álgebra de funciones de Banach

En análisis funcional , un álgebra de funciones de Banach en un espacio compacto de Hausdorff X es una subálgebra unitaria , A , del álgebra conmutativa C*-C (X) de todas las funciones continuas con valores complejos de X , junto con una norma en A que la convierte en un álgebra de Banach .

Se dice que un álgebra de funciones se anula en un punto p si f ( p ) = 0 para todo${\displaystyle f\in A}$. Un álgebra de funciones separa puntos si para cada par distinto de puntos${\displaystyle p,q\in X}$, hay una función${\displaystyle f\in A}$de tal manera que${\displaystyle f(p)\neq f(q)}$.

Por cada${\displaystyle x\in X}$definir${\displaystyle \varepsilon _{x}(f)=f(x),}$para${\displaystyle f\in A}$. Entonces${\ Displaystyle \ varepsilon _ {x}}$ es un homomorfismo (carácter) en${\displaystyle A}$, distinto de cero si${\displaystyle A}$no desaparece en${\displaystyle x}$.

Teorema: Un álgebra de funciones de Banach es semisimple (es decir, su radical de Jacobson es igual a cero) y cada álgebra de Banach conmutativa unitaria y semisimple es isomorfa (a través de la transformación de Gelfand ) a un álgebra de funciones de Banach en su espacio de caracteres (el espacio de homomorfismos de álgebras de A en los números complejos dada la topología débil* relativa ).

Si la norma en${\displaystyle A}$es la norma uniforme (o norma suprema) en${\displaystyle X}$, entonces${\displaystyle A}$Se denomina álgebra uniforme . Las álgebras uniformes son un caso especial importante de las álgebras de funciones de Banach.

• Andrew Browder (1969) Introducción a las álgebras de funciones , WA Benjamin
• HG Dales (2000) Álgebras de Banach y continuidad automática , Monografías de la Sociedad Matemática de Londres 24, Clarendon Press ISBN 0-19-850013-0
• Graham Allan y H. Garth Dales (2011) Introducción a los espacios de Banach y las álgebras , Oxford University Press ISBN 978-0-19-920654-4