Functor

En matemáticas , específicamente en teoría de categorías , un functor es una aplicación entre categorías . Los functores se consideraron por primera vez en topología algebraica , donde los objetos algebraicos (como el grupo fundamental ) se asocian a espacios topológicos , y las aplicaciones entre estos objetos algebraicos se asocian a aplicaciones continuas entre espacios. Hoy en día, los functores se utilizan en toda la matemática moderna para relacionar diversas categorías. Por lo tanto, los functores son importantes en todas las áreas de las matemáticas donde se aplica la teoría de categorías .

Las palabras categoría y functor fueron tomadas prestadas por los matemáticos de los filósofos Aristóteles y Rudolf Carnap , respectivamente. ^{[ 1 ]} Este último usó functor en un contexto lingüístico ; ^{[ 2 ]} véase palabra función .

Definición

{\displaystyle F} — Functor $F$ debe preservar la composición de los morfismos $g$ y $f$

Sean C y D categorías . Un functor F de C a D es una ^aplicación que: [ ³^]

asocia cada objeto $X$ en C a un objeto $F(X)$ en D ,
asocia cada morfismo $f\colon X\to Y$ $f\colon X\to Y$ en C a un morfismo $F(f)\colon F(X)\to F(Y)$ $F(f)\colon F(X)\to F(Y)$ en D de tal manera que se cumplan las dos condiciones siguientes:
- $F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!$ para cada objeto $X$ Cª ,
- $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$ para todos los morfismos $f\colon X\to Y\,\!$ y $g\colon Y\to Z$ Cª .

Es decir, los functores deben preservar los morfismos identidad y la composición de morfismos.

Covarianza y contravarianza

En matemáticas existen muchas construcciones que serían functores, salvo por el hecho de que "invierten los morfismos" y "revierten la composición". Definimos entonces un functor contravariante F de C a D como una aplicación que

asocia cada objeto $X$ en C con un objeto $F(X)$ en D ,
asocia cada morfismo $f\colon X\to Y$ $f\colon X\to Y$ en C con un morfismo $F(f)\colon F(Y)\to F(X)$ $F(f)\colon F(Y)\to F(X)$ en D de tal manera que se cumplan las dos condiciones siguientes:
- $F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!$ para cada objeto $X$ Cª ,
- $F(g\circ f)=F(f)\circ F(g)$ para todos los morfismos $f\colon X\to Y$ y $g\colon Y\to Z$ Cª .

Varianza del functor (compuesto) ^{[ 4 ]}

La composición de dos functores de la misma varianza:
- $\mathrm {Covariante} \circ \mathrm {Covariante} \to \mathrm {Covariante}$
- $\mathrm {Contravariante} \circ \mathrm {Contravariante} \to \mathrm {Covariante}$
La composición de dos functores de varianza opuesta:
- $\mathrm {Covariante} \circ \mathrm {Contravariante} \to \mathrm {Contravariante}$
- $\mathrm {Contravariante} \circ \mathrm {Covariante} \to \mathrm {Contravariante}$

Nótese que los functores contravariantes invierten la dirección de la composición.

Los functores ordinarios también se denominan functores covariantes para distinguirlos de los contravariantes. Cabe señalar que también se puede definir un functor contravariante como un functor covariante en la categoría opuesta. $C^{\mathrm {op} }$ . ^{[ 5 ]} Algunos autores prefieren escribir todas las expresiones de forma covariante. Es decir, en lugar de decir $F\colon C\to D$ es un functor contravariante, simplemente escriben $F\colon C^{\mathrm {op} }\to D$ (o a veces) $F\colon C\to D^{\mathrm {op} }$ ) y lo llamamos functor.

Los functores contravariantes también se denominan ocasionalmente cofunctores . ^{[ 6 ]}

Existe una convención que se refiere a "vectores" —es decir, campos vectoriales— elementos del espacio de secciones. $\Gamma (TM)$ de un fibrado tangente $TM$ —como "contravariantes" y a "covectores"—es decir, 1-formas , elementos del espacio de secciones $\Gamma {\mathord {\left(T^{*}M\right)}}$ de un haz cotangente $T^{*}M$ —como "covariante". Esta terminología tiene su origen en la física, y su fundamento tiene que ver con la posición de los índices ("arriba" y "abajo") en expresiones como ${x'}^{\,i}=\Lambda _{j}^{i}x^{j}$ para $\mathbf {x} '={\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {x}$ o $\omega '_{i}=\Lambda _{i}^{j}\omega _{j}$ para ${\boldsymbol {\omega }}'={\boldsymbol {\omega }}{\boldsymbol {\Lambda }}^{\textsf {T}}.$ En este formalismo se observa que el símbolo de transformación de coordenadas $\Lambda _ {i}^{j}$ (que representa la matriz ${\boldsymbol {\Lambda }}^{\textsf {T}}$ ) actúa sobre las "coordenadas del covector" "de la misma manera" que sobre los vectores base: $\mathbf {e} _{i}=\Lambda _{i}^{j}\mathbf {e} _{j}$ —mientras que actúa "de forma opuesta" sobre las "coordenadas vectoriales" (pero "de la misma manera" que sobre los covectores base): $\mathbf {e} ^{i}=\Lambda _ {j}^{i}\mathbf {e} ^{j}$ Esta terminología es contraria a la utilizada en la teoría de categorías porque son los covectores los que tienen retrocesos en general y, por lo tanto, son contravariantes , mientras que los vectores en general son covariantes ya que pueden proyectarse hacia adelante . Véase también Covarianza y contravarianza de vectores .

functor opuesto

Cada functor $F\colon C\to D$ induce el functor opuesto $F^{\mathrm {op} }\dos puntos C^{\mathrm {op} }\to D^{\mathrm {op} }$ , dónde $C^{\mathrm {op} }$ y $D^{\mathrm {op} }$ son las categorías opuestas a $C$ y $D$ . ^{[ 7 ]} Por definición, $F^{\mathrm {op} }$ mapea objetos y morfismos de la misma manera que lo hace $F$ . Desde $C^{\mathrm {op} }$ no coincide con $C$ como categoría, y de manera similar para $D$ , $F^{\mathrm {op} }$ se distingue de $F$ . Por ejemplo, al componer $F\colon C_{0}\to C_{1}$ con $G\colon C_{1}^{\mathrm {op} }\to C_{2}$ , uno debería usar cualquiera $G\circ F^{\mathrm {op} }$ o $G^{\mathrm {op} }\circ F$ . Nótese que, siguiendo la propiedad de categoría opuesta , $\left(F^{\mathrm {op} }\right)^{\mathrm {op} }=F$ .

Bifuntores y multifuntores

Un bifunctor (también conocido como functor binario ) es un functor cuyo dominio es una categoría producto . Por ejemplo, el functor Hom es del tipo C ^op × C → Set . Puede considerarse un functor con dos argumentos; es contravariante con un argumento y covariante con el otro.

Un multifunctor es una generalización del concepto de functor a n variables. Así, por ejemplo, un bifunctor es un multifunctor con n = 2 .

Propiedades

Dos consecuencias importantes de los axiomas de functor son:

F transforma cada diagrama conmutativo en C en un diagrama conmutativo en D ;
Si f es un isomorfismo en C , entonces F ( f ) es un isomorfismo en D.

Se pueden componer functores; es decir, si F es un functor de A a B y G es un functor de B a C , entonces se puede formar el functor compuesto G ∘ F de A a C. La composición de functores es asociativa donde se define. La identidad de la composición de functores es el functor identidad. Esto demuestra que los functores pueden considerarse como morfismos en categorías de categorías, por ejemplo, en la categoría de categorías pequeñas .

Una categoría pequeña con un solo objeto es equivalente a un monoide : los morfismos de una categoría con un solo objeto pueden considerarse elementos del monoide, y la composición en la categoría se concibe como la operación del monoide. Los functores entre categorías con un solo objeto corresponden a homomorfismos de monoides . Así pues, en cierto sentido, los functores entre categorías arbitrarias constituyen una generalización de los homomorfismos de monoides a categorías con más de un objeto.

Ejemplos

Diagrama: Para las categorías C y J , un diagrama de tipo J en C es un functor covariante. $D\colon J\to C$ .
(Categoría teórica) prefaja: Para las categorías C y J , un prehaz J en C es un functor contravariante. $D\colon C\to J$ .
En el caso especial en que J es Set , la categoría de conjuntos y funciones, D se denomina prefaisceato en C.
Prehaces (sobre un espacio topológico): Si X es un espacio topológico , entonces los conjuntos abiertos en X forman un conjunto parcialmente ordenado Open( X ) bajo la inclusión. Como todo conjunto parcialmente ordenado, Open( X ) forma una categoría pequeña añadiendo una sola flecha U → V si y solo si $U\subseteq V$ Los functores contravariantes en Open( X ) se denominan prehaces en X. Por ejemplo, al asignar a cada conjunto abierto U el álgebra asociativa de funciones continuas de valor real en U , se obtiene un prehaz de álgebras en X.
functor constante: El functor C → D asigna a cada objeto de C un objeto fijo X en D y a cada morfismo de C el morfismo identidad en X. Dicho functor se denomina functor constante o de selección .

Endofunctor: Un functor que asigna una categoría a esa misma categoría; por ejemplo, un functor polinomial .

functor identidad: En la categoría C , escrita como 1 _C o id _C , se mapea un objeto a sí mismo y un morfismo a sí mismo. El functor identidad es un endofunctor.
functor diagonal: El functor diagonal se define como el functor de D a la categoría de functores D ^C que envía cada objeto en D al functor constante en ese objeto.
functor límite: Para una categoría de índice fijo J , si todo functor J → C tiene un límite (por ejemplo, si C es completo), entonces el functor límite C ^J → C asigna a cada functor su límite. La existencia de este functor se puede demostrar al observar que es el adjunto derecho del functor diagonal e invocar el teorema del functor adjunto de Freyd . Esto requiere una versión adecuada del axioma de elección . Observaciones similares se aplican al functor colímite (que asigna a cada functor su colímite y es covariante).
functor de conjuntos de potencia: El functor de conjunto potencia P : Set → Set asigna a cada conjunto su conjunto potencia y a cada función $f\colon X\to Y$ al mapa que envía $U\in {\mathcal {P}}(X)$ a su imagen $f(U)\in {\mathcal {P}}(Y)$ . También se puede considerar el functor de conjunto de potencias contravariante que envía $f\colon X\to Y$ al mapa que envía $V\subseteq Y$ a su imagen inversa $f^{-1}(V)\subseteq X.$
Por ejemplo, si $X=\{0,1\}$ entonces $F(X)={\mathcal {P}}(X)=\{\{\},\{0\},\{1\},X\}$ . Suponer $f(0)=\{\}$ y $f(1)=X$ . Entonces $F(f)$ es la función que envía cualquier subconjunto $U$ de $X$ a su imagen $f(U)$ , lo que en este caso significa $\{\}\mapsto f(\{\})=\{\}$ , dónde $\mapsto$ denota el mapeo bajo $F(f)$ , por lo que esto también podría escribirse como $(F(f))(\{\})=\{\}$ . Para los demás valores, $\{0\}\mapsto f(\{0\})=\{f(0)\}=\{\{\}\},\$ $\{1\}\mapsto f(\{1\})=\{f(1)\}=\{X\},\$ $\{0,1\}\mapsto f(\{0,1\})=\{f(0),f(1)\}=\{\{\},X\}.$ Tenga en cuenta que $f(\{0,1\})$ en consecuencia genera la topología trivial en $X$ . Tenga en cuenta también que, aunque la función $f$ en este ejemplo se asigna al conjunto potencia de $X$ , eso no tiene por qué ser así en general.
Espacio vectorial dual: La aplicación que asigna a cada espacio vectorial su espacio dual y a cada aplicación lineal su dual o transpuesta es un functor contravariante de la categoría de todos los espacios vectoriales sobre un cuerpo fijo a sí misma.
Grupo fundamental: Consideremos la categoría de espacios topológicos con puntos _{, es decir}_, espacios topológicos con puntos distinguidos. Los objetos son pares ( X , x0 ) , donde X es un espacio topológico y x0 es un punto en X. Un morfismo de ( X , x0 ) _a ( Y , y0 ₎ viene dado por _una aplicación continua f : X → Y con f ( x0 ) = y0 _.
Para cada espacio topológico X con punto distinguido x ₀ , se puede definir el grupo fundamental basado en x ₀ , denotado π ₁ ( X , x ₀ ) . Este es el grupo de clases de homotopía de lazos basados en x ₀ , con la operación de grupo de concatenación. Si f : X → Y es un morfismo de espacios con punto base , entonces cada lazo en X con punto base x ₀ puede componerse con f para producir un lazo en Y con punto base y ₀ . Esta operación es compatible con la relación de equivalencia de homotopía y la composición de lazos, y obtenemos un homomorfismo de grupo de π( X , x ₀ ) a π( Y , y ₀ ) . Obtenemos así un functor de la categoría de espacios topológicos con punto base a la categoría de grupos .
En la categoría de espacios topológicos (sin punto distinguido), se consideran clases de homotopía de curvas genéricas, pero estas no pueden componerse a menos que compartan un extremo. Por lo tanto, se tiene el grupoide fundamental en lugar del grupo fundamental, y esta construcción es funtorial.
Álgebra de funciones continuas: Un functor contravariante de la categoría de espacios topológicos (con aplicaciones continuas como morfismos) a la categoría de álgebras asociativas reales se da asignando a cada espacio topológico X el álgebra C( X ) de todas las funciones continuas de valor real en ese espacio. Toda aplicación continua f : X → Y induce un homomorfismo de álgebras C( f ) : C( Y ) → C( X ) por la regla C( f )( φ ) = φ ∘ f para todo φ en C( Y ).
Fibrados tangente y cotangente: El mapa que envía toda variedad diferenciable a su fibrado tangente y toda aplicación suave a su derivada es un functor covariante de la categoría de variedades diferenciables a la categoría de fibrados vectoriales .
Al realizar estas construcciones punto por punto, se obtiene el espacio tangente , un functor covariante de la categoría de variedades diferenciables puntuales a la categoría de espacios vectoriales reales. De igual modo, el espacio cotangente es un functor contravariante, esencialmente la composición del espacio tangente con el espacio dual mencionado anteriormente.
acciones/representaciones de grupo: Todo grupo G puede considerarse como una categoría con un único objeto cuyos morfismos son los elementos de G. Un functor de G a Set no es más que una acción de grupo de G sobre un conjunto particular, es decir, un G -conjunto. Del mismo modo, un functor de G a la categoría de espacios vectoriales , Vect _K , es una representación lineal de G. En general, un functor G → C puede considerarse como una "acción" de G sobre un objeto de la categoría C. Si C es un grupo, entonces esta acción es un homomorfismo de grupo.
álgebras de Lie: Asignar a cada grupo de Lie real (complejo) su álgebra de Lie real (compleja) define un functor.
productos tensoriales: Si C denota la categoría de espacios vectoriales sobre un cuerpo fijo, con aplicaciones lineales como morfismos, entonces el producto tensorial $V\otimes W$ define un functor C × C → C que es covariante en ambos argumentos. ^{[ 8 ]}
functores olvidadizos: El functor U : Grp → Set que asigna un grupo a su conjunto subyacente y un homomorfismo de grupos a su función subyacente de conjuntos es un functor. ^{[ 9 ]} Los functores como estos, que "olvidan" alguna estructura, se denominan functores olvidadizos . Otro ejemplo es el functor Rng → Ab que asigna un anillo a su grupo abeliano aditivo subyacente . Los morfismos en Rng ( homomorfismos de anillos ) se convierten en morfismos en Ab (homomorfismos de grupos abelianos).
functores libres: En dirección opuesta a los functores olvidadizos se encuentran los functores libres. El functor libre F : Set → Grp envía cada conjunto X al grupo libre generado por X. Las funciones se mapean a homomorfismos de grupo entre grupos libres. Existen construcciones libres para muchas categorías basadas en conjuntos estructurados. Véase objeto libre .
Grupos de homomorfismo: A cada par A , B de grupos abelianos se le puede asignar el grupo abeliano Hom( A , B ) que consta de todos los homomorfismos de grupo de A a B . Este es un functor que es contravariante en el primer argumento y covariante en el segundo, es decir, es un functor Ab ^op × Ab → Ab (donde Ab denota la categoría de grupos abelianos con homomorfismos de grupo). Si f : A ₁ → A ₂ y g : B ₁ → B ₂ son morfismos en Ab , entonces el homomorfismo de grupo Hom( f , g ) : Hom( A ₂ , B ₁ ) → Hom( A ₁ , B ₂ ) viene dado por φ ↦ g ∘ φ ∘ f . Véase el functor Hom .
functores representables: Podemos generalizar el ejemplo anterior a cualquier categoría C. A cada par X , Y de objetos en C se le puede asignar el conjunto Hom( X , Y ) de morfismos de X a Y. Esto define un functor a Set que es contravariante en el primer argumento y covariante en el segundo , _{es decir}_, es un functor C ^op × C → Set . Si f : X1 → X2 y g : _Y1 → Y2 son morfismos en _C , entonces el mapa Hom( f , g ) : Hom ( X2 _,Y1 ₎ → Hom( X1, Y2 ) viene _dado por φ _↦g ∘ φ ∘ f .
Los functores de este tipo se denominan functores representables . Un objetivo importante en muchos contextos es determinar si un functor dado es representable.

Relación con otros conceptos categóricos

Sean C y D categorías. El conjunto de todos los functores de C a D forma los objetos de una categoría: la categoría de functores . Los morfismos en esta categoría son transformaciones naturales entre functores.

Los functores suelen definirse mediante propiedades universales ; ejemplos de ello son el producto tensorial , la suma directa y el producto directo de grupos o espacios vectoriales, la construcción de grupos libres y módulos, y los límites directo e inverso . Los conceptos de límite y colímite generalizan varios de los anteriores.

Las construcciones universales suelen dar lugar a pares de functores adjuntos .

Implementaciones informáticas

Los functores aparecen a veces en la programación funcional . Por ejemplo, el lenguaje de programación Haskell tiene una claseFunctor donde fmapes una función politípica que se utiliza para mapear funciones ( morfismos en Hask , la categoría de tipos de Haskell) ^{[ 10 ]} entre tipos existentes a funciones entre algunos tipos nuevos. ^{[ 11 ]}

Véase también

Notas

↑ Mac Lane, Saunders (1971), Categories for the Working Mathematician , Nueva York: Springer-Verlag, pág. 30, ISBN 978-3-540-90035-1
↑ Carnap, Rudolf (1937). La sintaxis lógica del lenguaje , Routledge & Kegan, pp. 13–14.
↑ Jacobson (2009) , pág. 19, def. 1.2.
↑ Simmons (2011) , Ejercicio 3.1.4.
↑ Jacobson (2009) , págs. 19–20.
^ Popescu, Nicolae; Popescu, Liliana (1979). Teoría de las categorías . Dordrecht: Springer. pag. 12.ISBN 9789400995505Consultado el 23 de abril de 2016 .
↑ Mac Lane, Saunders ; Moerdijk, Ieke (1992), Haz en geometría y lógica: una primera introducción a la teoría del topos , Springer, ISBN 978-0-387-97710-2
↑ Hazewinkel, Michiel ; Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna ; Gubareni, Nadiya ; Kirichenko, Vladimir V. (2004), Álgebras, anillos y módulos , Springer, ISBN 978-1-4020-2690-4
↑ Jacobson (2009) , pág. 20, ej. 2.
↑ No está del todo claro que los tipos de datos de Haskell constituyan realmente una categoría.Para más detalles, consulte https://wiki.haskell.org/Hask .
↑ Consulte https://wiki.haskell.org/Category_theory/Functor#Functors_in_Haskell para obtener más información.

Referencias

Jacobson, Nathan (2009), Álgebra básica , vol. 2 (2.ª ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47187-7.
Simmons, Harold (2011), "Functors and natural transformations", An Introduction to Category Theory , pp. 72–107 , doi : 10.1017/CBO9780511863226.004 , ISBN 978-1-107-01087-1

Enlaces externos

"Functor" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
Consulte el functor en el Laboratorio n y las variaciones que se discuten y enlazan allí.
André Joyal , CatLab , un proyecto wiki dedicado a la exposición de las matemáticas categóricas.
Hillman, Chris (2001). "Una introducción a las categorías" . CiteSeerX 10.1.1.24.3264 . Archivado del original el 3 de mayo de 1997.
J. Adamek, H. Herrlich, G. Stecker, Categorías abstractas y concretas: La alegría de los gatos. Archivado el 21 de abril de 2015 en Wayback Machine.
Enciclopedia de Filosofía de Stanford : " Teoría de categorías " — por Jean-Pierre Marquis. Amplia bibliografía.
Lista de conferencias académicas sobre teoría de categorías.
Baez, John, 1996," El cuento de las n -categorías. " Una introducción informal a las categorías de orden superior.
WildCats es un paquete de teoría de categorías para Mathematica . Manipulación y visualización de objetos, morfismos , categorías, functores, transformaciones naturales , propiedades universales .
The Catsters , un canal de YouTube sobre teoría de categorías.
Archivo de vídeo con grabaciones de charlas relevantes para las categorías, la lógica y los fundamentos de la física.
Página web interactiva que genera ejemplos de construcciones categóricas en la categoría de conjuntos finitos.

[1] Mac Lane, Saunders (1971), Categories for the Working Mathematician , Nueva York: Springer-Verlag, pág. 30, ISBN 978-3-540-90035-1

[2] Carnap, Rudolf (1937). La sintaxis lógica del lenguaje , Routledge & Kegan, pp. 13–14.

[FOOTNOTEJacobson2009p._19,_def._1.2-3] Jacobson (2009) , pág. 19, def. 1.2.

[FOOTNOTESimmons2011Exercise_3.1.4-4] Simmons (2011) , Ejercicio 3.1.4.

[FOOTNOTEJacobson200919–20-5] Jacobson (2009) , págs. 19–20.

[Popescu1979-6] Popescu, Nicolae; Popescu, Liliana (1979). Teoría de las categorías . Dordrecht: Springer. pag. 12.ISBN 9789400995505Consultado el 23 de abril de 2016 .

[7] Mac Lane, Saunders ; Moerdijk, Ieke (1992), Haz en geometría y lógica: una primera introducción a la teoría del topos , Springer, ISBN 978-0-387-97710-2

[8] Hazewinkel, Michiel ; Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna ; Gubareni, Nadiya ; Kirichenko, Vladimir V. (2004), Álgebras, anillos y módulos , Springer, ISBN 978-1-4020-2690-4

[FOOTNOTEJacobson2009p._20,_ex._2-9] Jacobson (2009) , pág. 20, ej. 2.

[10] No está del todo claro que los tipos de datos de Haskell constituyan realmente una categoría.Para más detalles, consulte https://wiki.haskell.org/Hask .

[11] Consulte https://wiki.haskell.org/Category_theory/Functor#Functors_in_Haskell para obtener más información.

[ 1 ]

[ 2 ]

aplicación

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]