Lema de Frostman

El lema de Frostman proporciona una herramienta conveniente para estimar la dimensión de Hausdorff de conjuntos en matemáticas , y más específicamente, en la teoría de las dimensiones fractales . ^{[ 1 ]}

Lema: Sea A un subconjunto de Borel de R ⁿ , y sea s  >  0. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

• H ^s ( A )  >  0, donde H ^s denota la medida de Hausdorff s -dimensional .
• Existe una medida de Borel (sin signo) μ en R ⁿ que satisface μ ( A )  >  0, y tal que

${\displaystyle \mu (B(x,r))\leq r^{s}}$

se cumple para todo x ∈ R ⁿ y r >0.  

Otto Frostman demostró este lema para conjuntos cerrados A como parte de su tesis doctoral en la Universidad de Lund en 1935. La generalización a conjuntos de Borel es más compleja y requiere la teoría de conjuntos de Suslin . ^{[ 2 ]}

Un corolario útil del lema de Frostman requiere las nociones de la s- capacidad de un conjunto de Borel A ⊂ R ⁿ , que se define por  

${\displaystyle C_{s}(A):=\sup {\Bigl \{}{\Bigl (}\int _{A\times A}{\frac {d\mu (x)\,d\mu (y)}{|xy|^{s}}}{\Bigr )}^{-1}:\mu {\text{ es una medida de Borel y }}\mu (A)=1{\Bigr \}}.}$

(Aquí, tomamos inf ∅ = ∞ y 1 ⁄ ∞ = 0. Como antes, la medida     ${\displaystyle \mu }$(no tiene signo). Del lema de Frostman se deduce que para Borel A ⊂ R ⁿ  

${\displaystyle \mathrm {dim} _{H}(A)=\sup\{s\geq 0:C_{s}(A)>0\}.}$

• Ilustrando las medidas de Frostman

• Mattila, Pertti (1995), Geometría de conjuntos y medidas en espacios euclidianos , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol.  44, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-65595-8, MR 1333890