Discriminante

Cuando el polinomio anterior se define sobre un cuerpo , tiene n raíces,${\displaystyle r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}}$, no necesariamente todos distintos, en cualquier extensión algebraicamente cerrada del cuerpo. (Si los coeficientes son números reales, las raíces pueden tomarse en el cuerpo de los números complejos , donde se aplica el teorema fundamental del álgebra ).

En términos de las raíces, el discriminante es igual a

${\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(A)=a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}(r_{i}-r_{j})^{2}=(-1)^{n(n-1)/2}a_{n}^{2n-2}\prod _{i\neq j}(r_{i}-r_{j}).}$

Es, por lo tanto, el cuadrado del polinomio de Vandermonde por${\displaystyle a_{n}^{2n-2}}$.

Esta expresión para el discriminante se suele tomar como definición. Deja claro que si el polinomio tiene una raíz múltiple , entonces su discriminante es cero, y que, en el caso de coeficientes reales, si todas las raíces son reales y simples , entonces el discriminante es positivo. A diferencia de la definición anterior, esta expresión no es obviamente un polinomio en los coeficientes, pero esto se deduce del teorema fundamental de la teoría de Galois , o del teorema fundamental de los polinomios simétricos y las fórmulas de Vieta, al observar que esta expresión es un polinomio simétrico en las raíces de A.

El polinomio cuadrático${\displaystyle ax^{2}+bx+c\,}$tiene discriminante

${\displaystyle b^{2}-4ac\,.}$

La raíz cuadrada del discriminante aparece en la fórmula cuadrática para las raíces del polinomio cuadrático:

${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$

donde el discriminante es cero si y solo si las dos raíces son iguales. Si a , b , c son números reales, el polinomio tiene dos raíces reales distintas si el discriminante es positivo, y dos raíces complejas conjugadas si es negativo. ^{[ 6 ]}

El discriminante es el producto de a² y el ^cuadrado de la diferencia de las raíces.

Si a , b , c son números racionales , entonces el discriminante es el cuadrado de un número racional si y solo si las dos raíces son números racionales.

El polinomio cúbico${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,}$tiene discriminante

${\displaystyle b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd\,.}$^{[ 7 ] [ 8 ]}

En el caso especial de un polinomio cúbico deprimido${\displaystyle x^{3}+px+q}$, el discriminante se simplifica a

${\displaystyle -4p^{3}-27q^{2}\,.}$

El discriminante es cero si y solo si al menos dos raíces son iguales. Si los coeficientes son números reales y el discriminante no es cero, el discriminante es positivo si las raíces son tres números reales distintos, y negativo si hay una raíz real y dos raíces complejas conjugadas. ^{[ 9 ]}

La raíz cuadrada de una cantidad fuertemente relacionada con el discriminante aparece en las fórmulas para las raíces de un polinomio cúbico . Específicamente, esta cantidad puede ser −3 veces el discriminante, o su producto con el cuadrado de un número racional; por ejemplo, el cuadrado de 1/18 en el caso de la fórmula de Cardano .

Si el polinomio es irreducible y sus coeficientes son números racionales (o pertenecen a un cuerpo numérico ), entonces el discriminante es un cuadrado de un número racional (o un número del cuerpo numérico) si y solo si el grupo de Galois de la ecuación cúbica es el grupo cíclico de orden tres.

El polinomio cuártico${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e\,}$ tiene discriminante

${\displaystyle {\begin{aligned}&256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e\\[4pt]&\quad -27a^{2}d^{4}+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de\\[4pt]&\quad +18abcd^{3}+16ac^{4}e-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{3}cde\\[4pt]&\quad -4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}.\end{aligned}}}$

El polinomio cuártico deprimido ${\displaystyle x^{4}+cx^{2}+dx+e\,}$ tiene discriminante

${\displaystyle {\begin{aligned}{}&16c^{4}e-4c^{3}d^{2}-128c^{2}e^{2}+144cd^{2}e-27d^{4}+256e^{3}.\end{aligned}}}$

El discriminante es cero si y solo si al menos dos raíces son iguales. Si los coeficientes son números reales y el discriminante es negativo, entonces hay dos raíces reales y dos raíces complejas conjugadas. Por el contrario, si el discriminante es positivo, entonces las raíces son todas reales o todas no reales.

El discriminante de un polinomio sobre un cuerpo es cero si y solo si el polinomio tiene una raíz múltiple en alguna extensión del cuerpo .

El discriminante de un polinomio sobre un dominio de integridad es cero si y solo si el polinomio y su derivada tienen un divisor común no constante.

En característica 0, esto equivale a decir que el polinomio no es libre de cuadrados (es decir, es divisible por el cuadrado de un polinomio no constante).

En característica no nula p , el discriminante es cero si y solo si el polinomio no es libre de cuadrados o tiene un factor irreducible que no es separable (es decir, el factor irreducible es un polinomio en${\displaystyle x^{p}}$).

El discriminante de un polinomio es, salvo un factor de escala, invariante bajo cualquier transformación proyectiva de la variable. Como una transformación proyectiva puede descomponerse en un producto de traslaciones, homotecias e inversiones, esto da como resultado las siguientes fórmulas para transformaciones más simples, donde P ( x ) denota un polinomio de grado n , con${\displaystyle a_{n}}$como coeficiente principal.

• Invariancia por traslación :

${\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(P(x+\alpha ))=\operatorname {Disc} _{x}(P(x))}$

Esto resulta de la expresión del discriminante en términos de las raíces

• Invariancia por homotecia :

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Disc} _{x}(P(\alpha x))&=\alpha ^{n(n-1)}\operatorname {Disc} _{x}(P(x))\\\operatorname {Disc} _{x}(\alpha P(x))&=\alpha ^{2n-2}\operatorname {Disc} _{x}(P(x))\end{aligned}}}$

Esto resulta de la expresión en términos de las raíces, o de la cuasi-homogeneidad del discriminante.

• Invariancia por inversión : El polinomio recíproco de${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+\cdots +a_{0}}$con ${\displaystyle a_{0}\neq 0}$ es:

${\displaystyle P^{\mathrm {r} }\!\!\;(x)=x^{n}P(1/x)=a_{0}x^{n}+\cdots +a_{n}.}$

Entonces:

${\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(P^{\mathrm {r} }\!\!\,(x))=\operatorname {Disc} _{x}(P(x)).}$

Dejar${\displaystyle \varphi \colon R\to S}$Sea un homomorfismo de anillos conmutativos . Dado un polinomio

${\displaystyle A=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}}$

en R [ x ] , el homomorfismo${\displaystyle \varphi }$actúa sobre A para producir el polinomio

${\displaystyle A^{\varphi }=\varphi (a_{n})x^{n}+\varphi (a_{n-1})x^{n-1}+\cdots +\varphi (a_{0})}$

en S [ x ] .

El discriminante es invariante bajo${\displaystyle \varphi }$en el siguiente sentido. Si${\displaystyle \varphi (a_{n})\neq 0,}$entonces

${\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(A^{\varphi })=\varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A)).}$

Dado que el discriminante se define en términos de un determinante, esta propiedad resulta inmediatamente de la propiedad similar de los determinantes.

Si${\displaystyle \varphi (a_{n})=0,}$entonces${\displaystyle \varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))}$puede ser cero o no. Uno tiene, cuando${\displaystyle \varphi (a_{n})=0,}$

${\displaystyle \varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))=\varphi (a_{n-1})^{2}\operatorname {Disc} _{x}(A^{\varphi }).}$

Cuando uno solo está interesado en saber si un discriminante es cero (como suele ser el caso en geometría algebraica ), estas propiedades se pueden resumir de la siguiente manera:

${\displaystyle \varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))=0}$si y solo si alguna de las siguientes situaciones${\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(A^{\varphi })=0}$o${\displaystyle \deg(A)-\deg(A^{\varphi })\geq 2.}$

Esto se interpreta a menudo como decir que${\displaystyle \varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))=0}$si y solo si${\displaystyle A^{\varphi }}$tiene una raíz múltiple (posiblemente en el infinito ).

Si R = PQ es un producto de polinomios en x , entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {disc} _{x}(R)&=\operatorname {disc} _{x}(P)\operatorname {Res} _{x}(P,Q)^{2}\operatorname {disc} _{x}(Q)\\[5pt]{}&=(-1)^{pq}\operatorname {disc} _{x}(P)\operatorname {Res} _{x}(P,Q)\operatorname {Res} _{x}(Q,P)\operatorname {disc} _{x}(Q),\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle \operatorname {Res} _{x}}$denota la resultante con respecto a la variable x , y p y q son los grados respectivos de P y Q.

Esta propiedad se deduce inmediatamente al sustituir la expresión del resultante y del discriminante en términos de las raíces de los polinomios respectivos.

El discriminante es un polinomio homogéneo en los coeficientes; también es un polinomio homogéneo en las raíces y, por lo tanto , cuasi-homogéneo en los coeficientes.

El discriminante de un polinomio de grado n es homogéneo de grado 2 n − 2 en los coeficientes. Esto se puede ver de dos maneras. En términos de la fórmula de raíces y término principal, multiplicar todos los coeficientes por λ no cambia las raíces, pero multiplica el término principal por λ . En términos de su expresión como determinante de una matriz (2 n − 1) × (2 n − 1) (la matriz de Sylvester ) dividida por a _n , el determinante es homogéneo de grado 2 n − 1 en las entradas, y dividir por a hace _que el grado sea 2 n − 2 .

El discriminante de un polinomio de grado n es homogéneo de grado n ( n − 1) en las raíces. Esto se deduce de la expresión del discriminante en términos de las raíces, que es el producto de una constante y${\displaystyle {\binom {n}{2}}={\frac {n(n-1)}{2}}}$diferencias cuadradas de raíces.

El discriminante de un polinomio de grado n es cuasi-homogéneo de grado n ( n − 1) en los coeficientes, si, para cada i , el coeficiente de${\displaystyle x^{i}}$se le da el peso n − i . También es cuasi-homogéneo del mismo grado, si, para cada i , el coeficiente de${\displaystyle x^{i}}$Se le asigna el peso i . Esto es consecuencia del hecho general de que todo polinomio homogéneo y simétrico en las raíces puede expresarse como un polinomio cuasi-homogéneo en las funciones simétricas elementales de las raíces.

Consideremos el polinomio

${\displaystyle P=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}.}$

De lo anterior se deduce que los exponentes en cada monomio${\displaystyle a_{0}^{i_{0}},\dots ,a_{n}^{i_{n}}}$que aparecen en el discriminante satisfacen las dos ecuaciones

${\displaystyle i_{0}+i_{1}+\cdots +i_{n}=2n-2}$

y

${\displaystyle i_{1}+2i_{2}+\cdots +ni_{n}=n(n-1),}$

y también la ecuación

${\displaystyle ni_{0}+(n-1)i_{1}+\cdots +i_{n-1}=n(n-1),}$

que se obtiene restando la segunda ecuación de la primera multiplicada por n .

Esto restringe los términos posibles en el discriminante. Para el polinomio cuadrático general, el discriminante${\displaystyle b^{2}-4ac}$Es un polinomio homogéneo de grado 2 que tiene solo dos términos, mientras que el polinomio homogéneo general de grado dos en tres variables tiene 6 términos. El discriminante del polinomio cúbico general es un polinomio homogéneo de grado 4 en cuatro variables; tiene cinco términos, que es el máximo permitido por las reglas anteriores, mientras que el polinomio homogéneo general de grado 4 en 4 variables tiene 35 términos.

Para grados superiores, puede haber monomios que satisfagan las reglas anteriores y no aparezcan en el discriminante. El primer ejemplo es para el polinomio de cuarto grado.${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e}$, en cuyo caso el monomio${\displaystyle bc^{4}d}$satisface las reglas sin aparecer en el discriminante.

Una forma cuadrática es una función sobre un espacio vectorial , que se define sobre alguna base mediante un polinomio homogéneo de grado 2:

${\displaystyle Q(x_{1},\ldots ,x_{n})\ =\ \sum _{i=1}^{n}a_{ii}x_{i}^{2}+\sum _{1\leq i<j\leq n}a_{ij}x_{i}x_{j},}$

o, en forma matricial,

${\displaystyle Q(X)=XAX^{\mathrm {T} },}$

para el${\displaystyle n\times n}$matriz simétrica${\displaystyle A=(a_{ij})}$, el${\displaystyle 1\times n}$vector fila${\displaystyle X=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$y el${\displaystyle n\times 1}$vector columna${\displaystyle X^{\mathrm {T} }}$. En una característica diferente de 2, ^{[ 10 ]} el discriminante o determinante de Q es el determinante de A . ^{[ 11 ]}

El determinante hessiano de Q es${\displaystyle 2^{n}}$veces su discriminante. El resultante multivariado de las derivadas parciales de Q es igual a su determinante hessiano. Por lo tanto, el discriminante de una forma cuadrática es un caso especial de la definición general de discriminante mencionada anteriormente.

El discriminante de una forma cuadrática es invariante bajo cambios lineales de variables (es decir, un cambio de base del espacio vectorial sobre el cual se define la forma cuadrática) en el siguiente sentido: un cambio lineal de variables se define mediante una matriz no singular S , que transforma la matriz A en${\displaystyle S^{\mathrm {T} }A\,S,}$y así multiplica el discriminante por el cuadrado del determinante de S. Por lo tanto, el discriminante está bien definido solo hasta la multiplicación por un cuadrado. En otras palabras, el discriminante de una forma cuadrática sobre un cuerpo K es un elemento de K /( K ^× ) ² , el cociente del monoide multiplicativo de K por el subgrupo de los cuadrados no nulos (es decir, dos elementos de K están en la misma clase de equivalencia si uno es el producto del otro por un cuadrado no nulo). De ello se deduce que sobre los números complejos , un discriminante es equivalente a 0 o 1. Sobre los números reales , un discriminante es equivalente a −1, 0 o 1. Sobre los números racionales , un discriminante es equivalente a un entero único libre de cuadrados .

Según un teorema de Jacobi , una forma cuadrática sobre un cuerpo de característica distinta de 2 puede expresarse, tras un cambio lineal de variables, en forma diagonal como

${\displaystyle a_{1}x_{1}^{2}+\cdots +a_{n}x_{n}^{2}.}$

Más precisamente, una forma cuadrática puede expresarse como una suma

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}L_{i}^{2}}$

donde las L _i son formas lineales independientes y n es el número de variables (algunas de las a _i pueden ser cero). Equivalentemente, para cualquier matriz simétrica A , existe una matriz elemental S tal que${\displaystyle S^{\mathrm {T} }A\,S}$es una matriz diagonal . Entonces el discriminante es el producto de los a _i , que está bien definido como una clase en K /( K ^× ) ² .

Geométricamente, el discriminante de una forma cuadrática en tres variables es la ecuación de una curva proyectiva cuadrática . El discriminante es cero si y solo si la curva se descompone en líneas (posiblemente sobre una extensión algebraicamente cerrada del cuerpo).

Una forma cuadrática en cuatro variables es la ecuación de una superficie proyectiva . La superficie tiene un punto singular si y solo si su discriminante es cero. En este caso, la superficie puede descomponerse en planos o tiene un único punto singular y es un cono o un cilindro . Sobre los números reales, si el discriminante es positivo, la superficie no tiene puntos reales o tiene una curvatura gaussiana negativa en todas partes . Si el discriminante es negativo, la superficie tiene puntos reales y tiene una curvatura gaussiana negativa.

Una sección cónica es una curva plana definida por una ecuación implícita de la forma

${\displaystyle ax^{2}+2bxy+cy^{2}+2dx+2ey+f=0,}$

donde a , b , c , d , e , f son números reales.

A una sección cónica se le pueden asociar dos formas cuadráticas y, por lo tanto, dos discriminantes.

La primera forma cuadrática es

${\displaystyle ax^{2}+2bxy+cy^{2}+2dxz+2eyz+fz^{2}=0.}$

Su discriminante es el determinante

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b&d\\b&c&e\\d&e&f\end{vmatrix}}.}$

Es cero si la sección cónica degenera en dos líneas, una línea doble o un solo punto.

El segundo discriminante, que es el único que se considera en muchos libros de texto elementales, es el discriminante de la parte homogénea de segundo grado de la ecuación. Es igual a ^{[ 12 ].}

${\displaystyle b^{2}-ac,}$

y determina la forma de la sección cónica. Si este discriminante es negativo, la curva no tiene puntos reales, o es una elipse o un círculo , o, si está degenerada, se reduce a un solo punto. Si el discriminante es cero, la curva es una parábola , o, si está degenerada, una línea doble o dos líneas paralelas. Si el discriminante es positivo, la curva es una hipérbola , o, si está degenerada, un par de líneas que se intersecan.

Una superficie cuádrica real en el espacio euclidiano de dimensión tres es una superficie que puede definirse como las raíces de un polinomio de grado dos en tres variables. En cuanto a las secciones cónicas, existen dos discriminantes que pueden definirse de forma natural. Ambos son útiles para obtener información sobre la naturaleza de una superficie cuádrica.

Dejar${\displaystyle P(x,y,z)}$Sea un polinomio de grado dos en tres variables que define una superficie cuádrica real. La primera forma cuadrática asociada,${\displaystyle Q_{4},}$depende de cuatro variables y se obtiene homogeneizando P ; es decir

${\displaystyle Q_{4}(x,y,z,t)=t^{2}P(x/t,y/t,z/t).}$

Denotemos su discriminante por${\displaystyle \Delta _{4}.}$

La segunda forma cuadrática,${\displaystyle Q_{3},}$depende de tres variables y consta de los términos de segundo grado de P ; es decir

${\displaystyle Q_{3}(x,y,z)=Q_{4}(x,y,z,0).}$

Denotemos su discriminante por${\displaystyle \Delta _{3}.}$

Si${\displaystyle \Delta _{4}>0,}$y la superficie tiene puntos reales, es un paraboloide hiperbólico o un hiperboloide de una hoja . En ambos casos, se trata de una superficie reglada que tiene una curvatura gaussiana negativa en cada punto.

Si${\displaystyle \Delta _{4}<0,}$La superficie es un elipsoide , un hiperboloide de dos hojas o un paraboloide elíptico . En todos los casos, presenta una curvatura gaussiana positiva en cada punto.

Si${\displaystyle \Delta _{4}=0,}$La superficie tiene un punto singular , posiblemente en el infinito . Si solo hay un punto singular, la superficie es un cilindro o un cono . Si hay varios puntos singulares, la superficie consta de dos planos, un plano doble o una sola línea.

Cuando${\displaystyle \Delta _{4}\neq 0,}$el signo de${\displaystyle \Delta _{3},}$si no es 0, no proporciona ninguna información útil, ya que cambiar P por − P no cambia la superficie, sino que cambia el signo de${\displaystyle \Delta _{3}.}$Sin embargo, si${\displaystyle \Delta _{4}\neq 0}$y${\displaystyle \Delta _{3}=0,}$La superficie es un paraboloide , que es elíptico o hiperbólico, dependiendo del signo de${\displaystyle \Delta _{4}.}$

El discriminante de un cuerpo de números algebraicos mide el tamaño del ( anillo de enteros del) cuerpo de números algebraicos.

Más específicamente, es proporcional al volumen al cuadrado del dominio fundamental del anillo de enteros , y regula qué primos se ramifican .

El discriminante es uno de los invariantes más básicos de un cuerpo numérico y aparece en varias fórmulas analíticas importantes , como la ecuación funcional de la función zeta de Dedekind de K y la fórmula analítica del número de clase para K. Un teorema de Hermite afirma que solo existen un número finito de cuerpos numéricos con discriminante acotado; sin embargo, determinar esta cantidad sigue siendo un problema abierto y objeto de investigación actual. ^{[ 13 ]}

Sea K un cuerpo numérico algebraico, y sea O _K su anillo de enteros . Sea b ₁ , ..., b _n una base integral de O _K (es decir, una base como un Z -módulo ), y sea {σ ₁ , ..., σ _n } el conjunto de incrustaciones de K en los números complejos (es decir, homomorfismos de anillos inyectivos K → C ). El discriminante de K es el cuadrado del determinante de la matriz B de n por n cuya entrada ( i , j ) es σ _i ( b _j ). Simbólicamente,  

${\displaystyle \Delta _{K}=\det \left({\begin{array}{cccc}\sigma _{1}(b_{1})&\sigma _{1}(b_{2})&\cdots &\sigma _{1}(b_{n})\\\sigma _{2}(b_{1})&\ddots &&\vdots \\\vdots &&\ddots &\vdots \\\sigma _{n}(b_{1})&\cdots &\cdots &\sigma _{n}(b_{n})\end{array}}\right)^{2}.}$

El discriminante de K puede denominarse discriminante absoluto de K para distinguirlo del de una extensión K / L de cuerpos numéricos. Este último es un ideal en el anillo de enteros de L y, al igual que el discriminante absoluto, indica qué primos se ramifican en K / L . Es una generalización del discriminante absoluto que permite que L sea mayor que Q ; de hecho, cuando L  = Q , el discriminante relativo de K / Q es el ideal principal de Z generado por el discriminante absoluto de K. 

Un tipo específico de discriminante útil en el estudio de campos cuadráticos es el discriminante fundamental. Surge en la teoría de formas cuadráticas binarias integrales , que son expresiones de la forma:$${\displaystyle Q(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}}$$dónde${\textstyle a}$,${\textstyle b}$, y${\textstyle c}$son enteros. El discriminante de${\textstyle Q(x,y)}$está dado por:$${\displaystyle D=b^{2}-4ac.}$$No todos los números enteros pueden surgir como discriminante de una forma cuadrática binaria integral. Un número entero${\textstyle D}$es un discriminante fundamental si y solo si cumple uno de los siguientes criterios:

• Caso 1:${\textstyle D}$es congruente con 1 módulo 4 (${\textstyle D\equiv 1{\pmod {4}}}$) y es libre de cuadrados, lo que significa que no es divisible por el cuadrado de ningún número primo.
• Caso 2:${\textstyle D}$es igual a cuatro veces un número entero${\textstyle m}$(${\textstyle D=4m}$) dónde${\textstyle m}$es congruente con 2 o 3 módulo 4 (${\textstyle m\equiv 2,3{\pmod {4}}}$) y no es cuadrado.

Estas condiciones garantizan que cada discriminante fundamental se corresponda de forma única con un tipo específico de forma cuadrática.

Los primeros once discriminantes fundamentales positivos son:

1 , 5 , 8 , 12 , 13 , 17 , 21 , 24 , 28 , 29 , 33 (secuencia A003658 en el OEIS )

Los primeros once discriminantes fundamentales negativos son:

−3, −4, −7, −8, −11, −15, −19, −20, −23, −24, −31 (secuencia A003657 en el OEIS ) .