Conjunto separador

En matemáticas , un conjunto de funciones con dominio se denomina conjunto separador para y se dice que separa los puntos de (o simplemente separa los puntos ) si para dos elementos distintos y de existe una función tal que ^[1]${\estilo de visualización S}$ ${\estilo de visualización D}$${\estilo de visualización D}$${\estilo de visualización D}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$${\estilo de visualización D,}$${\displaystyle f\en S}$${\displaystyle f(x)\neq f(y).}$

Los conjuntos separadores se pueden utilizar para formular una versión del teorema de Stone-Weierstrass para funciones de valores reales en un espacio de Hausdorff compacto con la topología de convergencia uniforme . Establece que cualquier subálgebra de este espacio de funciones es densa si y solo si separa puntos. Esta es la versión del teorema que demostró originalmente Marshall H. Stone . ^[1]${\estilo de visualización X,}$

• El conjunto singleton que consiste en la función identidad en separa los puntos de${\displaystyle \mathbb {R}}$${\displaystyle \mathbb {R} .}$
• Si es un espacio topológico normal T1 , entonces el lema de Urysohn establece que el conjunto de funciones continuas en con valores reales (o complejos ) separa puntos en${\estilo de visualización X}$ ${\estilo de visualización C(X)}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X.}$
• Si es un espacio vectorial topológico de Hausdorff localmente convexo sobre o entonces el teorema de separación de Hahn-Banach implica que los funcionales lineales continuos están en puntos separados.${\estilo de visualización X}$${\displaystyle \mathbb {R}}$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\estilo de visualización X}$

• Sistema dual