Teorema espectral de Freudenthal

En matemáticas , el teorema espectral de Freudenthal es un resultado de la teoría de espacios de Riesz demostrado por Hans Freudenthal en 1936. En términos generales, establece que cualquier elemento dominado por un elemento positivo en un espacio de Riesz con la propiedad de proyección principal puede, en cierto sentido, aproximarse uniformemente mediante funciones simples .

Numerosos resultados bien conocidos pueden derivarse del teorema espectral de Freudenthal. El conocido teorema de Radon-Nikodym , la validez de la fórmula de Poisson y el teorema espectral de la teoría de operadores normales pueden demostrarse como casos particulares del teorema espectral de Freudenthal.

Sea e cualquier elemento positivo en un espacio de Riesz E. Un elemento positivo de p en E se llama componente de e si${\displaystyle p\wedge (ep)=0}$. Si${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}}$son componentes disjuntas por pares de e , cualquier combinación lineal real de${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}}$Se denomina función e -simple.

El teorema espectral de Freudenthal establece: Sea E un espacio de Riesz cualquiera con la propiedad de proyección principal y e un elemento positivo cualquiera en E. Entonces, para cualquier elemento f en el ideal principal generado por e , existen secuencias${\displaystyle \{s_{n}\}}$y${\displaystyle \{t_{n}\}}$de funciones e -simples, tales que${\displaystyle \{s_{n}\}}$es monótonamente creciente y converge e uniformemente a f , y ${\displaystyle \{t_{n}\}}$ es monótonamente decreciente y converge e -uniformemente a f .

Dejar${\displaystyle (X,\Sigma )}$ser una medida espacio y${\displaystyle M_{\sigma }}$el espacio real de firmado${\displaystyle \sigma }$-medidas aditivas sobre${\displaystyle (X,\Sigma )}$Se puede demostrar que${\displaystyle M_{\sigma }}$es un retículo de Banach completo de Dedekind con la norma de variación total , y por lo tanto tiene la propiedad de proyección principal . Para cualquier medida positiva${\displaystyle \mu }$,${\displaystyle \mu }$-Se puede demostrar que las funciones simples (tal como se definen anteriormente) corresponden exactamente a${\displaystyle \mu }$-funciones simples medibles en${\displaystyle (X,\Sigma )}$(en el sentido habitual). Además, puesto que por el teorema espectral de Freudenthal, cualquier medida${\displaystyle \nu }$en la banda generada por${\displaystyle \mu }$puede aproximarse monótonamente desde abajo mediante${\displaystyle \mu }$-funciones simples medibles en${\displaystyle (X,\Sigma )}$, por el teorema de convergencia monótona de Lebesgue${\displaystyle \nu }$se puede demostrar que corresponde a un${\displaystyle L^{1}(X,\Sigma ,\mu )}$función y establece un isomorfismo de red isométrica entre la banda generada por${\displaystyle \mu }$y la red de Banach${\displaystyle L^{1}(X,\Sigma ,\mu )}$.

• Teorema de Radon-Nikodym

• Zaanen, Adriaan C. (1996), Introducción a la teoría del operador en espacios de Riesz , Springer , ISBN 3-540-61989-5
• Zaanen, Adriaan C.; Luxemburgo, WAJ (1971), Espacios de Riesz I , Holanda Septentrional , ISBN 0-7204-2451-8