Campo libre

En física, un campo libre es un campo sin interacciones , que se describe en términos de movimiento y masa.

Descripción

En física clásica , un campo libre es un campo cuyas ecuaciones de movimiento vienen dadas por ecuaciones diferenciales parciales lineales . Dichas ecuaciones diferenciales parciales lineales tienen una solución única para una condición inicial dada.

En la teoría cuántica de campos , una distribución con valores de operador es un campo libre si satisface ciertas ecuaciones diferenciales parciales lineales tales que el caso correspondiente de las mismas EDP lineales para un campo clásico (es decir, no un operador) sería la ecuación de Euler-Lagrange para algún lagrangiano cuadrático . Se utilizan para describir el comportamiento de campos no interactuantes. Podemos diferenciar las distribuciones definiendo sus derivadas mediante funciones de prueba diferenciadas . Véase la distribución de Schwartz para más detalles. Dado que no tratamos con distribuciones ordinarias, sino con distribuciones con valores de operador, se entiende que estas EDP no son restricciones sobre los estados, sino una descripción de las relaciones entre los campos suavizados. Además de las EDP, los operadores también satisfacen otra relación: las relaciones de conmutación/anticonmutación.

Relación de conmutación canónica

Básicamente, el conmutador (para bosones ) / anticonmutador (para fermiones ) de dos campos suavizados es i veces el corchete de Peierls del campo consigo mismo (que en realidad es una distribución, no una función) para las EDP suavizadas sobre ambas funciones de prueba. Esto tiene la forma de un álgebra CCR/CAR .

Las álgebras CCR/CAR con infinitos grados de libertad tienen muchas representaciones unitarias irreducibles no equivalentes. Si la teoría se define sobre el espacio de Minkowski , podemos elegir la representación irreducible unitaria que contiene un estado de vacío, aunque esto no siempre es necesario.

Ejemplo

Ecuaciones

Las siguientes son ecuaciones de movimiento para diferentes campos de espín y partículas. ^{[ 1 ]}

Ecuación de Klein-Gordon

Dejar ${\textstyle \phi }$ Sea un campo/partícula de espín 0. Entonces, la ecuación de movimiento que describe su movimiento libre es la ecuación de Klein-Gordon . Está dada por ^{[ 1 ].}

$\partial ^{\mu }\partial _{\mu }\phi +m^{2}\phi =0$

Ecuación de Dirac

La ecuación de Dirac describe el movimiento libre de un espín. ${\textstyle {\frac {1}{2}}}$ campo / partícula. Está dado por ^{[ 1 ]}

$(i\gamma _{\mu }\partial ^{\mu }-m)\Psi =0$

Ecuaciones de Proca

Las ecuaciones de Proca son un conjunto de ecuaciones de movimiento que describen el movimiento libre de campos/partículas de espín 1. Están dadas por: $m^{2}A^{\rho }={\frac {1}{2}}\partial _{\sigma }(\partial ^{\sigma }A^{\rho }-\partial ^{\rho }A^{\sigma })$ ^{[ 1 ]}

o

$0={\frac {1}{2}}\partial _{\sigma }(\partial ^{\sigma }A^{\rho }-\partial ^{\rho }A^{\sigma })$

dependiendo de si el campo/partícula de espín 1, ${\textstyle A^{\mu }}$ , es sin masa o no. ^{[ 1 ]}

Operadores en campos libres

Sea φ una distribución con valores de operador y la EDP (de Klein-Gordon) sea

\partial ^{\mu }\partial _{\mu }\phi +m^{2}\phi =0

.

Este es un campo bosónico. Llamemos Δ a la distribución dada por el corchete de Peierls .

Entonces,

\{\phi (x),\phi (y)\}=\Delta (x;y)

donde aquí, φ es un campo clásico y {,} es el corchete de Peierls.

Entonces, la relación de conmutación canónica es

[\phi [f],\phi [g]]=i\Delta [f,g]\,

.

Tenga en cuenta que Δ es una distribución sobre dos argumentos y, por lo tanto, también puede difuminarse.

De forma equivalente, podríamos haber insistido en que

{\mathcal {T}}\{[((\partial ^{\mu }\partial _{\mu }+m^{2})\phi )[f],\phi [g]]\}=-i\int d^{d}xf(x)g(x)

dónde ${\mathcal {T}}$ es el operador de ordenación temporal y que si los soportes de f y g están separados espacialmente,

[\phi [f],\phi [g]]=0

.

Véase también

Referencias

1 2 3 4 5 Schwichtenberg, Jakob (2015). Física a partir de la simetría . Apuntes de clase de física para estudiantes de pregrado. Cham: Springer. ISBN 978-3-319-19200-0.

Michael E. Peskin y Daniel V. Schroeder, Introducción a la teoría cuántica de campos , Addison-Wesley, Reading, 1995, págs. 19-29.
Schwichtenberg, Jakob (2015). Física a partir de la simetría . Apuntes de clase de física para estudiantes de pregrado. Cham: Springer International Publishing. págs. 117-125

[auto-1] 1 2 3 4 5 Schwichtenberg, Jakob (2015). Física a partir de la simetría . Apuntes de clase de física para estudiantes de pregrado. Cham: Springer. ISBN 978-3-319-19200-0.

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