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Axiomas de Wightman

En física matemática , los axiomas de Wightman, también llamados axiomas de Gårding-Wightman , [ 1 ] [ 2 ] nombrados en honor a Arthur Wightman , son un intento de una formulaci...

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En física matemática , los axiomas de Wightman, también llamados axiomas de Gårding-Wightman , [ 1 ] [ 2 ] nombrados en honor a Arthur Wightman , son un intento de una formulación matemáticamente rigurosa de la teoría cuántica de campos . Arthur Wightman formuló los axiomas a principios de la década de 1950, [ 3 ] [ 4 ] pero fueron publicados por primera vez recién en 1964 con Lars Gårding [ 5 ] [ 6 ] después de que la teoría de dispersión de Haag-Ruelle de Rudolf Haag [ 7 ] y David Ruelle [ 8 ] afirmara su importancia.

Los axiomas existen en el contexto de la teoría cuántica de campos constructiva y tienen como objetivo proporcionar una base para el tratamiento riguroso de los campos cuánticos y un fundamento estricto para los métodos perturbativos utilizados. Uno de los Problemas del Milenio consiste en realizar los axiomas de Wightman en el caso de los campos de Yang-Mills .

Razón fundamental

Una idea fundamental de los axiomas de Wightman es la existencia de un espacio de Hilbert sobre el cual el grupo de Poincaré actúa unitariamente . De esta forma, se implementan los conceptos de energía, momento lineal, momento angular y centro de masa (que corresponden a transformaciones de Lorentz).

También existe una suposición de estabilidad, que restringe el espectro del cuadrimomento al cono de luz positivo (y su frontera). Sin embargo, esto no basta para implementar la localidad . Para ello, los axiomas de Wightman cuentan con operadores dependientes de la posición llamados campos cuánticos, que forman representaciones covariantes del grupo de Poincaré .

Dado que la teoría cuántica de campos presenta problemas ultravioleta , el valor de un campo en un punto no está bien definido. Para sortear esto, los axiomas de Wightman introducen la idea de suavizar una función de prueba para mitigar las divergencias ultravioleta, que surgen incluso en una teoría de campo libre . Como los axiomas tratan con operadores no acotados , es necesario especificar los dominios de dichos operadores.

Los axiomas de Wightman restringen la estructura causal de la teoría al imponer la conmutatividad o la anticonmutatividad entre campos separados de tipo espacial.

También postulan la existencia de un estado invariante de Poincaré llamado vacío y exigen que sea único. Además, los axiomas suponen que el vacío es "cíclico", es decir, que el conjunto de todos los vectores obtenibles al evaluar en los elementos del estado de vacío el álgebra polinómica generada por los operadores de campo suavizado es un subconjunto denso de todo el espacio de Hilbert.

Por último, está la restricción de causalidad primitiva, que establece que cualquier polinomio en los campos difuminados puede aproximarse arbitrariamente con precisión (es decir, es el límite de operadores en la topología débil ) mediante polinomios en campos difuminados sobre funciones de prueba con soporte en un conjunto abierto en el espacio de Minkowski cuyo cierre causal es todo el espacio de Minkowski.

Axiomas

W0 (supuestos de la mecánica cuántica relativista)

La mecánica cuántica se describe según von Neumann ; en particular, los estados puros vienen dados por los rayos, es decir, los subespacios unidimensionales, de algún espacio de Hilbert complejo separable . En lo que sigue, el producto escalar de los vectores del espacio de Hilbert Ψ y Φ se denota por⟨Ψ,Φ⟩{\displaystyle \langle \Psi,\Phi \rangle }y la norma de Ψ se denota por‖Ψ‖{\displaystyle \lVert \Psi \rVert }. La probabilidad de transición entre dos estados puros [Ψ] y [Φ] se puede definir en términos de vectores no nulos Ψ y Φ como

PAG([Ψ],[Φ])=|⟨Ψ,Φ⟩|2‖Ψ‖2‖Φ‖2{\displaystyle P{\big (}[\Psi ],[\Phi ]{\big )}={\frac {|\langle \Psi ,\Phi \rangle |^{2}}{\lVert \Psi \rVert ^{2}\lVert \Phi \rVert ^{2}}}}

y es independiente de qué vectores representativos Ψ y Φ se elijan.

La teoría de la simetría se describe según Wigner. Esto se hace para aprovechar la exitosa descripción de partículas relativistas de E.P. Wigner en su famoso artículo de 1939; véase la clasificación de Wigner . Wigner postuló que la probabilidad de transición entre estados es la misma para todos los observadores relacionados por una transformación de la relatividad especial . De manera más general, consideró que la afirmación de que una teoría es invariante bajo un grupo G se expresa en términos de la invariancia de la probabilidad de transición entre dos rayos cualesquiera. La afirmación postula que el grupo actúa sobre el conjunto de rayos, es decir, sobre el espacio proyectivo. Sea ( a , L ) un elemento del grupo de Poincaré (el grupo de Lorentz no homogéneo). Así, a es un cuadrivector de Lorentz real que representa el cambio de origen del espaciotiempo x ↦ x − a , donde x está en el espacio de Minkowski M 4 , y L es una transformación de Lorentz , que puede definirse como una transformación lineal del espaciotiempo de cuatro dimensiones que preserva la distancia de Lorentz c 2 t 2 − x ⋅ x de cada vector ( ct , x ). Entonces la teoría es invariante bajo el grupo de Poincaré si para cada rayo Ψ del espacio de Hilbert y cada elemento del grupo ( a , L ) se da un rayo transformado Ψ( a , L ) y la probabilidad de transición no cambia con la transformación:    

⟨Ψ(a,L),Φ(a,L)⟩=⟨Ψ,Φ⟩.{\displaystyle \langle \Psi (a,L),\Phi (a,L)\rangle =\langle \Psi ,\Phi \rangle .}

El teorema de Wigner establece que, bajo estas condiciones, la transformación en el espacio de Hilbert son operadores lineales o antilineales (si además conservan la norma, son operadores unitarios o antiunitarios); el operador de simetría en el espacio proyectivo de rayos puede extenderse al espacio de Hilbert subyacente. Al realizar esto para cada elemento del grupo ( a , L ), obtenemos una familia de operadores unitarios o antiunitarios U ( a , L ) en nuestro espacio de Hilbert, tales que el rayo Ψ transformado por ( a , L ) es el mismo que el rayo que contiene U ( a , L )ψ. Si restringimos la atención a los elementos del grupo conectados a la identidad, entonces el caso antiunitario no se presenta.    

Sean ( a , L ) y ( b , M ) dos transformaciones de Poincaré, y denotemos su producto de grupo por ( a , L )⋅( b , M ) ; de la interpretación física vemos que el rayo que contiene U ( a , L )[ U ( b , M )ψ] debe ser (para cualquier ψ) el rayo que contiene U (( a , L )⋅( b , M ))ψ (asociatividad de la operación de grupo). Volviendo de los rayos al espacio de Hilbert, estos dos vectores pueden diferir en una fase (y no en norma, porque elegimos operadores unitarios), que puede depender de los dos elementos del grupo ( a , L ) y ( b , M ), es decir, no tenemos una representación de un grupo sino una representación proyectiva . Estas fases no siempre se pueden cancelar redefiniendo cada U ( a ), ejemplo para partículas de espín 1/2. Wigner demostró que lo mejor que se puede conseguir para el grupo Poincaré es      

U(a,L)U(b,METRO)=±U((a,L)⋅(b,METRO)),{\displaystyle U(a,L)U(b,M)=\pm U{\big (}(a,L)\cdot (b,M){\big )},}

es decir, la fase es un múltiplo deπ{\displaystyle \pi }Para partículas de espín entero (piones, fotones, gravitones, ...) se puede eliminar el signo ± mediante cambios de fase adicionales, pero para representaciones de espín impar-medio, no podemos, y el signo cambia discontinuamente al girar alrededor de cualquier eje en un ángulo de 2π. Sin embargo, podemos construir una representación del grupo de recubrimiento del grupo de Poincaré , llamado SL(2, C ) no homogéneo  ; este tiene elementos ( a , A ), donde como antes, a es un cuadrivector, pero ahora A es una matriz compleja de 2 × 2 con determinante unitario. Denotamos los operadores unitarios que obtenemos por U ( a , A ), y estos nos dan una representación continua, unitaria y verdadera en que la colección de U ( a , A ) obedece la ley de grupo del SL(2, C ) no homogéneo.      

Debido al cambio de signo bajo rotaciones de 2π, los operadores hermíticos que se transforman como espín 1/2, 3/2, etc., no pueden ser observables . Esto se manifiesta como la regla de superselección de univalencia : las fases entre estados de espín 0, 1, 2, etc., y aquellos de espín 1/2, 3/2, etc., no son observables. Esta regla se suma a la no observabilidad de la fase global de un vector de estado. En cuanto a los observables y los estados | v⟩ , obtenemos una representación U ( a , L ) del grupo de Poincaré en subespacios de espín entero, y U ( a , A ) del SL(2, C ) no homogéneo en subespacios semi-enteros impares, que actúa según la siguiente interpretación:   

Un conjunto correspondiente a U ( a , L )| v ⟩ debe interpretarse con respecto a las coordenadas incógnita′=L−1(incógnita−a){\displaystyle x'=L^{-1}(xa)}exactamente de la misma manera que se interpreta un conjunto correspondiente a | v ⟩ con respecto a las coordenadas x ; y de manera similar para los subespacios impares.

El grupo de traslaciones espaciotemporales es conmutativo , por lo que los operadores pueden diagonalizarse simultáneamente. Los generadores de estos grupos nos dan cuatro operadores autoadjuntos.PAG0,PAGj, j=1,2,3,{\displaystyle P_{0},P_{j},\ j=1,2,3,}que se transforman bajo el grupo homogéneo como un cuadrivector, llamado cuadrivector energía-momento .

La segunda parte del axioma cero de Wightman es que la representación U ( a , A ) cumple la condición espectral: que el espectro simultáneo de energía-momento está contenido en el cono frontal: 

PAG0≥0,PAG02−PAGjPAGj≥0.{\displaystyle P_{0}\geq 0,\quad P_{0}^{2}-P_{j}P_{j}\geq 0.}

La tercera parte del axioma establece que existe un estado único, representado por un rayo en el espacio de Hilbert, que es invariante bajo la acción del grupo de Poincaré. Se le denomina vacío.

W1 (suposiciones sobre el dominio y la continuidad del campo)

Para cada función de prueba f , es decir, para una función con soporte compacto y derivadas continuas de cualquier orden, [ 9 ] existe un conjunto de operadoresA1(F),…,Anorte(F){\displaystyle A_{1}(f),\ldots ,A_{n}(f)}que, junto con sus adjuntos, se definen en un subconjunto denso del espacio de estados de Hilbert, que contiene el vacío. Los campos A son distribuciones temperadas con valores de operador . El espacio de estados de Hilbert está generado por los polinomios de campo que actúan sobre el vacío (condición de ciclicidad).

W2 (ley de transformación del campo)

Los campos son covariantes bajo la acción del grupo de Poincaré y se transforman según alguna representación S del grupo de Lorentz , o SL(2, C ) si el espín no es entero: 

U(a,L)†A(incógnita)U(a,L)=S(L)A(L−1(incógnita−a)).{\displaystyle U(a,L)^{\dagger }A(x)U(a,L)=S(L)A{\big (}L^{-1}(xa){\big )}.}

W3 (conmutatividad local o causalidad microscópica)

Si los soportes de dos campos están separados espacialmente , entonces los campos conmutan o anticonmutan.

La ciclicidad de un vacío y la unicidad de un vacío a veces se consideran por separado. Además, existe la propiedad de completitud asintótica : que un espacio de estados de Hilbert está generado por los espacios asintóticos.Hen{\displaystyle H^{\text{en}}}yHafuera{\displaystyle H^{\text{fuera}}}, que aparece en la matriz S de colisión . La otra propiedad importante de la teoría de campos es la brecha de masa , que no es requerida por los axiomas : que el espectro energía-momento tenga una brecha entre cero y algún número positivo.

Consecuencias de los axiomas

A partir de estos axiomas, se derivan ciertos teoremas generales:

  • Teorema CPT : existe una simetría general bajo cambio de paridad, inversión partícula-antipartícula e inversión temporal (ninguna de estas simetrías existe por sí sola en la naturaleza, como se ha comprobado).
  • Conexión entre espín y estadística: los campos que se transforman según un espín semi-entero anticonmutan, mientras que aquellos con espín entero conmutan (axioma W3). Este teorema presenta detalles técnicos sutiles que pueden resolverse mediante transformaciones de Klein . Véase paraestadística y también los fantasmas en BRST .
  • La imposibilidad de la comunicación superlumínica : si dos observadores están separados espacialmente, las acciones de un observador (incluidas tanto las mediciones como los cambios en el hamiltoniano) no afectan las estadísticas de medición del otro observador. [ 10 ]

Arthur Wightman demostró que las distribuciones del valor esperado del vacío , que satisfacen un conjunto determinado de propiedades que se derivan de los axiomas, son suficientes para reconstruir la teoría de campos ( teorema de reconstrucción de Wightman) , incluyendo la existencia de un estado de vacío ; no halló la condición sobre los valores esperados del vacío que garantizara la unicidad del vacío; esta condición, la propiedad de clúster , fue hallada posteriormente por Res Jost , Klaus Hepp , David Ruelle y Othmar Steinmann .

Si la teoría tiene una brecha de masa , es decir, no hay masas entre 0 y alguna constante mayor que cero, entonces las distribuciones de expectativa del vacío son asintóticamente independientes en regiones distantes.

El teorema de Haag afirma que no puede existir una representación de interacción —que no podemos usar el espacio de Fock de partículas no interactuantes como un espacio de Hilbert— en el sentido de que identificaríamos los espacios de Hilbert mediante polinomios de campo que actúan sobre el vacío en un momento determinado.

Relación con otros marcos y conceptos en la teoría cuántica de campos.

El marco de Wightman no abarca estados de energía infinita como los estados de temperatura finita.

A diferencia de la teoría cuántica de campos local , los axiomas de Wightman restringen explícitamente la estructura causal de la teoría al imponer la conmutatividad o la anticonmutatividad entre campos separados de tipo espacial, en lugar de derivar la estructura causal como un teorema. Si se considera una generalización de los axiomas de Wightman a dimensiones distintas de 4, este postulado de (anti)conmutatividad excluye los aniones y la estadística de trenzas en dimensiones inferiores.

El postulado de Wightman de un estado de vacío único no necesariamente hace que los axiomas de Wightman sean inapropiados para el caso de ruptura espontánea de simetría porque siempre podemos restringirnos a un sector de superselección .

La ciclicidad del vacío que exigen los axiomas de Wightman implica que estos describen únicamente el sector de superselección del vacío; de nuevo, esto no supone una gran pérdida de generalidad. Sin embargo, esta suposición excluye estados de energía finita como los solitones, que no pueden generarse mediante un polinomio de campos suavizados por funciones de prueba, ya que un solitón, al menos desde una perspectiva de teoría de campos, es una estructura global que involucra condiciones de contorno topológicas en el infinito.

El marco de Wightman no abarca las teorías de campo efectivas porque no existe un límite en cuanto a cuán pequeño puede ser el soporte de una función de prueba. Es decir, no hay una escala de corte .

Los axiomas de Wightman pueden reformularse en términos de un estado llamado funcional de Wightman en un álgebra de Borchers igual al álgebra tensorial de un espacio de funciones de prueba.

Existencia de teorías que satisfacen los axiomas

Los axiomas de Wightman pueden generalizarse a dimensiones distintas de 4. En las dimensiones 2 y 3, se han construido teorías interactivas (es decir, no libres) que satisfacen los axiomas.

Actualmente, no existe prueba alguna de que los axiomas de Wightman se puedan satisfacer para teorías con interacción en dimensión 4. En particular, el Modelo Estándar de la física de partículas carece de fundamentos matemáticos rigurosos. Se ofrece un premio de un millón de dólares por quien demuestre que los axiomas de Wightman se pueden satisfacer para teorías de gauge , con el requisito adicional de una brecha de masa.

Teorema de reconstrucción de Osterwalder-Schrader

Bajo ciertas suposiciones técnicas, se ha demostrado que una teoría cuántica de campos euclidiana puede transformarse , mediante la rotación de Wick, en una teoría cuántica de campos de Wightman (véase el teorema de Osterwalder-Schrader) . Este teorema es la herramienta clave para la construcción de teorías con interacción en dimensiones 2 y 3 que satisfacen los axiomas de Wightman.

Véase también

Referencias

  1. ↑ "El sexto problema de Hilbert" . Enciclopedia de Matemáticas . Consultado el 14 de julio de 2014 .
  2. ↑ «Lars Gårding – Sydsvenskan» . Sydsvenskan.se . Consultado el 14 de julio de 2014 .
  3. ↑ Axiomas de Wightman en nLab.
  4. ↑ Les Problemes mathematiques de la théorie quantique des champs . París: CNRS. 1959.
  5. ^ AS Wightman, L. Gårding, "Campos como distribuciones valoradas por el operador en la teoría cuántica relativista", Arkiv f. Fysik, Kungl. Svenska Vetenskapsak. 28 , 129–189 (1964).
  6. ↑ RF Streater y AS Wightman , PCT, Spin and Statistics and All That , Princeton University Press, Landmarks in Mathematics and Physics, 2000 (1.ª ed., Nueva York, Benjamin 1964).
  7. ↑ R. Haag (1958), "Teorías cuánticas de campos con partículas opuestas y condiciones asintóticas," Phys. Rev. 112 .
  8. ↑ D. Ruelle (1962), "Sobre la condición asintótica en la teoría cuántica de campos," Helv. Phys. Acta 35 .
  9. ↑ Hunter, John K. (2001). Análisis aplicado . Bruno Nachtergaele. Singapur: World Scientific. ISBN 978-981-281-067-0OCLC 1020636289​​ 
  10. ↑ Eberhard, Phillippe H.; Ross, Ronald R. (1989), "La teoría cuántica de campos no puede proporcionar comunicación más rápida que la luz" , Foundations of Physics Letters , 2 (2): 127– 149, Bibcode : 1989FoPhL...2..127E , doi : 10.1007/bf00696109 , S2CID 123217211 

Lecturas adicionales

  • Arthur Wightman , "El sexto problema de Hilbert: Tratamiento matemático de los axiomas de la física", en F.  E. Browder (ed.): Vol.  28 (parte  1) de Proc. Symp. Pure Math. , Amer. Math. Soc., 1976, pp.  241–268.
  • Res Jost , La teoría general de los campos cuantizados , Amer. Math. Soc., 1965.