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Variación total

En matemáticas , la variación total identifica varios conceptos ligeramente diferentes, relacionados con la estructura ( local o global) del codominio de una función o una medid...

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En matemáticas , la variación total identifica varios conceptos ligeramente diferentes, relacionados con la estructura ( local o global) del codominio de una función o una medida . Para una función continua de valores reales f , definida en un intervalo [ a , b ] ⊂ R , su variación total en el intervalo de definición es una medida de la longitud de arco unidimensional de la curva con ecuación paramétrica x ↦ f ( x ), para x ∈ [ a , b ]. Las funciones cuya variación total es finita se denominan funciones de variación acotada .

Nota histórica

El concepto de variación total para funciones de una variable real fue introducido por primera vez por Camille Jordan en el artículo ( Jordan 1881 ) . [ 1 ] Utilizó este nuevo concepto para demostrar un teorema de convergencia para series de Fourier de funciones periódicas discontinuas cuya variación está acotada . Sin embargo, la extensión del concepto a funciones de más de una variable no es sencilla por diversas razones.

Definiciones

Variación total para funciones de una variable real

Definición 1.1. La variación total de una función de valores reales (o, más generalmente, de valores complejos )F{\displaystyle f}, definido en un intervalo[a,b]⊂R{\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }es la cantidad

Vab(F)=sorberPAG∑i=0nortePAG−1|F(incógnitai+1)−F(incógnitai)|,{\displaystyle V_{a}^{b}(f)=\sup _{\mathcal {P}}\sum _{i=0}^{n_{P}-1}|f(x_{i+1})-f(x_{i})|,}

donde el supremo recorre el conjunto de todas las particionesPAG={PAG={incógnita0,…,incógnitanortePAG}∣PAG es una partición de [a,b]}{\displaystyle {\mathcal {P}}=\left\{P=\{x_{0},\dots ,x_{n_{P}}\}\mid P{\text{ es una partición de }}[a,b]\right\}}del intervalo dado . Lo que significa quea=incógnita0<incógnita1<...<incógnitanortePAG=b{\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<...<x_{n_{P}}=b}.

Variación total para funciones de n > 1 variables reales

Definición 1.2. [ 2 ] Sea Ω un subconjunto abierto de R n . Dada una función f perteneciente a L 1 ( Ω ), la variación total de f en Ω se define como

V(F,Ω):=sorber{∫ΩF(incógnita)div⁡ϕ(incógnita)dincógnita:ϕ∈dodo1(Ω,Rnorte), ‖ϕ‖L∞(Ω)≤1},{\displaystyle V(f,\Omega ):=\sup \left\{\int _{\Omega }f(x)\operatorname {div} \phi (x)\,\mathrm {d} x\colon \phi \in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n}),\ \Vert \phi \Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1\right\},}

dónde

Esta definición no requiere que el dominioΩ⊆Rnorte{\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}}Sea un conjunto acotado de la función dada .

Variación total en la teoría de la medida

Definición clásica de variación total

Siguiendo a Saks (1937 , p. 10) , consideremos una medida con signo. μ{\displaystyle \mu }en un espacio mensurable(incógnita,Σ){\displaystyle (X,\Sigma )}: entonces es posible definir dos funciones de conjuntoW¯(μ,⋅){\displaystyle {\overline {\mathrm {W} }}(\mu,\cdot)}yW_(μ,⋅){\displaystyle {\underline {\mathrm {W} }}(\mu,\cdot)}, denominadas respectivamente variación superior y variación inferior , de la siguiente manera:

W¯(μ,mi)=sorber{μ(A)∣A∈Σ y A⊂mi}∀mi∈Σ{\displaystyle {\overline {\mathrm {W} }}(\mu ,E)=\sup \left\{\mu (A)\mid A\in \Sigma {\text{ y }}A\subset E\right\}\qquad \forall E\in \Sigma }
W_(μ,mi)=inf{μ(A)∣A∈Σ y A⊂mi}∀mi∈Σ{\displaystyle {\underline {\mathrm {W} }}(\mu ,E)=\inf \left\{\mu (A)\mid A\in \Sigma {\text{ y }}A\subset E\right\}\qquad \forall E\in \Sigma }

claramente

W¯(μ,mi)≥0≥W_(μ,mi)∀mi∈Σ{\displaystyle {\overline {\mathrm {W} }}(\mu ,E)\geq 0\geq {\underline {\mathrm {W} }}(\mu ,E)\qquad \forall E\in \Sigma }

Definición 1.3. La variación (también llamada variación absoluta ) de la medida con signo.μ{\displaystyle \mu }es la función de conjunto

|μ|(mi)=W¯(μ,mi)+|W_(μ,mi)|∀mi∈Σ{\displaystyle |\mu |(E)={\overline {\mathrm {W} }}(\mu ,E)+\left|{\underline {\mathrm {W} }}(\mu ,E)\right|\qquad \forall E\in \Sigma }

y su variación total se define como el valor de esta medida en todo el espacio de definición, es decir

‖μ‖=|μ|(incógnita){\displaystyle \|\mu \|=|\mu |(X)}

Definición moderna de norma de variación total

Saks (1937 , p. 11) utiliza variaciones superior e inferior para demostrar la descomposición de Hahn - Jordan : según su versión de este teorema, la variación superior e inferior son, respectivamente, una medida no negativa y una medida no positiva . Utilizando una notación más moderna, definimos 

μ+(⋅)=W¯(μ,⋅),{\displaystyle \mu ^{+}(\cdot )={\overline {\mathrm {W} }}(\mu ,\cdot )\,,}
μ−(⋅)=−W_(μ,⋅),{\displaystyle \mu ^{-}(\cdot )=-{\underline {\mathrm {W} }}(\mu ,\cdot )\,,}

Entoncesμ+{\displaystyle \mu ^{+}}yμ−{\displaystyle \mu ^{-}}son dos medidas no negativas tales que

μ=μ+−μ−{\displaystyle \mu =\mu ^{+}-\mu ^{-}}
|μ|=μ++μ−{\displaystyle |\mu |=\mu ^{+}+\mu ^{-}}

La última medida a veces se denomina, por abuso de notación , medida de variación total .

Norma de variación total de medidas complejas

Si la medidaμ{\displaystyle \mu }es una medida de valor complejo, es decir, es una medida compleja , su variación superior e inferior no se pueden definir y el teorema de descomposición de Hahn - Jordan solo se puede aplicar a sus partes real e imaginaria. Sin embargo, es posible seguir a Rudin (1966 , pp. 137-139) y definir la variación total de la medida de valor complejo. μ{\displaystyle \mu }como sigue

Definición 1.4. La variación de la medida de valor complejoμ{\displaystyle \mu }es la función de conjunto

|μ|(mi)=sorberπ∑A∈π|μ(A)|∀mi∈Σ{\displaystyle |\mu |(E)=\sup _ {\pi }\sum _ {A\in \pi }|\mu (A)|\qquad \forall E\in \Sigma }

donde el supremo se toma sobre todas las particionesπ{\displaystyle \pi }de un conjunto mensurablemi{\displaystyle E}en un número contable de subconjuntos medibles disjuntos.

Esta definición coincide con la definición anterior.|μ|=μ++μ−{\displaystyle |\mu |=\mu ^{+}+\mu ^{-}}para el caso de medidas con signo de valor real.

Norma de variación total de medidas con valores vectoriales

La variación así definida es una medida positiva (véase Rudin (1966 , p. 139) ) y coincide con la definida por 1.3 cuando μ{\displaystyle \mu }es una medida con signo : su variación total se define como se indicó anteriormente. Esta definición también funciona siμ{\displaystyle \mu }es una medida vectorial : la variación se define entonces mediante la siguiente fórmula.

|μ|(mi)=sorberπ∑A∈π‖μ(A)‖∀mi∈Σ{\displaystyle |\mu |(E)=\sup _ {\pi }\sum _ {A\in \pi }\|\mu (A)\|\qquad \forall E\in \Sigma }

donde el supremo es como se indicó anteriormente. Esta definición es ligeramente más general que la dada por Rudin (1966 , p. 138), ya que solo requiere considerar particiones finitas del espacio. incógnita{\displaystyle X}: esto implica que también puede utilizarse para definir la variación total en medidas finito-aditivas .

Variación total de las medidas de probabilidad

La variación total de cualquier medida de probabilidad es exactamente uno, por lo tanto, no es interesante como medio para investigar las propiedades de dichas medidas. Sin embargo, cuando μ y ν son medidas de probabilidad , la distancia de variación total de las medidas de probabilidad se puede definir como‖μ−ν‖{\displaystyle \|\mu -\nu \|}donde la norma es la norma de variación total de medidas con signo. Utilizando la propiedad de que(μ−ν)(incógnita)=0{\displaystyle (\mu -\nu )(X)=0}, finalmente llegamos a la definición equivalente

‖μ−ν‖=|μ−ν|(incógnita)=2sorber{|μ(A)−ν(A)|:A∈Σ}{\displaystyle \|\mu -\nu \|=|\mu -\nu |(X)=2\sup \left\{\,\left|\mu (A)-\nu (A)\right|:A\in \Sigma \,\right\}}[ 3 ]

y sus valores no son triviales. El factor2{\displaystyle 2}Lo anterior generalmente se omite (como es la convención en el artículo distancia de variación total de medidas de probabilidad ). De manera informal, esta es la mayor diferencia posible entre las probabilidades que las dos distribuciones de probabilidad pueden asignar al mismo evento. Para una distribución categórica , es posible escribir la distancia de variación total de la siguiente manera:

δ(μ,ν)=∑incógnita|μ(incógnita)−ν(incógnita)|.{\displaystyle \delta (\mu ,\nu )=\sum _{x}\left|\mu (x)-\nu (x)\right|\;.}[ 4 ]

También puede normalizarse a valores en [0,1]{\displaystyle [0,1]}dividiendo por la mitad la definición anterior de la siguiente manera:

δ(μ,ν)=12∑incógnita|μ(incógnita)−ν(incógnita)|{\displaystyle \delta (\mu ,\nu )={\frac {1}{2}}\sum _{x}\left|\mu (x)-\nu (x)\right|}[ 5 ]

Propiedades básicas

Variación total de funciones diferenciables

La variación total de undo1(Ω¯){\displaystyle C^{1}({\overline {\Omega }})} funciónF{\displaystyle f}puede expresarse como una integral que involucra la función dada en lugar de como el supremo de los funcionales de las definiciones 1.1 y 1.2 .

La forma de la variación total de una función diferenciable de una variable.

Teorema 1. La variación total de una función diferenciableF{\displaystyle f}, definido en un intervalo[a,b]⊂R{\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }, tiene la siguiente expresión siF′{\displaystyle f'}es integrable de Riemann

Vab(F)=∫ab|F′(incógnita)|dincógnita{\displaystyle V_{a}^{b}(f)=\int _{a}^{b}|f'(x)|\mathrm {d} x}

SiF{\displaystyle f}es diferenciable y monótona , entonces lo anterior se simplifica a

Vab(F)=|F(a)−F(b)|{\displaystyle V_{a}^{b}(f)=|f(a)-f(b)|}

Para cualquier función diferenciableF{\displaystyle f}, podemos descomponer el intervalo del dominio[a,b]{\displaystyle [a,b]}, en subintervalos[a,a1],[a1,a2],…,[anorte,b]{\displaystyle [a,a_{1}],[a_{1},a_{2}],\dots ,[a_{N},b]}(cona<a1<a2<⋯<anorte<b{\displaystyle a<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{N}<b}) en el cualF{\displaystyle f}es localmente monótono, entonces la variación total deF{\displaystyle f}encima[a,b]{\displaystyle [a,b]}se puede escribir como la suma de variaciones locales en esos subintervalos:

Vab(F)=Vaa1(F)+Va1a2(F)+⋯+Vanorteb(F)=|F(a)−F(a1)|+|F(a1)−F(a2)|+⋯+|F(anorte)−F(b)|{\displaystyle {\begin{aligned}V_{a}^{b}(f)&=V_{a}^{a_{1}}(f)+V_{a_{1}}^{a_{2}}(f)+\,\cdots \,+V_{a_{N}}^{b}(f)\\[0.3em]&=|f(a)-f(a_{1})|+|f(a_{1})-f(a_{2})|+\,\cdots \,+|f(a_{N})-f(b)|\end{aligned}}}

La forma de la variación total de una función diferenciable de varias variables.

Teorema 2. Dado undo1(Ω¯){\displaystyle C^{1}({\overline {\Omega }})}funciónF{\displaystyle f}definido en un conjunto abierto acotadoΩ⊆Rnorte{\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}}, con∂Ω{\displaystyle \partial \Omega }de clasedo1{\displaystyle C^{1}}, la variación total deF{\displaystyle f}tiene la siguiente expresión

V(F,Ω)=∫Ω|∇F(incógnita)|dincógnita{\displaystyle V(f,\Omega )=\int _{\Omega }\left|\nabla f(x)\right|\mathrm {d} x}.
Prueba

El primer paso de la demostración consiste en probar primero una igualdad que se deduce del teorema de Gauss-Ostrogradsky .

Lema

Bajo las condiciones del teorema, se cumple la siguiente igualdad:

∫ΩFdiv⁡φ=−∫Ω∇F⋅φ{\displaystyle \int _{\Omega }f\operatorname {div} \varphi =-\int _{\Omega }\nabla f\cdot \varphi }
Demostración del lema

Del teorema de Gauss-Ostrogradsky :

∫Ωdiv⁡R=∫∂ΩR⋅norte{\displaystyle \int _{\Omega }\operatorname {div} \mathbf {R} =\int _{\partial \Omega }\mathbf {R} \cdot \mathbf {n} }

sustituyendoR:=Fφ{\displaystyle \mathbf {R} :=f\mathbf {\varphi } } , tenemos:

∫Ωdiv⁡(Fφ)=∫∂Ω(Fφ)⋅norte{\displaystyle \int _{\Omega }\operatorname {div} \left(f\mathbf {\varphi } \right)=\int _{\partial \Omega }\left(f\mathbf {\varphi } \right)\cdot \mathbf {n} }

dóndeφ{\displaystyle \mathbf {\varphi } }es cero en el límite deΩ{\displaystyle \Omega }por definición:

∫Ωdiv⁡(Fφ)=0{\displaystyle \int _{\Omega }\operatorname {div} \left(f\mathbf {\varphi } \right)=0}
∫Ω∂incógnitai(Fφi)=0{\displaystyle \int _{\Omega }\partial _{x_{i}}\left(f\mathbf {\varphi } _{i}\right)=0}
∫Ωφi∂incógnitaiF+F∂incógnitaiφi=0{\displaystyle \int _{\Omega }\mathbf {\varphi } _{i}\partial _{x_{i}}f+f\partial _{x_{i}}\mathbf {\varphi } _{i}=0}
∫ΩF∂incógnitaiφi=−∫Ωφi∂incógnitaiF{\displaystyle \int _{\Omega }f\partial _{x_{i}}\mathbf {\varphi } _{i}=-\int _{\Omega }\mathbf {\varphi } _{i}\partial _{x_{i}}f}
∫ΩFdiv⁡φ=−∫Ωφ⋅∇F{\displaystyle \int _{\Omega }f\operatorname {div} \mathbf {\varphi } =-\int _{\Omega }\mathbf {\varphi } \cdot \nabla f}
Prueba de la igualdad

Bajo las condiciones del teorema, del lema tenemos:

∫ΩFdiv⁡φ=−∫Ωφ⋅∇F≤|∫Ωφ⋅∇F|≤∫Ω|φ|⋅|∇F|≤∫Ω|∇F|{\displaystyle \int _{\Omega }f\operatorname {div} \mathbf {\varphi } =-\int _{\Omega }\mathbf {\varphi } \cdot \nabla f\leq \left|\int _{\Omega }\mathbf {\varphi } \cdot \nabla f\right|\leq \int _{\Omega }\left|\mathbf {\varphi } \right|\cdot \left|\nabla f\right|\leq \int _{\Omega }\left|\nabla f\right|}

en la última parteφ{\displaystyle \mathbf {\varphi } }podría omitirse, porque por definición su supremo esencial es como máximo uno.

Por otro lado, consideramosθnorte:=−I[−norte,norte]I{∇F≠0}∇F|∇F|{\displaystyle \theta _{N}:=-\mathbb {I} _{\left[-N,N\right]}\mathbb {I} _{\{\nabla f\neq 0\}}{\frac {\nabla f}{\left|\nabla f\right|}}}yθnorte∗{\displaystyle \theta _{N}^{*}}que depende deε{\displaystyle \varepsilon }aproximación deθnorte{\displaystyle \theta _{N}}endodo1{\displaystyle C_{c}^{1}}con la misma integral. Podemos hacer esto ya quedodo1{\displaystyle C_{c}^{1}}es denso enL1{\displaystyle L^{1}}. Ahora, sustituyendo de nuevo en el lema:

límitenorte→∞∫ΩFdiv⁡θnorte∗=límitenorte→∞∫{∇F≠0}I[−norte,norte]∇F⋅∇F|∇F|=límitenorte→∞∫[−norte,norte]∩{∇F≠0}∇F⋅∇F|∇F|=∫Ω|∇F|{\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{N\to \infty }\int _{\Omega }f\operatorname {div} \theta _{N}^{*}\\[4pt]&=\lim _{N\to \infty }\int _{\{\nabla f\neq 0\}}\mathbb {I} _{\left[-N,N\right]}\nabla f\cdot {\frac {\nabla f}{\left|\nabla f\right|}}\\[4pt]&=\lim _{N\to \infty }\int _{\left[-N,N\right]\cap {\{\nabla f\neq 0\}}}\nabla f\cdot {\frac {\nabla f}{\left|\nabla f\right|}}\\[4pt]&=\int _{\Omega }\left|\nabla f\right|\end{aligned}}}

Esto significa que tenemos una secuencia convergente de∫ΩFdiv⁡φ{\textstyle \int _{\Omega }f\operatorname {div} \mathbf {\varphi } }que tiende a∫Ω|∇F|{\textstyle \int _{\Omega }\left|\nabla f\right|}como bien sabemos que∫ΩFdiv⁡φ≤∫Ω|∇F|{\textstyle \int _{\Omega }f\operatorname {div} \mathbf {\varphi } \leq \int _{\Omega }\left|\nabla f\right|}QED​

Se puede ver en la prueba que el supremo se alcanza cuando

φ→−∇F|∇F|.{\displaystyle \varphi \to {\frac {-\nabla f}{\left|\nabla f\right|}}.}

La funciónF{\displaystyle f}Se dice que tiene variación limitada precisamente si su variación total es finita.

Variación total de una medida

La variación total es una norma definida en el espacio de medidas de variación acotada. El espacio de medidas en un σ-álgebra de conjuntos es un espacio de Banach , denominado espacio ca , con respecto a esta norma. Está contenido en el espacio de Banach más amplio, denominado espacio ba , que consta de medidas finitamente aditivas (a diferencia de las numerablemente aditivas), también con la misma norma. La función de distancia asociada a la norma da lugar a la distancia de variación total entre dos medidas μ y ν .

Para medidas finitas en R , el vínculo entre la variación total de una medida μ y la variación total de una función, como se describió anteriormente, es el siguiente. Dado μ , definimos una funciónφ:R→R{\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }por

φ(t)=μ((−∞,t]) .{\displaystyle \varphi (t)=\mu ((-\infty ,t])~.}

Entonces, la variación total de la medida con signo μ es igual a la variación total, en el sentido anterior, de la funciónφ{\displaystyle \varphi }En general, la variación total de una medida con signo se puede definir utilizando el teorema de descomposición de Jordan mediante

‖μ‖TV=μ+(incógnita)+μ−(incógnita) ,{\displaystyle \|\mu \|_{TV}=\mu _{+}(X)+\mu _{-}(X)~,}

para cualquier medida con signo μ en un espacio medible(incógnita,Σ){\displaystyle (X,\Sigma )}.

Aplicaciones

La variación total puede considerarse como un funcional real no negativo definido en el espacio de funciones reales (para el caso de funciones de una variable) o en el espacio de funciones integrables (para el caso de funciones de varias variables). Como funcional, la variación total encuentra aplicaciones en diversas ramas de las matemáticas y la ingeniería, como el control óptimo , el análisis numérico y el cálculo de variaciones , donde la solución a un problema determinado debe minimizar su valor. Por ejemplo, el uso del funcional de variación total es común en los dos tipos de problemas siguientes.

Véase también

Notas

  1. ↑ Según Golubov y Vitushkin (2001) .
  2. ↑ Ambrosio, Luigi; Fusco, Nicola; Pallara, Diego (2000). Functions of Bounded Variation and Free Discontinuity Problems . Oxford University Press. p.  119. doi : 10.1093/oso/9780198502456.001.0001 . ISBN 9780198502456.
  3. ↑ Billingsley, Patrick (1995). Probabilidad y medida . John Wiley & Sons. págs. 242–243 . 
  4. ↑ Le Cam, Lucien; Yang, Grace Lo (2000). Asintótica en estadística: algunos conceptos básicos . Springer. págs. 16–18 . 
  5. ↑ Gibbs, Alison ; Francis Edward Su (2002). "Sobre la elección y delimitación de métricas de probabilidad" (PDF) . pág. 7. Recuperado el 8 de abril de 2017 . 
  6. ↑ https://arxiv.org/pdf/1603.09599 Consultado el 15/12/2024

Referencias históricas

Referencias

  • Leoni, Giovanni (2017), Un primer curso sobre espacios de Sobolev: Segunda edición , Estudios de posgrado en matemáticas, Sociedad Matemática Americana, pp.  xxii+734, ISBN 978-1-4704-2921-8.
  • Saks, Stanisław (1937). Teoría de la Integral . Monografía Matematyczne. vol.  7 (2ª  ed.). Warszawa-Lwów: GE Stechert & Co. págs.  VI+347. JFM 63.0183.05 . Zbl 0017.30004 .  (Disponible en la Biblioteca Virtual Polaca de Ciencias ). Traducción al inglés del original francés realizada por Laurence Chisholm Young , con dos notas adicionales de Stefan Banach .
  • Rudin, Walter (1966), Análisis real y complejo , Serie McGraw-Hill en matemáticas superiores (1.ª  ed.), Nueva York: McGraw-Hill, págs.  xi+412, MR 0210528 , Zbl 0142.01701  .

Una variable

Una o más variables

  • Función de variación acotada en la Enciclopedia de Matemáticas

teoría de la medida

  • Rowland, Todd. "Variación total" . MathWorld ..
  • Descomposición de Jordan en PlanetMath . .
  • Descomposición de Jordan en la Enciclopedia de Matemáticas

Aplicaciones

  • Caselles, Vicent; Chambolle, Antonin; Novaga, Matteo (2007), El conjunto de discontinuidad de soluciones del problema de eliminación de ruido en TV y algunas extensiones , SIAM , Multiscale Modeling and Simulation, vol. 6 n.º 3, archivado del original el 27 de septiembre de 2011.(un trabajo que trata sobre la aplicación de la variación total en problemas de eliminación de ruido para el procesamiento de imágenes ).
  • Rudin, Leonid I.; Osher, Stanley; Fatemi, Emad (1992), "Algoritmos de eliminación de ruido basados ​​en la variación total no lineal", Physica D: Nonlinear Phenomena , 60 ( 1–4 ), Physica D: Nonlinear Phenomena 60.1: 259-268: 259–268 , Bibcode : 1992PhyD...60..259R , doi : 10.1016/0167-2789(92)90242-F.
  • Blomgren, Peter; Chan, Tony F. (1998), "Color TV: métodos de variación total para la restauración de imágenes vectoriales", IEEE Transactions on Image Processing , 7 (3), Procesamiento de imágenes, IEEE Transactions on, vol. 7, n.º 3: 304-309: 304–309 , Bibcode : 1998ITIP....7..304B , doi : 10.1109/83.661180 , PMID 18276250 .
  • Tony F. Chan y Jackie (Jianhong) Shen (2005), Procesamiento y análisis de imágenes: métodos variacionales, de ecuaciones diferenciales parciales, de ondículas y estocásticos , SIAM , ISBN 0-89871-589-X(con una cobertura exhaustiva y amplias aplicaciones de las Variaciones Totales en el procesamiento moderno de imágenes, tal como lo iniciaron Rudin, Osher y Fatemi).
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