Freiheitslatz

En matemáticas , el Freiheitssatz ( en alemán : "teorema de libertad/independencia": Freiheit + Satz ) es un resultado de la teoría de presentaciones de grupos que establece que ciertos subgrupos de un grupo con un solo referente son grupos libres .

Consideremos una presentación en grupo.

${\displaystyle G=\langle x_{1},\dots,x_{n}|r=1\rangle }$

dado por n generadores x _i y un único relator cíclicamente reducido r . Si x ₁ aparece en r , entonces (según el freiheitssatz) el subgrupo de G generado por x ₂ , ..., x _n es un grupo libre , generado libremente por x ₂ , ..., x _n . En otras palabras, las únicas relaciones que involucran a x ₂ , ..., x _n son las triviales.

El resultado fue propuesto por el matemático alemán Max Dehn y demostrado por su alumno, Wilhelm Magnus , en su tesis doctoral. ^{[ 1 ]} Aunque Dehn esperaba que Magnus encontrara una demostración topológica , ^{[ 2 ]} Magnus encontró en cambio una demostración basada en la inducción matemática ^{[ 3 ]} y productos amalgamados de grupos. ^{[ 4 ]} Posteriormente, Lyndon (1972) y Weinbaum (1972) dieron diferentes demostraciones basadas en la inducción . ^{[ 3 ] [ 5 ] [ 6 ]}

El Freiheitssatz se ha convertido en "la piedra angular de la teoría de grupos con un solo agente" y ha motivado el desarrollo de la teoría de productos amalgamados . También proporciona un análogo, en la teoría de grupos no conmutativos, de ciertos resultados sobre espacios vectoriales y otros grupos conmutativos. ^{[ 4 ]}