Teorema de Frobenius (topología diferencial)

Supongamos que debemos encontrar la trayectoria de una partícula en un subconjunto del espacio 3D, pero no conocemos su fórmula de trayectoria. En cambio, solo sabemos que su trayectoria satisface${\displaystyle adx+bdy+cdz=0}$, dónde${\displaystyle a,b,c}$son funciones suaves de${\displaystyle (x,y,z)}$Por lo tanto, nuestra única certeza es que si en algún momento la partícula está en la ubicación${\ Displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$, entonces su velocidad en ese momento está restringida dentro del plano con ecuación$${\displaystyle a(x_{0},y_{0},z_{0})[x-x_{0}]+b(x_{0},y_{0},z_{0})[y-y_{0}]+c(x_{0},y_{0},z_{0})[z-z_{0}]=0}$$

En otras palabras, podemos dibujar un "plano local" en cada punto del espacio tridimensional, y sabemos que la trayectoria de la partícula debe ser tangente al plano local en todo momento.

Si tenemos dos ecuaciones$${\displaystyle {\begin{cases}adx+bdy+cdz=0\\a'dx+b'dy+c'dz=0\end{cases}}}$$Entonces podemos dibujar dos planos locales en cada punto, y su intersección es genéricamente una línea, lo que nos permite resolver de forma única la curva que parte de cualquier punto. En otras palabras, con dos 1-formas, podemos foliar el dominio en curvas.

Si solo tenemos una ecuación${\displaystyle adx+bdy+cdz=0}$, entonces podríamos ser capaces de foliar${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$en superficies, en cuyo caso, podemos estar seguros de que una curva que comienza en una superficie determinada debe estar restringida a vagar dentro de esa superficie. De lo contrario, una curva que comienza en cualquier punto podría terminar en cualquier otro punto en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

Podemos imaginar que comenzamos con una nube de pequeños planos y los unimos para formar una superficie completa. El principal peligro es que, si unimos los planos de dos en dos, podríamos entrar en un ciclo y regresar al punto de partida, pero ligeramente desplazado. Si esto sucede, no obtendríamos una superficie bidimensional, sino una mancha tridimensional. Un ejemplo se muestra en el diagrama de la derecha.

Si la forma unidimensional es integrable, entonces los bucles se cierran exactamente sobre sí mismos, y cada superficie sería bidimensional. El teorema de Frobenius establece que esto sucede precisamente cuando${\displaystyle \omega \wedge d\omega =0}$en todo el dominio, donde${\displaystyle \omega$ :=adx+bdy+cdz} . La notación se define en el artículo sobre formas únicas .

Durante su desarrollo de la termodinámica axiomática, Carathéodory demostró que si${\displaystyle \omega }$es una 1-forma integrable en un subconjunto abierto de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, entonces${\displaystyle \omega =fdg}$para algunas funciones escalares${\displaystyle f,g}$en el subconjunto. Esto se suele llamar teorema de Carathéodory en termodinámica axiomática. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Esto se puede demostrar intuitivamente construyendo primero los planos pequeños según${\displaystyle \omega }$, uniéndolos entre sí para formar una foliación, y luego asignando a cada superficie de la foliación una etiqueta escalar. Ahora, para cada punto${\displaystyle p}$, definir${\displaystyle g(p)}$ser la etiqueta escalar de la superficie que contiene el punto${\displaystyle p}$.

Ahora,${\displaystyle dg}$es una forma única que tiene exactamente los mismos planos que${\displaystyle \omega }$Sin embargo, tiene un "espesor uniforme" en todas partes, mientras que${\displaystyle \omega }$podría tener "espesor desigual". Esto se puede solucionar mediante un escalado escalar por${\displaystyle f}$, donación${\displaystyle \omega =fdg}$Esto se ilustra a la derecha.

En su forma más elemental, el teorema aborda el problema de encontrar un conjunto máximo de soluciones independientes de un sistema regular de ecuaciones diferenciales parciales lineales homogéneas de primer orden . Sea

${\displaystyle \left\{f_{k}^{i}:\mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} \$ :\ 1\leq i\leq n,1\leq k\leq r\right\}}

Sea una colección de funciones C ¹ , con r < n , y tal que la matriz ( f ⁱ _k )  tenga rango r cuando se evalúa en cualquier punto de R ⁿ . Considere el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales parciales para una función C ² u  : R ⁿ → R :

${\displaystyle (1)\quad {\begin{cases}L_{1}u\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{i}f_{1}^{i}(x){\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}={\vec {f}}_{1}\cdot \nabla u=0\\L_{2}u\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{i}f_{2}^{i}(x){\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}={\vec {f}}_{2}\cdot \nabla u=0\\\qquad \cdots \\L_{r}u\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{i}f_{r}^{i}(x){\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}={\vec {f}}_{r}\cdot \nabla u=0\end{cases}}}$

Se buscan condiciones sobre la existencia de una colección de soluciones u ₁ , ..., u _{n − r} tales que los gradientes ∇ u ₁ , ..., ∇ u _{n − r} sean linealmente independientes .

El teorema de Frobenius afirma que este problema admite una solución localmente ^{[ 3 ]} si, y solo si, los operadores L _k satisfacen una cierta condición de integrabilidad conocida como involutividad . Específicamente, deben satisfacer relaciones de la forma

${\displaystyle L_{i}L_{j}u(x)-L_{j}L_{i}u(x)=\sum _{k}c_{ij}^{k}(x)L_{k}u(x)}$

para 1 ≤ i , j ≤ r , y todas las funciones C ² u , y para algunos coeficientes c ^k _ij ( x ) que pueden depender de x . En otras palabras, los conmutadores [ L _i , L _j ] deben estar en el espacio lineal generado por L _k en cada punto. La condición de involutividad es una generalización de la conmutatividad de las derivadas parciales. De hecho, la estrategia de demostración del teorema de Frobenius consiste en formar combinaciones lineales entre los operadores L _i de modo que los operadores resultantes conmuten, y luego demostrar que existe un sistema de coordenadas y _i para el cual estas son precisamente las derivadas parciales con respecto a y ₁ , ..., y _r .

Aunque el sistema esté sobredeterminado, normalmente existen infinitas soluciones. Por ejemplo, el sistema de ecuaciones diferenciales

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}=0\\{\frac {\partial f}{\partial y}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}=0\end{cases}}}$

Esto permite claramente múltiples soluciones. Sin embargo, estas soluciones aún poseen suficiente estructura como para poder describirse completamente. La primera observación es que, incluso si f ₁ y f ₂ son dos soluciones diferentes, las superficies de nivel de f ₁ y f ₂ deben superponerse. De hecho, las superficies de nivel para este sistema son todos planos en R ³ de la forma x − y + z = C , donde C es una constante. La segunda observación es que, una vez conocidas las superficies de nivel, todas las soluciones pueden expresarse en términos de una función arbitraria. Dado que el valor de una solución f en una superficie de nivel es constante por definición, definimos una función C ( t ) de la siguiente manera:

${\displaystyle f(x,y,z)=C(t){\text{ siempre que }}x-y+z=t.}$

Por el contrario, si se da una función C ( t ) , entonces cada función f dada por esta expresión es una solución de la ecuación original. Así, debido a la existencia de una familia de superficies de nivel, las soluciones de la ecuación original guardan una correspondencia biunívoca con funciones arbitrarias de una variable.

El teorema de Frobenius permite establecer una correspondencia similar para el caso más general de soluciones de (1). Supongamos que u ₁ , ..., u _n−r son soluciones del problema (1) que satisfacen la condición de independencia en los gradientes. Consideremos los conjuntos de nivel ^{[ 4 ]} de ( u ₁ , ..., u _n−r ) como funciones con valores en R ^n−r . Si v ₁ , ..., v _n−r es otra colección de soluciones, se puede demostrar (utilizando álgebra lineal y el teorema del valor medio ) que esta tiene la misma familia de conjuntos de nivel, pero con una posible elección diferente de constantes para cada conjunto. Por lo tanto, aunque las soluciones independientes de (1) no son únicas, la ecuación (1) determina una familia única de conjuntos de nivel. Al igual que en el ejemplo, las soluciones generales u de (1) están en correspondencia biunívoca con funciones (continuamente diferenciables) en la familia de conjuntos de nivel. ^{[ 5 ]}

Los conjuntos de nivel que corresponden a los conjuntos de soluciones independientes máximas de (1) se denominan variedades integrales porque las funciones definidas en el conjunto de todas las variedades integrales se corresponden, en cierto sentido, con constantes de integración . Una vez que se conoce una de estas constantes de integración, también se conoce la solución correspondiente.

En la formulación de campo vectorial, el teorema establece que un subfibrado del fibrado tangente de una variedad es integrable (o involutivo) si y solo si surge de una foliación regular . En este contexto, el teorema de Frobenius relaciona la integrabilidad con la foliación; para enunciar el teorema, ambos conceptos deben estar claramente definidos.

Se comienza señalando que un campo vectorial suave arbitrario${\displaystyle X}$en un colector${\displaystyle M}$define una familia de curvas , sus curvas integrales${\displaystyle u:I\to M}$(para intervalos)${\displaystyle I}$). Estas son las soluciones de ${\displaystyle {\dot {u}}(t)=X_{u(t)}}$, que es un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden , cuya solubilidad está garantizada por el teorema de Picard-Lindelöf . Si el campo vectorial${\displaystyle X}$no es cero en ninguna parte, entonces define un subfibrado unidimensional del fibrado tangente de${\displaystyle M}$y las curvas integrales forman una foliación regular de${\displaystyle M}$Por lo tanto, los subfibrados unidimensionales siempre son integrables.

Si el subpaquete tiene una dimensión mayor que uno, es necesario imponer una condición. Se dice que un subpaquete${\displaystyle E\subset TM}$del fibrado tangente${\displaystyle TM}$es integrable (o involutiva ) si, para cualesquiera dos campos vectoriales${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$tomando valores en${\displaystyle E}$, el corchete de mentira${\displaystyle [X,Y]}$toma valores en${\displaystyle E}$Asimismo, esta noción de integrabilidad solo necesita definirse localmente; es decir, la existencia de los campos vectoriales.${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$y su integrabilidad solo necesita definirse en subconjuntos de${\displaystyle M}$.

Existen varias definiciones de foliación . Aquí utilizamos la siguiente:

Definición. Una foliación p -dimensional de clase C ^r de una variedad n- dimensional M es una descomposición de M en una unión de subvariedades conexas disjuntas { L _α } _{α∈ A} , llamadas hojas de la foliación, con la siguiente propiedad: Cada punto en M tiene un entorno U y un sistema de coordenadas locales de clase C ^r x =( x ¹ , ⋅⋅⋅, x ⁿ )  : U → R ⁿ tal que para cada hoja L _α , las componentes de U ∩ L _α se describen mediante las ecuaciones x ^{p +1} =constante, ⋅⋅⋅, x ⁿ =constante. Una foliación se denota por${\displaystyle {\mathcal {F}}}$={ L _α } _{α∈ A} . ^{[ 7 ]}

Trivialmente, cualquier foliación de${\displaystyle M}$define un subfibrado integrable, ya que si${\displaystyle p\in M}$y${\displaystyle N\subset M}$es la hoja de la foliación que pasa a través${\displaystyle p}$entonces ${\displaystyle E_{p}=T_{p}N}$es integrable. El teorema de Frobenius afirma que lo contrario también es cierto:

Dadas las definiciones anteriores, el teorema de Frobenius establece que un subfijo${\displaystyle E}$es integrable si y solo si el subpaquete${\displaystyle E}$surge de una foliación regular de${\displaystyle M}$.

Sea U un conjunto abierto en una variedad M , Ω ¹ ( U ) el espacio de 1-formas suaves y diferenciables en U , y F un submódulo de Ω ¹ ( U ) de rango r , siendo el rango constante en valor sobre U. El teorema de Frobenius establece que F es integrable si y solo si para cada p en U el tallo F _p es generado por r formas diferenciales exactas .

Geométricamente, el teorema establece que un módulo integrable de 1- formas de rango r es equivalente a una foliación de codimensión r . La correspondencia con la definición en términos de campos vectoriales dada en la introducción se deriva de la estrecha relación entre las formas diferenciales y las derivadas de Lie . El teorema de Frobenius es una de las herramientas básicas para el estudio de campos vectoriales y foliaciones.

Existen, por lo tanto, dos formas del teorema: una que opera con distribuciones , es decir, subfibrados suaves D del fibrado tangente TM ; y la otra que opera con subfibrados del anillo graduado Ω( M ) de todas las formas en M. Estas dos formas están relacionadas por dualidad. Si D es una distribución tangente suave en M , entonces el anulador de D , I ( D ), consiste en todas las formas.${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M)}$(para cualquier${\displaystyle k\in \{1,\dots ,\operatorname {dim} M\}}$) tal que

${\displaystyle \alpha (v_{1},\dots,v_{k})=0}$

a pesar de${\displaystyle v_{1},\dots,v_{k}\en D}$El conjunto I ( D ) forma un subanillo y, de hecho, un ideal en Ω( M ) . Además, utilizando la definición de la derivada exterior , se puede demostrar que I ( D ) es cerrado bajo diferenciación exterior (es un ideal diferencial ) si y solo si D es involutivo. En consecuencia, el teorema de Frobenius adopta la forma equivalente de que I ( D ) es cerrado bajo diferenciación exterior si y solo si D es integrable.

Una generalización de dimensión infinita es la siguiente. ^{[ 8 ]} Sean X e Y espacios de Banach , y A ⊂ X , B ⊂ Y un par de conjuntos abiertos . Sea

${\displaystyle F:A\times B\to L(X,Y)}$

sea ​​una función continuamente diferenciable del producto cartesiano (que hereda una estructura diferenciable de su inclusión en X × Y ) en el espacio L ( X , Y ) de transformaciones lineales continuas de X en Y . Una aplicación diferenciable u  : A → B es una solución de la ecuación diferencial

${\displaystyle (1)\quad y'=F(x,y)}$

si

${\displaystyle \forall x\in A:\quad u'(x)=F(x,u(x)).}$

La ecuación (1) es completamente integrable si para cada${\displaystyle (x_{0},y_{0})\in A\times B}$, existe un entorno U de x ₀ tal que (1) tiene una solución única u ( x ) definida en U tal que u ( x ₀ )= y ₀ .

Las condiciones del teorema de Frobenius dependen de si el cuerpo subyacente es R o C. Si es R , entonces supongamos que F es continuamente diferenciable. Si es C , entonces supongamos que F es dos veces continuamente diferenciable. Entonces (1) es completamente integrable en cada punto de A × B si y solo si

${\displaystyle D_{1}F(x,y)\cdot (s_{1},s_{2})+D_{2}F(x,y)\cdot (F(x,y)\cdot s_{1},s_{2})=D_{1}F(x,y)\cdot (s_{2},s_{1})+D_{2}F(x,y)\cdot (F(x,y)\cdot s_{2},s_{1})}$

para todo s ₁ , s ₂ ∈ X . Aquí D ₁ (resp. D ₂ ) denota la derivada parcial con respecto a la primera (resp. segunda) variable; el producto escalar denota la acción del operador lineal F ( x , y ) ∈ L ( X , Y ) , así como las acciones de los operadores D ₁ F ( x , y ) ∈ L ( X , L ( X , Y )) y D ₂ F ( x , y ) ∈ L ( Y , L ( X , Y )) .

El enunciado del teorema sigue siendo cierto para 1-formas holomorfas en variedades complejas —variedades sobre C con funciones de transición biholomorfas . ^{[ 10 ]}

Específicamente, si${\displaystyle \omega ^{1},\dots ,\omega ^{r}}$son r 1-formas holomorfas linealmente independientes en un conjunto abierto en C ⁿ tales que

${\displaystyle d\omega ^{j}=\sum _{i=1}^{r}\psi _{i}^{j}\wedge \omega ^{i}}$

para algún sistema de 1-formas holomorfas ψ ^j _i , 1 ≤ i , j ≤ r , entonces existen funciones holomorfas f _i ^j y g ⁱ tales que, en un dominio posiblemente más pequeño,

${\displaystyle \omega ^{j}=\sum _{i=1}^{r}f_{i}^{j}dg^{i}.}$

Este resultado se cumple localmente en el mismo sentido que las otras versiones del teorema de Frobenius. En particular, el hecho de que se haya enunciado para dominios en C ⁿ no es restrictivo.

La afirmación no se generaliza a formas de grado superior, aunque existen varios resultados parciales como el teorema de Darboux y el teorema de Cartan-Kähler .

En la termodinámica clásica , el teorema de Frobenius se puede utilizar para construir la entropía y la temperatura en el formalismo de Carathéodory. ^{[ 1 ] [ 11 ]}

Específicamente, Carathéodory consideró un sistema termodinámico (concretamente, se puede imaginar un pistón de gas) que puede interactuar con el mundo exterior mediante conducción de calor (como incendiar el pistón) o trabajo mecánico (empujar el pistón). Luego definió "proceso adiabático" como cualquier proceso que el sistema puede experimentar sin conducción de calor, y definió una relación de " accesibilidad adiabática " de la siguiente manera: si el sistema puede pasar del estado A al estado B después de un proceso adiabático, entonces${\displaystyle B}$es accesible adiabáticamente desde${\displaystyle A}$Escríbelo como${\displaystyle A\succeq B}$.

Ahora supongamos que

• Para cualquier par de estados${\displaystyle A,B}$, al menos uno de${\displaystyle A\succeq B}$y${\displaystyle B\succeq A}$sostiene.
• Para cualquier estado${\displaystyle A}$y cualquier vecindario de${\displaystyle A}$, existe un estado${\displaystyle B}$en el vecindario, de tal manera que${\displaystyle B}$es adiabáticamente inaccesible desde${\displaystyle A}$.

Entonces, podemos foliar el espacio de estados en subconjuntos de estados que son mutuamente accesibles adiabáticamente. Con supuestos suaves sobre la suavidad de${\displaystyle \succeq }$Cada subconjunto es una variedad de codimensión 1. Llamamos a estas variedades "superficies adiabáticas".

Según la primera ley de la termodinámica , existe una función escalar.${\displaystyle U}$("energía interna") en el espacio de estados, de tal manera que$${\displaystyle dU=\delta W+\delta Q=\sum _{i}X_{i}dx_{i}+\delta Q}$$dónde${\displaystyle X_{1}dx_{1},...,X_{n}dx_{n}}$son las posibles formas de realizar trabajo mecánico en el sistema. Por ejemplo, si el sistema es un tanque de gas ideal, entonces${\displaystyle \delta W=-pdV}$.

Ahora, definamos la 1-forma en el espacio de estados.$${\displaystyle \omega$$ :=dU-\sum _{i}X_{i}dx_{i}} Ahora, dado que las superficies adiabáticas son tangentes a${\displaystyle \omega }$en cada punto del espacio de estados,${\displaystyle \omega }$es integrable, por lo que, según el teorema de Carathéodory, existen dos funciones escalares.${\displaystyle T,S}$en el espacio de estados, de tal manera que${\displaystyle \omega =TdS}$Estas son las funciones de temperatura y entropía, salvo una constante multiplicativa.

Al sustituir las leyes de los gases ideales y observar que la expansión de Joule es un proceso adiabático (irreversible), podemos fijar el signo de${\displaystyle dS}$y descubre que${\displaystyle A\succeq B}$medio${\displaystyle S(A)\leq S(B)}$Es decir, la entropía se conserva en los procesos adiabáticos reversibles y aumenta durante los procesos adiabáticos irreversibles.