λ )( S /2)sin θ y −(2 π / λ )( S /2)sin θ

La amplitud compleja de las ondas sumadas viene dada por: ^{[ 22 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}U(\theta )&=ae^{\frac {i\pi S\sin \theta }{\lambda }}+ae^{-{\frac {i\pi S\sin \theta }{\lambda }}}\\&=a\left(\cos {\frac {\pi S\sin \theta }{\lambda }}+i\sin {\frac {\pi S\sin \theta }{\lambda }}\right)+a\left(\cos {\frac {\pi S\sin \theta }{\lambda }}-i\sin {\frac {\pi S\sin \theta }{\lambda }}\right)\\&=2a\cos {\frac {\pi S\sin \theta }{\lambda }}\end{aligned}}}$$

La apertura se puede representar mediante la función: ^{[ 23 ]}$${\displaystyle a[\delta {(x-S/2)}+\delta {(x+S/2)}]}$$ donde δ es la función delta .

Tenemos​$${\displaystyle {\hat {f}}[\delta (x)]=1}$$ y $${\displaystyle {\hat {f}}[g(x-a)]=e^{-2\pi iaf_{x}}{\hat {f}}[g(x)]}$$ donación $${\displaystyle {\begin{aligned}U(x,z)&={\hat {f}}[\delta {(x-S/2)}+\delta {(x+S/2)}]\\&=e^{-i\pi Sx/2\lambda }+e^{i\pi Sx/2\lambda }\\&=2\cos {\frac {\pi Sx}{2\lambda }}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle U(\theta )=2\cos {\frac {\pi S\sin \theta }{2\lambda }}}$$

Esta es la misma expresión que la obtenida anteriormente mediante integración.

Esto da la intensidad de las ondas combinadas como: ^{[ 24 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}I(\theta )&\propto \cos ^{2}\left[{\frac {\pi S\sin \theta }{\lambda }}\right]\\&\propto \cos ^{2}{\left[{\frac {kS\sin \theta }{2}}\right]}\end{aligned}}}$$

El patrón de difracción viene dado por: ^{[ 25 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}U(\theta )&=a\left[e^{\frac {i\pi S\sin \theta }{\lambda }}+e^{-{\frac {i\pi S\sin \theta }{\lambda }}}\right]\int _{-W/2}^{W/2}e^{{-2\pi ix'\sin \theta }/\lambda }\,dx'\\[1ex]&=2a\cos {\frac {\pi S\sin \theta }{\lambda }}W\operatorname {sinc} {\frac {\pi W\sin \theta }{\lambda }}\end{aligned}}}$$

La función de apertura viene dada por: ^{[ 26 ]}$${\displaystyle a\left[\operatorname {rect} \left({\frac {x-S/2}{W}}\right)+\operatorname {rect} \left({\frac {x+S/2}{W}}\right)\right]}$$

La transformada de Fourier de esta función viene dada por $${\displaystyle {\hat {f}}(\operatorname {rect} (ax))={\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {sinc} \left({\frac {\xi }{2a}}\right)}$$ donde ξ es la frecuencia de la transformada de Fourier, y la función sinc se define aquí como sin( πx )/( πx ) y $${\displaystyle {\hat {f}}[g(x-a)]=e^{-2\pi iaf_{x}}{\hat {f}}[g(x)]}$$

Tenemos $${\displaystyle {\begin{aligned}U(x,z)&={\hat {f}}\left[a\left[\operatorname {rect} \left({\frac {x-S/2}{W}}\right)+\operatorname {rect} \left({\frac {x+S/2}{W}}\right)\right]\right]\\&=2W\left[e^{-i\pi Sx/\lambda z}+e^{i\pi Sx/\lambda z}\right]{\frac {\sin {\frac {\pi Wx}{\lambda z}}}{\frac {\pi Wx}{\lambda z}}}\\&=2a\cos {\frac {\pi Sx}{\lambda z}}W\operatorname {sinc} {\frac {\pi Wx}{\lambda z}}\end{aligned}}}$$ o $${\displaystyle U(\theta )=2a\cos {\frac {\pi S\sin \theta }{\lambda }}W\operatorname {sinc} {\frac {\pi W\sin \theta }{\lambda }}}$$

Esta es la misma expresión que se obtuvo mediante integración.

La intensidad viene dada por: ^{[ 27 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}I(\theta )&\propto \cos ^{2}\left[{\frac {\pi S\sin \theta }{\lambda }}\right]\operatorname {sinc} ^{2}\left[{\frac {\pi W\sin \theta }{\lambda }}\right]\\&\propto \cos ^{2}\left[{\frac {kS\sin \theta }{2}}\right]\operatorname {sinc} ^{2}\left[{\frac {kW\sin \theta }{2}}\right]\end{aligned}}}$$

Se observa que la forma del patrón de intensidad es el producto del patrón de difracción de cada rendija y del patrón de interferencia que se obtendría con rendijas de ancho despreciable. Esto se ilustra en la imagen de la derecha, que muestra la difracción de una sola rendija por un haz láser, así como el patrón de difracción/interferencia generado por dos rendijas idénticas.

La amplitud compleja de la onda difractada en un ángulo θ viene dada por: ^{[ 29 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}U(\theta )&=a\sum _{n=1}^{N}e^{\frac {-i2\pi nS\sin \theta }{\lambda }}\\&={\frac {1-e^{-i2\pi NS\sin \theta /\lambda }}{1-e^{-i2\pi S\sin \theta /\lambda }}}\end{aligned}}}$$

ya que se trata de la suma de una serie geométrica .

La apertura viene dada por $${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}\delta (x-nS)}$$

La transformada de Fourier de esta función es: ^{[ 30 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}\left[\sum _{n=0}^{N}\delta (x-nS)\right]&=\sum _{n=0}^{N}e^{-if_{x}nS}\\&={\frac {1-e^{-i2\pi NS\sin \theta /\lambda }}{1-e^{-i2\pi S\sin \theta /\lambda }}}\end{aligned}}}$$

La intensidad viene dada por: ^{[ 31 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}I(\theta )&\propto {\frac {1-\cos(2\pi NS\sin \theta /\lambda )}{1-\cos(2\pi S\sin \theta /\lambda )}}\\&\propto {\frac {\sin ^{2}(\pi NS\sin \theta /\lambda )}{\sin ^{2}(\pi S\sin \theta /\lambda )}}\end{aligned}}}$$

Esta función tiene una serie de máximos y mínimos. Hay "máximos principales" espaciados regularmente, y una serie de máximos mucho más pequeños entre los máximos principales. Los máximos principales ocurren cuando $${\displaystyle \pi S\sin _{n}\theta /\lambda =n\pi ,n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$$ y, por lo tanto, los haces difractados principales aparecen en ángulos: $${\displaystyle \sin \theta _{n}={\frac {n\lambda }{S}},n=0,\pm 1\pm 2,\ldots }$$

Esta es la ecuación de la rejilla para luz de incidencia normal.

El número de pequeños máximos intermedios es igual al número de rendijas, N − 1 , y su tamaño y forma también están determinados por N.

La forma del patrón para N = 50 se muestra en la primera figura.

La estructura detallada de las rejillas de 20 y 50 ranuras se ilustra en el segundo diagrama.

La amplitud viene dada por: ^{[ 32 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}U(\theta ,\phi )&\propto a\sum _{n=1}^{N}e^{\frac {-i2\pi nS\sin \theta }{\lambda }}\int _{-W/2}^{W/2}e^{{-2\pi ixx'}/(\lambda z)}\,dx'\\&\propto a\operatorname {sinc} \left({\frac {\pi W\sin \theta }{\lambda }}\right){\frac {1-e^{-i2\pi NS\sin \theta /\lambda }}{1-e^{-i2\pi S\sin \theta /\lambda }}}\end{aligned}}}$$

La función de apertura se puede escribir como: ^{[ 33 ]}$${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\operatorname {rect} \left[{\frac {x'-nS}{W}}\right]}$$

Utilizando el teorema de convolución , que dice que si tenemos dos funciones f ( x ) y g ( x ) , y tenemos $${\displaystyle h(x)=(f*g)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(y)g(x-y)\,dy,}$$ donde ∗ denota la operación de convolución, entonces también tenemos $${\displaystyle {\hat {h}}(\xi )={\hat {f}}(\xi )\cdot {\hat {g}}(\xi ).}$$ podemos escribir la función de apertura como $${\displaystyle \operatorname {rect} (x'/W)*\sum _{n=0}^{N}\delta (x'-nS)}$$

La amplitud viene dada entonces por la transformada de Fourier de esta expresión como: $${\displaystyle {\begin{aligned}U(x,z)&={\hat {f}}[\operatorname {rect} (x'/W)]{\hat {f}}\left[\sum _{n=0}^{N}\delta (x'-nS)\right]\\&=a\operatorname {sinc} \left({\frac {W\sin \theta }{\lambda }}\right){\frac {1-e^{-i2\pi NS\sin \theta /\lambda }}{1-e^{-i2\pi S\sin \theta /\lambda }}}\end{aligned}}}$$

La intensidad viene dada por: ^{[ 34 ]}$${\displaystyle I(\theta )\propto \operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {\pi W\sin \theta }{\lambda }}\right){\frac {\sin ^{2}(\pi NS\sin \theta /\lambda )}{\sin ^{2}(\pi S\sin \theta /\lambda )}}}$$

El diagrama muestra el patrón de difracción de una rejilla con 20 rendijas, donde el ancho de las rendijas es 1/5 de la separación entre ellas. El tamaño de los picos de difracción principales se modula con el patrón de difracción de cada rendija.