Subgrupos de grupos cíclicos

En álgebra abstracta , todo subgrupo de un grupo cíclico es cíclico. Además, para un grupo cíclico finito de orden n , el orden de cada subgrupo es un divisor de n , y existe exactamente un subgrupo para cada divisor. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Este resultado se ha denominado el teorema fundamental de los grupos cíclicos . ^{[ 3 ] [ 4 ]}

Para todo grupo finito G de orden n , las siguientes afirmaciones son equivalentes:

• G es cíclico.
• Para cada divisor d de n , G tiene como máximo un subgrupo de orden d .

Si alguna de las dos afirmaciones (y por lo tanto ambas) es verdadera, se deduce que existe exactamente un subgrupo de orden d para cualquier divisor de n . Esta afirmación se conoce con diversos nombres, como caracterización por subgrupos . ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]} (Véase también grupo cíclico para alguna caracterización).

Existen grupos finitos, además de los grupos cíclicos, que poseen la propiedad de que todos sus subgrupos propios son cíclicos; el grupo de Klein es un ejemplo. Sin embargo, el grupo de Klein tiene más de un subgrupo de orden 2, por lo que no cumple las condiciones de la caracterización.

El grupo cíclico infinito es isomorfo al subgrupo aditivo Z de los enteros. Existe un subgrupo d Z para cada entero d (que consta de los múltiplos de d ), y con la excepción del grupo trivial (generado por d  =  0), cada uno de estos subgrupos es a su vez un grupo cíclico infinito. Dado que el grupo cíclico infinito es un grupo libre en un generador (y el grupo trivial no es un grupo libre en ningún generador), este resultado puede considerarse un caso especial del teorema de Nielsen-Schreier que establece que todo subgrupo de un grupo libre es a su vez libre. ^{[ 8 ]}

El teorema fundamental para grupos cíclicos finitos se puede establecer a partir del mismo teorema para grupos cíclicos infinitos, considerando cada grupo cíclico finito como un grupo cociente del grupo cíclico infinito. ^{[ 8 ]}

Tanto en el caso finito como en el infinito, el retículo de subgrupos de un grupo cíclico es isomorfo al dual de un retículo de divisibilidad . En el caso finito, el retículo de subgrupos de un grupo cíclico de orden n es isomorfo al dual del retículo de divisores de n , con un subgrupo de orden n / d para cada divisor d . El subgrupo de orden n / d es un subgrupo del subgrupo de orden n / e si y solo si e es un divisor de d . El retículo de subgrupos del grupo cíclico infinito puede describirse de la misma manera, como el dual del retículo de divisibilidad de todos los enteros positivos. Si el grupo cíclico infinito se representa como el grupo aditivo sobre los enteros, entonces el subgrupo generado por d es un subgrupo del subgrupo generado por e si y solo si e es un divisor de d . ^{[ 8 ]}

Los retículos de divisibilidad son retículos distributivos y, por lo tanto, también lo son los retículos de subgrupos de grupos cíclicos. Esto proporciona otra caracterización alternativa de los grupos cíclicos finitos: son precisamente los grupos finitos cuyos retículos de subgrupos son distributivos. De manera más general, un grupo finitamente generado es cíclico si y solo si su retículo de subgrupos es distributivo y un grupo arbitrario es localmente cíclico si y solo si su retículo de subgrupos es distributivo. ^{[ 9 ]} El grupo aditivo de los números racionales proporciona un ejemplo de un grupo que es localmente cíclico y que tiene un retículo distributivo de subgrupos, pero que no es cíclico en sí mismo.