Grupo cíclico local

En matemáticas, un grupo localmente cíclico es un grupo ( G , *) en el que cada subgrupo finitamente generado es cíclico .

Algunos datos

Todo grupo cíclico es localmente cíclico, y todo grupo localmente cíclico es abeliano . ^{[ 1 ]}
Todo grupo localmente cíclico generado de forma finita es cíclico.
Todo subgrupo y grupo cociente de un grupo localmente cíclico es localmente cíclico.
Toda imagen homomórfica de un grupo localmente cíclico es localmente cíclica.
Un grupo es localmente cíclico si y solo si cada par de elementos del grupo genera un grupo cíclico.
Un grupo es localmente cíclico si y solo si su retículo de subgrupos es distributivo ( Ore 1938 ) .
El rango sin torsión de un grupo localmente cíclico es 0 o 1.
El anillo de endomorfismos de un grupo localmente cíclico es conmutativo .

El grupo aditivo de los números racionales ( Q , +) es localmente cíclico: cualquier par de números racionales a / b y c / d está contenido en el subgrupo cíclico generado por 1/( bd ). ^{[ 2 ]}
El grupo aditivo de los números racionales diádicos , los números racionales de la forma a /2 ^b , también es localmente cíclico: cualquier par de números racionales diádicos a /2 ^b y c /2 ^d está contenido en el subgrupo cíclico generado por 1/2 ^{max( b , d )} .
Sea p cualquier número primo, y sea μ _{p ^∞} el conjunto de todas las raíces de la unidad de potencia p en C , es decir
$\mu _{p^{\infty }}=\left\{\exp \left({\frac {2\pi im}{p^{k}}}\right):m,k\in \mathbb {Z} \right\}$
Entonces μ _{p ^∞} es localmente cíclico pero no cíclico. Este es el grupo p de Prüfer . El grupo 2 de Prüfer está estrechamente relacionado con los racionales diádicos (puede considerarse como los racionales diádicos módulo 1).

El grupo aditivo de los números reales ( R , +); el subgrupo generado por 1 y $π$ (que comprende todos los números de la forma a + b $π$ ) es isomorfo a la suma directa Z + Z , que no es cíclica.

Hall, Marshall Jr. (1999), "19.2 Grupos localmente cíclicos y retículos distributivos", Theory of Groups , American Mathematical Society, pp. 340–341 , ISBN 978-0-8218-1967-8.

Ore, Øystein (1938), "Estructuras y teoría de grupos. II" (PDF) , Duke Mathematical Journal , 4 (2): 247–269 , doi : 10.1215/S0012-7094-38-00419-3 , MR 1546048 .

Rose, John S. (2012) [reedición íntegra e inalterada de una obra publicada originalmente por Cambridge University Press, Cambridge, Inglaterra, en 1978]. A Course on Group Theory . Dover Publications. ISBN 978-0-486-68194-8.