problema de frontera libre

En matemáticas , un problema de frontera libre (problema FB) es una ecuación diferencial parcial que debe resolverse para una función desconocida.${\displaystyle u}$y un dominio desconocido${\displaystyle \Omega }$. El segmento${\displaystyle \Gamma }$del límite de${\displaystyle \Omega }$Lo que no se conoce al inicio del problema es el límite libre .

Los FB surgen en diversos modelos matemáticos que abarcan aplicaciones desde fenómenos físicos hasta económicos, financieros y biológicos, donde existe un efecto adicional del medio. Este efecto es, en general, un cambio cualitativo del medio y, por lo tanto, la aparición de una transición de fase : de hielo a agua, de líquido a cristal, de compra a venta (activos), de activo a inactivo (biología), de azul a rojo (juegos de colorear), de desorganizado a organizado (criticidad autoorganizada). Un aspecto interesante de dicha criticidad es la denominada dinámica de pila de arena (o DLA interna).

El ejemplo más clásico es la fusión del hielo: dado un bloque de hielo, se puede resolver la ecuación del calor, con las condiciones iniciales y de contorno adecuadas , para determinar su temperatura. Sin embargo, si en alguna región la temperatura supera el punto de fusión del hielo, este dominio estará ocupado por agua líquida. El límite formado por la interfaz hielo/líquido se controla dinámicamente mediante la solución de la ecuación diferencial parcial.

Otro ejemplo famoso de un problema de frontera libre que aparece en un contexto diferente es el de la valoración de opciones americanas . Dado que el momento del ejercicio no es fijo, a diferencia de las opciones europeas, el precio de ejercicio efectivo adopta la forma de una frontera libre que debe resolverse como parte del proceso de valoración.

El derretimiento del hielo es un problema de Stefan para el campo de temperatura.${\displaystyle T}$, que se formula de la siguiente manera. Consideremos un medio que ocupa una región${\displaystyle \Omega }$consta de dos fases, la fase 1 que está presente cuando${\displaystyle T>0}$y la fase 2 que está presente cuando${\displaystyle T<0}$Supongamos que las dos fases tienen difusividades térmicas .${\displaystyle \alpha _{1}}$y${\displaystyle \alpha _{2}}$Por ejemplo, la difusividad térmica del agua es 1,4×10 ⁻⁷ m ² /s, mientras que la difusividad del hielo es 1,335×10 ⁻⁶ m ² /s.

En las regiones que constan únicamente de una fase, la temperatura está determinada por la ecuación del calor: en la región${\displaystyle T>0}$,

${\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial t}}=\nabla \cdot (\alpha _{1}\nabla T)+Q}$

mientras se encontraba en la región${\displaystyle T<0}$,

${\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial t}}=\nabla \cdot (\alpha _{2}\nabla T)+Q.}$

Esto está sujeto a las condiciones apropiadas en el límite (conocido) de${\displaystyle \Omega }$;${\displaystyle Q}$representa fuentes o sumideros de calor.

Dejar${\displaystyle \Gamma _{t}}$ser la superficie donde${\displaystyle T=0}$en ese momento${\displaystyle t}$; esta superficie es la interfaz entre las dos fases.${\displaystyle \nu }$denotamos el vector normal unitario exterior a la segunda fase (sólida). La condición de Stefan determina la evolución de la superficie.${\displaystyle \Gamma }$al proporcionar una ecuación que rige la velocidad${\displaystyle V}$de la superficie libre en la dirección${\displaystyle \nu }$, específicamente

${\displaystyle LV=\alpha _{1}\partial _{\nu }T_{1}-\alpha _{2}\partial _{\nu }T_{2},}$

dónde${\displaystyle L}$es el calor latente de fusión.${\displaystyle T_{1}}$nos referimos al límite del gradiente como${\displaystyle x}$aproches${\displaystyle \Gamma _{t}}$de la región${\displaystyle T>0}$y para${\displaystyle T_{2}}$nos referimos al límite del gradiente como${\displaystyle x}$aproches${\displaystyle \Gamma _{t}}$de la región${\displaystyle T<0}$.

En este problema, conocemos de antemano toda la región.${\displaystyle \Omega }$pero solo conocemos la interfaz hielo-líquido${\displaystyle \Gamma }$en ese momento${\displaystyle t=0}$Para resolver el problema de Stefan, no solo tenemos que resolver la ecuación del calor en cada región, sino que también debemos rastrear el límite libre.${\displaystyle \Gamma }$.

El problema de Stefan de una fase corresponde a tomar cualquiera de las dos${\displaystyle \alpha _{1}}$o${\displaystyle \alpha _{2}}$ser cero; es un caso especial del problema de dos fases. En el sentido de mayor complejidad, también podríamos considerar problemas con un número arbitrario de fases.

Otro problema famoso de frontera libre es el problema del obstáculo , que guarda estrecha relación con la ecuación clásica de Poisson . Las soluciones de la ecuación diferencial

${\displaystyle -\nabla ^{2}u=f,\qquad u|_{\partial \Omega }=g}$

satisfacen un principio variacional, es decir, minimizan la función

${\displaystyle E[u]={\frac {1}{2}}\int _{\Omega }|\nabla u|^{2}\,\mathrm {d} x-\int _{\Omega }fu\,\mathrm {d} x}$

sobre todas las funciones${\displaystyle u}$tomando el valor${\displaystyle g}$en el límite. En el problema del obstáculo, imponemos una restricción adicional: minimizamos la función.${\displaystyle E}$sujeto a la condición

${\displaystyle u\leq \varphi \,}$

en${\displaystyle \Omega }$, para alguna función dada${\displaystyle \varphi }$.

Definimos el conjunto de coincidencias C como la región donde${\displaystyle u=\varphi }$Además, defina el conjunto de no coincidencias.${\displaystyle N=\Omega \setminus C}$ como la región donde${\displaystyle u}$no es igual a${\displaystyle \varphi }$y el límite libre${\displaystyle \Gamma }$como la interfaz entre los dos. Entonces${\displaystyle u}$satisface el problema de frontera libre

${\displaystyle -\nabla ^{2}u=f{\text{ en }}N,\quad u=g}$

en el límite de${\displaystyle \Omega }$, y

${\displaystyle u\leq \varphi {\text{ en }}|\Omega ,\quad \nabla u=\nabla \varphi {\text{ en }}\Gamma .\,}$

Tenga en cuenta que el conjunto de todas las funciones${\displaystyle v}$de tal manera que${\displaystyle v\leq \varphi}$ es convexo. Mientras que el problema de Poisson corresponde a la minimización de un funcional cuadrático sobre un subespacio lineal de funciones, el problema de frontera libre corresponde a la minimización sobre un conjunto convexo .

Muchos problemas de frontera libre pueden ser vistos provechosamente como desigualdades variacionales para fines de análisis. Para ilustrar este punto, primero pasamos a la minimización de una función.${\displaystyle F}$de${\displaystyle n}$variables reales sobre un conjunto convexo${\displaystyle C}$; el minimizador${\displaystyle x}$se caracteriza por la condición

${\displaystyle \nabla F(x)\cdot (yx)\geq 0{\text{ para todo }}y\in C.\,}$

Si${\displaystyle x}$está en el interior de${\displaystyle C}$, entonces el gradiente de${\displaystyle F}$debe ser cero; si${\displaystyle x}$está en el límite de${\displaystyle C}$, el gradiente de${\displaystyle F}$en${\displaystyle x}$debe ser perpendicular al límite.

La misma idea se aplica a la minimización de una función diferenciable.${\displaystyle F}$en un subconjunto convexo de un espacio de Hilbert , donde el gradiente ahora se interpreta como una derivada variacional. Para concretar esta idea, la aplicamos al problema del obstáculo, que se puede escribir como

${\displaystyle \int _{\Omega }(\nabla ^{2}u+f)(vu)\,\mathrm {d} x\geq 0{\text{ para todos }}v\leq \varphi .}$

Esta formulación permite definir una solución débil: al integrar por partes en la última ecuación se obtiene que

${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla (v-u)\mathrm {d} x\leq \int _{\Omega }f(v-u)\,\mathrm {d} x{\text{ for all }}v\leq \varphi .}$

Esta definición solo requiere que${\displaystyle u}$tienen una derivada, de forma muy similar a la formulación débil de los problemas de contorno elípticos.

En la teoría de ecuaciones diferenciales parciales elípticas , se demuestra la existencia de una solución débil de una ecuación diferencial con relativa facilidad utilizando algunos argumentos de análisis funcional . Sin embargo, la solución débil exhibida se encuentra en un espacio de funciones con menos derivadas de las que se desearían; por ejemplo, para el problema de Poisson, podemos afirmar fácilmente que existe una solución débil que está en${\displaystyle H^{1}}$, pero puede que no tenga segundas derivadas. Entonces se aplican algunas estimaciones de cálculo para demostrar que la solución débil es, de hecho, suficientemente regular.

Para problemas de frontera libre, esta tarea es más formidable por dos razones. En primer lugar, las soluciones a menudo presentan derivadas discontinuas a través de la frontera libre, mientras que pueden ser analíticas en cualquier entorno alejado de ella. En segundo lugar, también hay que demostrar la regularidad de la frontera libre en sí misma. Por ejemplo, para el problema de Stefan, la frontera libre es una${\displaystyle C^{1/2}}$superficie.

Desde un punto de vista puramente académico, las fronteras libres pertenecen a una clase más amplia de problemas, generalmente denominados problemas sobredeterminados, o, como lo plantearon David Kinderlehrer y Guido Stampacchia en su libro: El problema de la correspondencia de datos de Cauchy. Otros problemas de frontera libre relacionados que cabe mencionar son el problema de Pompeya y las conjeturas de Schiffer. Véanse los enlaces externos a continuación.

Otro enfoque utilizado para modelar problemas similares es el modelo de campo de fase .

• Alexiades, Vasilios (1993), Modelado matemático de los procesos de fusión y congelación , Hemisphere Publishing Corporation, ISBN 1-56032-125-3
• Friedman, Avner (1982), Principios variacionales y problemas de frontera libre , John Wiley and Sons, Inc., ISBN 978-0-486-47853-1
• Kinderlehrer, David; Stampacchia, Guido (1980), Introducción a las desigualdades variacionales y sus aplicaciones , Academic Press, ISBN 0-89871-466-4
• Caffarelli, Luis ; Salsa, Sandro (2005), Un enfoque geométrico para problemas de frontera libre. Estudios de posgrado en matemáticas , Sociedad Matemática Americana, Providence, RI, ISBN 0-8218-3784-2
• Petrosyan, Arshak; Shahgholian, Henrik; Uraltseva, Nina (2012), Regularidad de fronteras libres en problemas de tipo obstáculo. Estudios de posgrado en matemáticas , Sociedad Matemática Americana, Providence, RI, ISBN 978-0-8218-8794-3

• El problema de emparejamiento en EDP ,
• El problema de Pompeya ,
• La conjetura de Schiffer ,