Grupoide fundamental

En topología algebraica , el grupoide fundamental es un invariante topológico de un espacio topológico . Puede considerarse una extensión del grupo fundamental , más conocido , y, como tal, contiene información sobre el tipo de homotopía de un espacio topológico. En términos de teoría de categorías , el grupoide fundamental es un funtor de la categoría de espacios topológicos a la categoría de grupoides .

[...] la gente persiste obstinadamente, al calcular con grupos fundamentales, en fijar un único punto base, en lugar de elegir inteligentemente un paquete completo de puntos que sea invariante bajo las simetrías de la situación, las cuales se pierden en el proceso. En ciertas situaciones (como los teoremas de descenso para grupos fundamentales a la Van Kampen) es mucho más elegante, incluso indispensable para comprender algo, trabajar con grupoides fundamentales con respecto a un paquete adecuado de puntos base, [...]

Sea X un espacio topológico . Consideremos la relación de equivalencia sobre caminos continuos en X _, donde dos caminos continuos son equivalentes si son homotópicos con extremos fijos. El grupoide fundamental Π( X ) , o Π₁ ( X ) , asigna a cada par ordenado de puntos ( p , q ) en X la colección de clases de equivalencia de caminos continuos de p a q . De forma más general, el grupoide fundamental de X sobre un conjunto S restringe el grupoide fundamental a los puntos que se encuentran tanto en X como en S. Esto permite una generalización del teorema de Van Kampen utilizando dos puntos base para calcular el grupo fundamental del círculo. ^{[ 1 ]}

Como sugiere su nombre, el grupoide fundamental de X posee naturalmente la estructura de un grupoide . En particular, forma una categoría; los objetos se toman como los puntos de X y la colección de morfismos de p a q es la colección de clases de equivalencia dada anteriormente. El hecho de que esto satisfaga la definición de una categoría equivale al hecho estándar de que la clase de equivalencia de la concatenación de dos caminos solo depende de las clases de equivalencia de los caminos individuales. ^{[ 2 ]} Asimismo, el hecho de que esta categoría sea un grupoide, que afirma que todo morfismo es invertible, equivale al hecho estándar de que se puede invertir la orientación de un camino, y la clase de equivalencia de la concatenación resultante contiene el camino constante. ^{[ 3 ]}

Nótese que el grupoide fundamental asigna, al par ordenado ( p , p ) , el grupo fundamental de X basado en p .

Dado un espacio topológico X , las componentes conexas por caminos de X están codificadas naturalmente en su grupoide fundamental; la observación es que p y q están en la misma componente conexa por caminos de X si y solo si la colección de clases de equivalencia de caminos continuos de p a q no está vacía. En términos categóricos, la afirmación es que los objetos p y q están en la misma componente grupoide si y solo si el conjunto de morfismos de p a q no está vacío. ^{[ 4 ]}

Supongamos que X es conexo por caminos y fijemos un elemento p de X. Podemos ver el grupo fundamental π ₁ ( X , p ) como una categoría; hay un objeto y los morfismos de este a sí mismo son los elementos de π ₁ ( X , p ) . La selección, para cada q en M , de un camino continuo de p a q , permite usar la concatenación para ver cualquier camino en X como un bucle basado en p . Esto define una equivalencia de categorías entre π ₁ ( X , p ) y el grupoide fundamental de X . Más precisamente, esto muestra π ₁ ( X , p ) como un esqueleto del grupoide fundamental de X . ^{[ 5 ]}

El grupoide fundamental de una variedad diferenciable (conexa por caminos) X es en realidad un grupoide de Lie ^, que surge como el grupoide de calibre del recubrimiento universal de X. ^{[ 6} ]

Dado un espacio topológico X , un sistema local es un functor del grupoide fundamental de X a una categoría. ^{[ 7 ]} Como caso especial importante, un fibrado de grupos (abelianos) en X es un sistema local valorado en la categoría de grupos (abelianos). Esto significa que un fibrado de grupos en X asigna un grupo G _p a cada elemento p de X , y asigna un homomorfismo de grupos G _p → G _q a cada camino continuo de p a q . Para ser un functor, estos homomorfismos de grupos deben ser compatibles con la estructura topológica, de modo que los caminos homotópicos con extremos fijos definan el mismo homomorfismo; además, los homomorfismos de grupos deben componerse de acuerdo con la concatenación e inversión de caminos. ^{[ 8 ]} Se puede definir la homología con coeficientes en un fibrado de grupos abelianos. ^{[ 9 ]}

Cuando X satisface ciertas condiciones, un sistema local puede describirse de forma equivalente como un haz localmente constante .

• El grupoide fundamental del espacio unitario es el grupoide trivial (un grupoide con un objeto * y un morfismo Hom(*, *) = { id _*  : * → * }
• El grupoide fundamental del círculo es conexo y todos sus grupos de vértices son isomorfos a${\displaystyle (\mathbb {Z},+)}$, el grupo aditivo de los enteros .

La hipótesis de homotopía , una conjetura bien conocida en la teoría de la homotopía formulada por Alexander Grothendieck , afirma que una generalización adecuada del grupoide fundamental, conocido como el ∞-grupoide fundamental , captura toda la información sobre un espacio topológico salvo equivalencia homotópica débil .

• Categoría de homotopía de una ∞-categoría
• núcleo de una categoría (mientras que el grupoide fundamental es un adjunto izquierdo de la inclusión de Gprd, el núcleo es un adjunto derecho)

• Ronald Brown . Topología y grupoides. Tercera edición de Elementos de topología moderna [McGraw-Hill, Nueva York, 1968]. Con 1 CD-ROM (Windows, Macintosh y UNIX). BookSurge, LLC, Charleston, SC, 2006. xxvi+512 pp. ISBN 1-4196-2722-8
• Brown, R., Higgins, PJ y Sivera, R., Topología algebraica no abeliana: espacios filtrados, complejos cruzados, grupoides de homotopía cúbica. Tracts in Mathematics Vol. 15. European Mathematical Society (2011). (663+xxv páginas) ISBN 978-3-03719-083-8
• J. Peter May . Un curso conciso de topología algebraica. Conferencias de matemáticas de Chicago. University of Chicago Press, Chicago, IL, 1999. x+243 pp. ISBN 0-226-51182-0,0-226-51183-9
• Edwin H. Spanier . Topología algebraica. Reimpresión corregida del original de 1966. Springer-Verlag, Nueva York-Berlín, 1981. xvi+528 pp. ISBN 0-387-90646-0
• George W. Whitehead . Elementos de la teoría de la homotopía. Textos de posgrado en matemáticas, 61. Springer-Verlag, Nueva York-Berlín, 1978. xxi+744 págs. ISBN 0-387-90336-4

• El sitio web de Ronald Brown, un autor destacado en el tema de grupoides en topología: http://groupoids.org.uk/
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