Grupo de un solo informante

En la teoría de grupos , un grupo con un solo referente es un grupo definido por una presentación de grupo con una única relación definitoria. Los grupos con un solo referente desempeñan un papel importante en la teoría geométrica de grupos, ya que proporcionan numerosos ejemplos explícitos de grupos con presentación finita.

Un grupo de un solo relacionador es un grupo G que admite una presentación grupal de la forma

donde X es un conjunto (en general posiblemente infinito), y donde${\displaystyle r\in F(X)}$es una palabra reducida libre y cíclicamente.

Si Y es el conjunto de todas las letras${\displaystyle x\in X}$que aparecen en r y${\displaystyle X'=X\setminus Y}$entonces

${\displaystyle G=\langle Y\mid r=1\,\rangle \ast F(X').}$

Por esa razón, X en ( 1 ) generalmente se supone que es finito cuando se discuten grupos de un solo relacionador, en cuyo caso ( 1 ) puede reescribirse de manera más explícita como

dónde${\displaystyle X=\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$para algún número entero${\displaystyle n\geq 1.}$

Sea G un grupo de un solo relacionador dado por la presentación ( 1 ) anterior. Recordemos que r es una palabra libre y cíclicamente reducida en F ( X ). Sea${\displaystyle y\in X}$sea ​​una carta tal que${\displaystyle y}$o${\displaystyle y^{-1}}$aparece en r . Sea${\displaystyle X_{1}\subseteq X\setminus \{y\}}$. El subgrupo${\displaystyle H=\langle X_{1}\rangle \leq G}$se denomina un subgrupo de Magnus de G.

Un famoso teorema de Wilhelm Magnus de 1930 , ^{[ 1 ]} conocido como Freiheitssatz , establece que en esta situación H es generado libremente por${\displaystyle X_{1}}$, eso es,${\displaystyle H=F(X_{1})}$. Véase también ^{[ 2 ] [ 3 ]} para otras demostraciones.

Aquí asumimos que un grupo de un solo relacionador G está dado por la presentación ( 2 ) con un conjunto generador finito.${\displaystyle X=\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$y una relación definitoria no trivial, libre y cíclicamente reducida${\displaystyle 1\neq r\in F(X)}$.

• Un grupo G con un solo relacionador es libre de torsión si y solo si${\displaystyle r\in F(x_{1},\ldots ,x_{n})}$no es un poder adecuado.

• Todo grupo G con un solo relacionador es virtualmente libre de torsión, es decir, admite un subgrupo libre de torsión de índice finito . ^{[ 4 ]}

• Todo grupo con un solo relacionador es coherente. ^{[ 5 ]} Es decir, todo subgrupo finitamente generado está finitamente presentado.

• Una presentación con un solo relacionador es diagramáticamente asférica. ^{[ 6 ]}

• Si${\displaystyle r\in F(x_{1},\ldots ,x_{n})}$Si no es una potencia propia, entonces el complejo de presentación P para la presentación ( 2 ) es un complejo finito de Eilenberg-MacLane.${\displaystyle K(G,1)}$. ^{[ 7 ]}

• Si${\displaystyle r\in F(x_{1},\ldots ,x_{n})}$si no es una potencia propia entonces un grupo de un solo relacionador G tiene dimensión cohomológica${\displaystyle \leq 2}$.

• Un grupo G con un solo relacionador es libre si y solo si${\displaystyle r\in F(x_{1},\ldots ,x_{n})}$es un elemento primitivo o la palabra vacía; en el caso de una palabra primitiva G es libre de rango n  −  1 , en el caso de la palabra vacía es libre de rango n . ^{[ 8 ]}

• Supongamos que el elemento${\displaystyle r\in F(x_{1},\ldots ,x_{n})}$es de longitud mínima bajo la acción de${\displaystyle \operatorname {Aut} (F_{n})}$y supongamos que para cada${\displaystyle i=1,\dots ,n}$cualquiera${\displaystyle x_{i}}$o${\displaystyle x_{i}^{-1}}$ocurre en r . Entonces el grupo G es libremente indescomponible . ^{[ 9 ]}

• Si${\displaystyle r\in F(x_{1},\ldots ,x_{n})}$Si no es una potencia propia, entonces un grupo de un solo relacionador G es localmente indicable , es decir, todo subgrupo finitamente generado no trivial de G admite un homomorfismo de grupo sobre${\displaystyle \mathbb {Z} }$. ^{[ 10 ]}

• Cada grupo G con un solo relacionador tiene un problema de palabras algorítmicamente decidible . ^{[ 11 ]}

• Si G es un grupo de un solo relacionador y${\displaystyle H\leq G}$Si H es un subgrupo de Magnus, entonces el problema de pertenencia a subgrupos para H en G es decidible. ^{[ 11 ]}

• Se desconoce si los grupos con un solo referente tienen un problema de conjugación que se pueda resolver .

• Se desconoce si el problema del isomorfismo es decidible para la clase de grupos con un solo relacionador.

• Un grupo de un solo relacionador G dado por la presentación ( 2 ) tiene rango n (es decir, no puede ser generado por menos de n elementos) a menos que${\displaystyle r\in F(x_{1},\ldots ,x_{n})}$es un elemento primitivo. ^{[ 12 ]}

• Sea G un grupo de un solo relacionador dado por la presentación ( 2 ). Si${\displaystyle n\geq 3}$entonces el centro de G es trivial,${\displaystyle Z(G)=\{1\}}$. Si${\displaystyle n=2}$y G es no abeliano con centro no trivial, entonces el centro de G es cíclico infinito . ^{[ 13 ]}

• Dejar${\displaystyle r,s\in F(X)}$dónde${\displaystyle X=\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$. Dejar${\displaystyle N_{1}=\langle \langle r\rangle \rangle _{F(X)}}$y${\displaystyle N_{2}=\langle \langle s\rangle \rangle _ {F(X)}}$Sean los cierres normales de r y s en F ( X ) respectivamente. Entonces${\displaystyle N_{1}=N_{2}}$si y solo si${\displaystyle r}$es conjugado de${\displaystyle s}$o${\displaystyle s^{-1}}$en F ( X ). ^{[ 14 ] [ 15 ]}

• Existe un grupo de un solo relator generado finitamente que no es hopfiano y, por lo tanto, no es residualmente finito , por ejemplo el grupo de Baumslag-Solitar.${\displaystyle B(2,3)=\langle a,b\mid b^{-1}a^{2}b=a^{3}\rangle }$. ^{[ 16 ]}

• Sea G un grupo con un solo relator dado por la presentación ( 2 ). Entonces G satisface la siguiente versión de la alternativa de Tits . Si G es libre de torsión, entonces cada subgrupo de G contiene un grupo libre de rango 2 o es resoluble . Si G tiene torsión no trivial, entonces cada subgrupo de G contiene un grupo libre de rango 2, o es cíclico , o es diedral infinito . ^{[ 17 ]}

• Sea G un grupo de un solo relacionador dado por la presentación ( 2 ). Entonces el subgrupo normal${\displaystyle N=\langle \langle r\rangle \rangle _ {F(X)}\leq F(X)}$admite una base libre de la forma${\displaystyle \{u_{i}^{-1}ru_{i}\mid i\in I\}}$para alguna familia de elementos${\displaystyle \{u_{i}\in F(X)\mid i\in I\}}$. ^{[ 18 ]}

Supongamos un grupo de un solo relacionador G dado por la presentación ( 2 ) donde${\displaystyle r=s^{m}}$dónde${\displaystyle m\geq 2}$y dónde${\displaystyle 1\neq s\in F(X)}$no es una potencia propia (y por lo tanto s también se reduce libre y cíclicamente). Entonces se cumplen las siguientes condiciones:

• El elemento s tiene orden m en G , y todo elemento de orden finito en G es conjugado a una potencia de s . ^{[ 19 ]}

• Todo subgrupo finito de G es conjugado a un subgrupo de${\displaystyle \langle s\rangle }$en G . Además, el subgrupo de G generado por todos los elementos de torsión es un producto libre de una familia de conjugados de${\displaystyle \langle s\rangle }$en G . ^{[ 4 ]}

• G admite un subgrupo normal sin torsión de índice finito. ^{[ 4 ]}

• El "teorema de ortografía" de Newman ^{[ 20 ] [ 21 ]} Sea${\displaystyle 1\neq w\in F(X)}$sea ​​una palabra libremente reducida tal que${\displaystyle w=1}$en G . Entonces w contiene una subpalabra v tal que v también es una subpalabra de${\displaystyle r}$o${\displaystyle r^{-1}}$de longitud${\displaystyle |v|=1+(m-1)|s|}$. Desde${\displaystyle m\geq 2}$eso significa que${\displaystyle |v|>|r|/2}$y la presentación ( 2 ) de G es una presentación de Dehn .

• G tiene dimensión cohomológica virtual ${\displaystyle \leq 2}$. ^{[ 22 ]}

• G es un grupo hiperbólico de palabras . ^{[ 23 ]}

• G tiene un problema de conjugación decidible . ^{[ 20 ]}

• G es coherente , es decir, todo subgrupo finitamente generado de G es finitamente presentable. ^{[ 24 ]}

• El problema del isomorfismo es decidible para grupos de un solo relacionador finitamente generados con torsión, en virtud de su hiperbolicidad. ^{[ 25 ]}

• G es residualmente finito . ^{[ 26 ]}

• ${\displaystyle G}$es virtualmente libre por cíclico , es decir${\displaystyle G}$tiene un subgrupo${\displaystyle H}$de índice finito tal que existe un subgrupo normal libre${\displaystyle F\triangleleft H}$con cociente cíclico${\displaystyle F/H}$. ^{[ 27 ]}

A partir del trabajo de Magnus en la década de 1930, la mayoría de los resultados generales sobre grupos de un solo relator se demuestran por inducción sobre la longitud | r | del relator definitorio r . La presentación que sigue a continuación se basa en la Sección 6 del Capítulo II de Lyndon y Schupp ^{[ 28 ]} y la Sección 4.4 de Magnus, Karrass y Solitar ^{[ 29 ]} para el enfoque original de Magnus, y en la Sección 5 del Capítulo IV de Lyndon y Schupp ^{[ 30 ]} para la versión de Moldavansky con extensión HNN de dicho enfoque. ^{[ 31 ]}

Sea G un grupo de un solo relacionador dado por la presentación ( 1 ) con un conjunto generador finito X . Supongamos también que cada generador de X aparece realmente en r .

Normalmente se puede suponer que${\displaystyle \#X\geq 2}$(ya que de lo contrario G es cíclico y cualquier afirmación que se esté demostrando sobre G suele ser obvia).

El caso principal a considerar es cuando algún generador, digamos t , de X aparece en r con suma de exponentes 0 en t . Digamos${\displaystyle X=\{t,a,b,\dots ,z\}}$en este caso. Para cada generador${\displaystyle x\in X\setminus \{t\}}$uno denota${\displaystyle x_{i}=t^{-i}xt^{i}}$dónde${\displaystyle i\in \mathbb {Z} }$Entonces r se puede reescribir como una palabra .${\displaystyle r_{0}}$en estos nuevos generadores${\displaystyle X_{\infty }=\{(a_{i})_{i},(b_{i})_{i},\dots ,(z_{i})_{i}\}}$con${\displaystyle |r_{0}|<|r|}$.

Por ejemplo, si${\displaystyle r=t^{-2}btat^{3}b^{-2}a^{2}t^{-1}at^{-1}}$entonces${\displaystyle r_{0}=b_{2}a_{1}b_{-2}^{-2}a_{-2}^{2}a_{-1}}$.

Dejar${\displaystyle X_{0}}$sea ​​el alfabeto que consiste en la porción de${\displaystyle X_{\infty }}$dado por todos${\displaystyle x_{i}}$con${\displaystyle m(x)\leq i\leq M(x)}$dónde${\displaystyle m(x),M(x)}$son los subíndices mínimo y máximo con los que${\displaystyle x_{i}^{\pm 1}}$ocurre en${\displaystyle r_{0}}$.

Magnus observó que el subgrupo${\displaystyle L=\langle X_{0}\rangle \leq G}$es en sí mismo un grupo de un solo relacionador con la presentación de un solo relacionador${\displaystyle L=\langle X_{0}\mid r_{0}=1\rangle }$. Tenga en cuenta que desde${\displaystyle |r_{0}|<|r|}$, normalmente se puede aplicar la hipótesis inductiva a${\displaystyle L}$al probar una afirmación particular sobre G.

Además, si${\displaystyle X_{i}=t^{-i}X_{0}t^{i}}$para${\displaystyle i\in \mathbb {Z} }$entonces${\displaystyle L_{i}=\langle X_{i}\rangle =\langle X_{i}|r_{i}=1\rangle }$También es un grupo de un solo relacionador, donde${\displaystyle r_{i}}$se obtiene de${\displaystyle r_{0}}$desplazando todos los subíndices por${\displaystyle i}$. Luego el cierre normal${\displaystyle N=\langle \langle X_{0}\rangle \rangle _{G}}$de${\displaystyle X_{0}}$en G es

${\displaystyle N=\left\langle \bigcup _{i\in \mathbb {Z} }L_{i}\right\rangle .}$

El enfoque original de Magnus aprovechó el hecho de que N es en realidad un producto amalgamado iterado de los grupos.${\displaystyle L_{i}}$, amalgamados a lo largo de subgrupos libres de Magnus elegidos adecuadamente. Su demostración del Freiheitssatz y de la solución del problema de la palabra para grupos de un solo relator se basó en este enfoque.

Más tarde, Moldavansky simplificó el marco y señaló que en este caso G mismo es una extensión HNN de L con subgrupos asociados que son subgrupos libres de Magnus de L.

Si para cada generador de${\displaystyle X_{0}}$sus subíndices mínimo y máximo en${\displaystyle r_{0}}$son iguales entonces${\displaystyle G=L\ast \langle t\rangle }$y el paso inductivo suele ser fácil de manejar en este caso.

Supongamos entonces que algún generador de${\displaystyle X_{0}}$ocurre en${\displaystyle r_{0}}$con al menos dos subíndices distintos. Pusimos${\displaystyle Y_{-}}$ser el conjunto de todos los generadores de${\displaystyle X_{0}}$con subíndices no máximos y ponemos${\displaystyle Y_{+}}$ser el conjunto de todos los generadores de${\displaystyle X_{0}}$con subíndices no máximos. (Por lo tanto, cada generador de${\displaystyle Y_{-}}$y de${\displaystyle Y_{-}}$ocurre en${\displaystyle r_{0}}$con un subíndice no único.) Entonces${\displaystyle H_{-}=\langle Y_{-}\rangle }$y${\displaystyle H_{+}=\langle Y_{+}\rangle }$son subgrupos Magnus libres de L y${\displaystyle t^{-1}H_{-}t=H_{+}}$Moldavansky observó que en esta situación

${\displaystyle G=\langle L,t\mid t^{-1}H_{-}t=H_{+}\rangle }$

es una extensión HNN de L. Este hecho a menudo permite probar algo sobre G usando la hipótesis inductiva sobre el grupo de un solo relacionador L a través del uso de métodos de forma normal y propiedades algebraicas estructurales para la extensión HNN G.

El caso general, tanto en el planteamiento original de Magnus como en la simplificación de Moldavansky, requiere tratar la situación en la que no aparece ningún generador de X con suma de exponentes 0 en r . Supongamos que letras distintas${\displaystyle x,y\in X}$aparecen en r con exponentes distintos de cero${\displaystyle \alpha ,\beta }$en consecuencia. Consideremos un homomorfismo${\displaystyle f:F(X)\to F(X)}$dado por${\displaystyle f(x)=xy^{-\beta },f(y)=y^{\alpha }}$y arreglando los otros generadores de X. Luego, para${\displaystyle r'=f(r)\in F(X)}$La suma de exponentes en y es igual a 0. La aplicación f induce un homomorfismo de grupos.${\displaystyle \phi :G\to G'=\langle X\mid r'=1\rangle }$que resulta ser una incrustación. El grupo de un solo relacionador G' puede entonces tratarse utilizando el enfoque de Moldavansky. Cuando${\displaystyle G'}$se divide como una extensión HNN de un grupo de un solo relacionador L , el relacionador definitorio${\displaystyle r_{0}}$L sigue siendo más corto que r , lo que permite continuar con los argumentos inductivos. El enfoque original de Magnus utilizó una versión similar de un truco de incrustación para abordar este caso .

Resulta que muchos grupos de dos generadores y un relacionador se dividen como productos semidirectos.${\displaystyle G=F_{m}\rtimes \mathbb {Z} }$Este hecho fue observado por Ken Brown al analizar el invariante BNS de grupos de un solo relacionador utilizando el método de Magnus-Moldavansky.

Es decir, sea G un grupo de un solo relacionador dado por la presentación ( 2 ) con${\displaystyle n=2}$y dejar${\displaystyle \phi :G\to \mathbb {Z} }$ser un epimorfismo. Entonces se puede cambiar una base libre de${\displaystyle F(X)}$a una base${\displaystyle t,a}$de tal manera que${\displaystyle \phi (t)=1,\phi (a)=0}$y reescribir la presentación de G en estos generadores como

${\displaystyle G=\langle a,t\mid r=1\rangle }$

dónde${\displaystyle 1\neq r=r(a,t)\in F(a,t)}$es una palabra reducida libre y cíclicamente.

Desde${\displaystyle \phi (r)=0,\phi (t)=1}$, la suma de exponentes de t en r es igual a 0. Nuevamente, poniendo${\displaystyle a_{i}=t^{-i}at^{i}}$, podemos reescribir r como una palabra${\displaystyle r_{0}}$en${\displaystyle (a_{i})_{i\in \mathbb {Z} }.}$Dejar${\displaystyle m,M}$sean los subíndices mínimo y máximo de los generadores que aparecen en${\displaystyle r_{0}}$. Brown demostró ^{[ 32 ]} que${\displaystyle \ker(\phi )}$es finitamente generado si y solo si${\displaystyle m<M}$y ambos${\displaystyle a_{m}}$y${\displaystyle a_{M}}$ocurrir exactamente una vez en${\displaystyle r_{0}}$y además, en ese caso el grupo${\displaystyle \ker(\phi )}$es gratis. Por lo tanto, si${\displaystyle \phi :G\to \mathbb {Z} }$es un epimorfismo con un núcleo finitamente generado, entonces G se divide como${\displaystyle G=F_{m}\rtimes \mathbb {Z} }$dónde${\displaystyle F_{m}=\ker(\phi )}$es un grupo libre de rango finito .

Más tarde, Dunfield y Thurston demostraron ^{[ 33 ]} que si un grupo de un relacionador y dos generadores${\displaystyle G=\langle x_{1},x_{2}\mid r=1\rangle }$se elige "al azar" (es decir, una palabra r reducida cíclicamente de longitud n en${\displaystyle F(x_{1},x_{2})}$se elige uniformemente al azar) entonces la probabilidad${\displaystyle p_{n}}$que un homomorfismo de G en ${\displaystyle \mathbb {Z} }$con un núcleo generado finitamente existe satisface

${\displaystyle 0.0006<p_{n}<0.975}$

para todo n suficientemente grande . Además, sus datos experimentales indican que el valor límite para${\displaystyle p_{n}}$está cerca de${\displaystyle 0.94}$.

• Grupo abeliano libre${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} =\langle a,b\mid a^{-1}b^{-1}ab=1\rangle }$

• Grupo Baumslag-Solitar${\displaystyle B(m,n)=\langle a,b\mid b^{-1}a^{m}b=a^{n}\rangle }$dónde${\displaystyle m,n\neq 0}$.

• Grupo de nudos toroidales${\displaystyle G=\langle a,b\mid a^{p}=b^{q}\rangle }$dónde${\displaystyle p,q\geq 1}$son enteros coprimos .

• Grupo Baumslag–Gersten${\displaystyle G=\langle a,t\mid a^{a^{t}}=a^{2}\rangle =\langle a,t\mid (t^{-1}a^{-1}t)a(t^{-1}at)=a^{2}\rangle }$

• Grupo de superficies orientadas${\displaystyle G=\langle a_{1},b_{1},\dots ,a_{n},b_{n}\mid [a_{1},b_{1}]\dots [a_{n},b_{n}]=1\rangle }$dónde${\displaystyle [a,b]=a^{-1}b^{-1}ab}$y dónde${\displaystyle n\geq 1}$.

• Grupo de superficies no orientadas${\displaystyle G=\langle a_{1},\dots ,a_{n}\mid a_{1}^{2}\cdots a_{n}^{2}=1\rangle }$, dónde${\displaystyle n\geq 1}$.

• Si A y B son dos grupos, y${\displaystyle r\in A\ast B}$es un elemento en su producto gratuito , se puede considerar un producto de un solo relacionista${\displaystyle G=A\ast B/\langle \langle r\rangle \rangle =\langle A,B\mid r=1\rangle }$.

• La llamada conjetura de Kervaire, también conocida como conjetura de Kervaire-Laudenbach, pregunta si es cierto que si A es un grupo no trivial y${\displaystyle B=\langle t\rangle }$es cíclico infinito entonces para cada${\displaystyle r\in A\ast B}$el producto de un solo relador${\displaystyle G=\langle A,t\mid r=1\rangle }$no es trivial. ^{[ 34 ]}

• Klyachko demostró la conjetura de Kervaire para el caso en que A no tiene torsión. ^{[ 35 ]}

• Una conjetura atribuida a Gersten ^{[ 23 ]} dice que un grupo de un solo relator generado finitamente es hiperbólico en palabras si y solo si no contiene subgrupos de Baumslag-Solitar.

• 3 colectores
• Topología geométrica
• Teoría de cancelación pequeña

• Wilhelm Magnus , Abraham Karrass, Donald Solitar, Teoría combinatoria de grupos. Presentaciones de grupos en términos de generadores y relaciones , Reimpresión de la segunda edición de 1976, Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 2004. ISBN 0-486-43830-9MR 2109550​ 

• Lyndon, Roger C .; Schupp, Paul E. (2001). Teoría combinatoria de grupos . Clásicos en Matemáticas. Springer-Verlag, Berlín. ISBN 3-540-41158-5. MR 1812024 . 

• Notas de Andrew Putman sobre grupos con un solo referente , Universidad de Notre Dame