Variedad de Frobenius

En el campo matemático de la geometría diferencial , una variedad de Frobenius , introducida por Dubrovin , ^{[ 1 ]} es una variedad riemanniana plana con una cierta estructura multiplicativa compatible en el espacio tangente . El concepto generaliza la noción de álgebra de Frobenius a fibrados tangentes.

Las variedades de Frobenius aparecen de forma natural en el campo de la topología simpléctica , más concretamente en la cohomología cuántica . La definición más amplia se encuentra en la categoría de supervariedades riemannianas . Aquí limitaremos la discusión a variedades lisas (reales). También es posible restringirla a variedades complejas.

Sea M una variedad diferenciable. Una estructura plana afín en M es un haz T ^f de espacios vectoriales que generan puntualmente TM el fibrado tangente y el corchete tangente de pares de sus secciones se anula.

Como ejemplo local, consideremos los campos vectoriales de coordenadas sobre una carta de M. Una variedad admite una estructura plana afín si se pueden unir dichos campos vectoriales para formar una familia de cartas que la cubra.

Además, sea dada una métrica riemanniana g en M. Es compatible con la estructura plana si g ( X , Y ) es localmente constante para todos los campos vectoriales planos X e Y .  

Una variedad riemanniana admite una estructura plana afín compatible si y solo si su tensor de curvatura se anula en todas partes.

Una familia de productos conmutativos * en TM es equivalente a una sección A de S ² (T ^* M )  ⊗ TM mediante 

${\displaystyle X*Y=A(X,Y).\,}$

Además, requerimos la propiedad.

${\displaystyle g(X*Y,Z)=g(X,Y*Z).\,}$

Por lo tanto, la composición g ^# ∘ A es un 3-tensor simétrico.

Dado ( g , T ^f , A ), un potencial local Φ es una función suave local tal que  

${\displaystyle g(A(X,Y),Z)=X[Y[Z[\Phi ]]]\,}$

para todos los campos vectoriales planos X , Y y Z. 

Una variedad de Frobenius ( M , g , *) es ahora una variedad riemanniana plana ( M , g ) con un 3-tensor simétrico A que admite en todas partes un potencial local y es asociativa. De ello se deduce, en particular, que una variedad de Frobenius lineal ( M , g , *) con producto constante es un álgebra de Frobenius M .     

La asociatividad del producto * es equivalente a la siguiente EDP cuadrática en el potencial local Φ

${\displaystyle \Phi _{,abe}g^{ef}\Phi _{,cdf}=\Phi _{,ade}g^{ef}\Phi _{,bcf}\,}$

donde se implica la convención de suma de Einstein, Φ _,a denota la derivada parcial de la función Φ por el campo vectorial de coordenadas ∂/∂ x ^a que se suponen planos. g ^ef son los coeficientes de la inversa de la métrica.

Por lo tanto, la ecuación se llama ecuación de asociatividad o ecuación de Witten-Dijkgraaf-Verlinde-Verlinde (WDVV).

Además de las álgebras de Frobenius, surgen ejemplos de la cohomología cuántica. En concreto, dada una variedad simpléctica semipositiva ( M , ω ), existe un entorno abierto U de 0 en su cohomología cuántica par QH ^par ( M , ω ) con anillo de Novikov sobre C tal que el gran producto cuántico * _a para a en U es analítico. Ahora bien, U junto con la forma de intersección g = < ·,· > es una variedad de Frobenius (compleja).    

La segunda gran clase de ejemplos de variedades de Frobenius proviene de la teoría de singularidades. En concreto, el espacio de deformaciones miniversales de una singularidad aislada posee una estructura de variedad de Frobenius. Esta estructura también se relaciona con las formas primitivas de Kyoji Saito .

2. Yu.I. Manin, SA Merkulov: Variedades (super) de Frobenius semisimples y cohomología cuántica de P ^r , Topol. Methods in Nonlinear Analysis 9 (1997), pp.  107–161