Finalización exacta

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , la completación exacta construye una categoría Barr-exacta a partir de cualquier categoría finitamente completa . Se utiliza para formar el topos efectivo y otros topos de realizabilidad .

Sea C una categoría con límites finitos . Entonces la completación exacta de C (denotada C _ex ) tiene para sus objetos relaciones de pseudoequivalencia en C. ^{[ 1 ]} Una relación de pseudoequivalencia es como una relación de equivalencia excepto que no necesita ser conjuntamente mónica. Un objeto en C _ex consiste así en dos objetos X ₀ y X ₁ y dos morfismos paralelos x 0 y x ₁ de X ₁ a X ₀ tales que existe un morfismo de reflexividad r de X ₀ a X ₁ tal que x ₀ r = x ₁ r = 1 _{X 0} ; un morfismo de simetría _s de X 1 _a sí mismo tal que x ₀ s = x ₁ y x ₁ s = x ₀ ; y un morfismo de transitividad t de X ₁ × _{x 1 , X 0 , x 0} X ₁ a X ₁ tal que x ₀ t = x ₀ p y x ₁ t = x ₁ q , donde p y q son las dos proyecciones del retroceso mencionado anteriormente . Un morfismo de ( X ₀ , X ₁ , x ₀ , x ₁ ) a ( Y ₀ , Y ₁ , y ₀ , y ₁ ) en C _ex viene dado por una clase de equivalencia de morfismos f ₀ de X ₀ a Y ₀ tal que existe un morfismo f ₁ de X ₁ a Y₁ tal que y ₀ f ₁ = f ₀ x ₀ y y ₁ f ₁ = f ₀ x ₁ , siendo dos morfismos de este tipo f ₀ y g ₀ equivalentes si existe un morfismo e de X ₀ a Y ₁ tal que y ₀ e = f ₀ y y ₁ e = g ₀ .

• Si se cumple el axioma de elección , entonces el conjunto _ex es equivalente al conjunto .
• De forma más general, sea C una categoría pequeña con límites finitos. Entonces, la categoría de prehaces Set ^{C op} es equivalente a la completación exacta de la completación de coproductos de C. ^{[ 2 ]}
• El topos efectivo es la completación exacta de la categoría de ensamblajes . ^{[ 2 ]}

• Si C es una categoría aditiva , entonces C _ex es una categoría abeliana . ^{[ 3 ]}
• Si C es cartesiana cerrada o localmente cartesiana cerrada, entonces también lo es C _ex . ^{[ 4 ]}

• setoid

• Shulman, Michael. "El derivador de los setoides." Preimpresión de arXiv arXiv:2105.08152 (2021).

• Finalización exacta en el laboratorio n