Dilución de la precisión

La dilución de precisión ( DOP ), o dilución geométrica de precisión ( GDOP ), es un término utilizado en la navegación por satélite y la ingeniería geomática para especificar la propagación del error como un efecto matemático de la geometría del satélite de navegación sobre la precisión de la medición de posición.

Mal director de fotografía vs. buen director de fotografía

Satélites de navegación con geometría deficiente.

Satélites de navegación con buena geometría.

El concepto de dilución de precisión (DOP) se originó con los usuarios del sistema de navegación Loran-C . ^{[ 1 ]} La idea de la DOP geométrica es establecer cómo los errores en la medición afectarán la estimación del estado final. Esto se puede definir como: ^{[ 2 ]}

$${\displaystyle \operatorname {GDOP} ={\frac {\Delta ({\text{ubicación de salida}})}{\Delta ({\text{datos medidos}})}}}$$

Conceptualmente, puedes imaginar geométricamente los errores en una medición que resultan en:${\displaystyle \Delta ({\text{datos medidos}})}$Cambio de término. Idealmente, pequeños cambios en los datos medidos no deberían resultar en grandes cambios en la ubicación de la salida. Lo contrario de este ideal es la situación en la que la solución es muy sensible a los errores de medición. La interpretación de esta fórmula se muestra en la figura de la derecha, donde se presentan dos posibles escenarios con GDOP aceptable y deficiente.

Con la amplia adopción de los sistemas de navegación por satélite , el término se ha extendido mucho más. Si se ignoran los efectos ionosféricos ^{[ 3 ]} y troposféricos ^{[ 4 ]} , la señal de los satélites de navegación tiene una precisión fija. Por lo tanto, la geometría relativa satélite-receptor juega un papel importante en la determinación de la precisión de las posiciones y los tiempos estimados. Debido a la geometría relativa de cualquier satélite dado con respecto a un receptor, la precisión en el pseudorango del satélite se traduce en un componente correspondiente en cada una de las cuatro dimensiones de posición medidas por el receptor (es decir,${\displaystyle x}$,${\displaystyle y}$,${\displaystyle z}$, y${\displaystyle t}$La precisión de múltiples satélites en la vista de un receptor se combina según la posición relativa de los satélites para determinar el nivel de precisión en cada dimensión de la medición del receptor. Cuando los satélites de navegación visibles están cerca unos de otros en el cielo, se dice que la geometría es débil y el valor DOP es alto; cuando están lejos, la geometría es fuerte y el valor DOP es bajo. Consideremos dos anillos superpuestos, o anillos , con centros diferentes. Si se superponen en ángulo recto, la extensión máxima de la superposición es mucho menor que si se superponen casi en paralelo. Por lo tanto, un valor DOP bajo representa una mejor precisión posicional debido a la mayor separación angular entre los satélites utilizados para calcular la posición de una unidad. Otros factores que pueden aumentar el DOP efectivo son las obstrucciones como montañas o edificios cercanos.

El DOP se puede expresar como una serie de mediciones separadas:

HDOP

Dilución horizontal de la precisión

VDOP

Dilución vertical de la precisión

PDOP

Dilución de precisión de posición (3D)

TDOP

Dilución temporal de la precisión

GDOP

Dilución geométrica de la precisión

Estos valores se derivan matemáticamente de las posiciones de los satélites utilizables. Los receptores de señal permiten visualizar estas posiciones ( diagrama del cielo ) y los valores DOP.

El término también puede aplicarse a otros sistemas de localización que emplean varios emplazamientos geográficamente distantes. Se utiliza, por ejemplo, en contramedidas electrónicas ( guerra electrónica ) para calcular la ubicación de emisores enemigos ( inhibidores de radar y dispositivos de radiocomunicación). El uso de esta técnica de interferometría permite obtener una configuración geométrica precisa cuando existen grados de libertad que no pueden considerarse debido a configuraciones inadecuadas.

El efecto de la geometría de los satélites en el error de posición se denomina dilución geométrica de la precisión (GDOP) y se interpreta aproximadamente como la relación entre el error de posición y el error de alcance. Imaginemos una pirámide cuadrada formada por líneas que unen cuatro satélites, con el receptor en la cúspide. Cuanto mayor sea el volumen de la pirámide, mejor (menor) será el valor de GDOP; cuanto menor sea su volumen, peor (mayor) será el valor de GDOP. De forma similar, cuanto mayor sea el número de satélites, mejor será el valor de GDOP.

Los factores DOP son funciones de los elementos diagonales de la matriz de covarianza de los parámetros, expresados ​​en un marco geodésico global o local.

Como primer paso para calcular el DOP, ^{[ 5 ]} considere los vectores unitarios del receptor al satélite.${\displaystyle i}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {x_{i}-x}{R_{i}}},{\frac {y_{i}-y}{R_{i}}},{\frac {z_{i}-z}{R_{i}}}\right),&R_{i}&={\sqrt {(x_{i}-x)^{2}+(y_{i}-y)^{2}+(z_{i}-z)^{2}}}\end{aligned}}}$$

dónde${\displaystyle x,y,z}$denotan la posición del receptor y${\displaystyle x_{i},y_{i},z_{i}}$Denotemos la posición del satélite i. Formule la matriz A, que (para 4 ecuaciones residuales de medición de pseudodistancia) es: $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}{\frac {x_{1}-x}{R_{1}}}&{\frac {y_{1}-y}{R_{1}}}&{\frac {z_{1}-z}{R_{1}}}&1\\{\frac {x_{2}-x}{R_{2}}}&{\frac {y_{2}-y}{R_{2}}}&{\frac {z_{2}-z}{R_{2}}}&1\\{\frac {x_{3}-x}{R_{3}}}&{\frac {y_{3}-y}{R_{3}}}&{\frac {z_{3}-z}{R_{3}}}&1\\{\frac {x_{4}-x}{R_{4}}}&{\frac {y_{4}-y}{R_{4}}}&{\frac {z_{4}-z}{R_{4}}}&1\end{bmatrix}}}$$

Los tres primeros elementos de cada fila de A son las componentes de un vector unitario desde el receptor hasta el satélite indicado. El último elemento de cada fila se refiere a la derivada parcial del pseudorango con respecto al sesgo del reloj del receptor. Formule la matriz Q como la matriz de covarianza resultante de la matriz normal de mínimos cuadrados : $${\displaystyle Q=\left(A^{\mathsf {T}}A\right)^{-1}}$$

En general: $${\displaystyle Q=\left(J_{\mathsf {x}}^{\mathsf {T}}\left(J_{d}C_{d}J_{d}^{\mathsf {T}}\right)^{-1}J_{x}\right)^{-1}}$$

dónde${\displaystyle J_{x}}$es el jacobiano de las ecuaciones residuales de medición del sensor${\displaystyle f_{i}\left({\underline {x}},{\underline {d}}\right)=0}$, con respecto a las incógnitas,${\displaystyle {\underline {x}}}$;${\displaystyle J_{d}}$es el jacobiano de las ecuaciones residuales de medición del sensor con respecto a las cantidades medidas.${\displaystyle {\underline {d}}}$, y${\displaystyle C_{d}}$es la matriz de correlación para el ruido en las cantidades medidas.

Para el caso anterior de 4 ecuaciones residuales de medición de rango:${\displaystyle {\underline {x}}=(x,y,z,\tau )^{\mathsf {T}}}$,${\displaystyle {\underline {d}}=\left(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{4}\right)^{\mathsf {T}}}$,${\displaystyle \tau =ct}$,${\displaystyle \tau _{i}=ct_{i}}$,${\displaystyle R_{i}=|\tau _{i}-\tau |={\sqrt {(\tau _{i}-\tau )^{2}}}}$,${\displaystyle f_{i}\left({\underline {x}},{\underline {d}}\right)={\sqrt {(x_{i}-x)^{2}+(y_{i}-y)^{2}+(z_{i}-z)^{2}}}-{\sqrt {(\tau _{i}-\tau )^{2}}}}$,${\displaystyle J_{x}=A}$,${\displaystyle J_{d}=-I}$y los ruidos de medición para los diferentes${\displaystyle \tau _{i}}$se ha asumido que son independientes, lo que hace${\displaystyle C_{d}=I}$.

Esta fórmula para Q surge de aplicar la mejor estimación lineal insesgada a una versión linealizada de las ecuaciones residuales de medición del sensor alrededor de la solución actual.${\displaystyle \Delta {\underline {x}}=-Q*\left(J_{x}^{\mathsf {T}}\left(J_{d}C_{d}J_{d}^{\mathsf {T}}\right)^{-1}f\right)}$, excepto en el caso del AZUL${\displaystyle C_{d}}$es una matriz de covarianza de ruido en lugar de la matriz de correlación de ruido utilizada en DOP, y la razón por la que DOP hace esta sustitución es para obtener un error relativo . Cuando${\displaystyle C_{d}}$es una matriz de covarianza de ruido,${\displaystyle Q}$Es una estimación de la matriz de covarianza del ruido en las incógnitas debido al ruido en las cantidades medidas. Es la estimación obtenida mediante la técnica de cuantificación de incertidumbre de primer orden y segundo momento (FOSM), que era la más avanzada en la década de 1980. Para que la teoría FOSM sea estrictamente aplicable, las distribuciones de ruido de entrada deben ser gaussianas o las desviaciones estándar del ruido de medición deben ser pequeñas en relación con la tasa de cambio en la salida cerca de la solución. En este contexto, generalmente se cumple el segundo criterio.

Este cálculo (es decir, para las 4 ecuaciones residuales de medición de tiempo de llegada/distancia) está de acuerdo con [6] donde la matriz de ponderación, ${\displaystyle P=\left(J_{d}C_{d}J_{d}^{\mathsf {T}}\right)^{-1}}$sucede que se simplifica hasta la matriz identidad .

Tenga en cuenta que P solo se simplifica hasta la matriz identidad porque todas las ecuaciones residuales de medición del sensor son ecuaciones de tiempo de llegada (pseudodistancia). En otros casos, por ejemplo, al intentar localizar a alguien que transmite en una frecuencia de socorro internacional ,${\displaystyle P}$No se simplificaría a la matriz identidad y, en ese caso, habría un componente de "DOP de frecuencia" o FDOP, ya sea adicionalmente o en lugar del componente TDOP. (Respecto a "en lugar del componente TDOP": dado que los relojes de los satélites LEO del antiguo Programa Internacional Cospas-Sarsat son mucho menos precisos que los relojes GPS, descartar sus mediciones de tiempo aumentaría la precisión de la solución de geolocalización).

Los elementos de${\displaystyle Q}$se designan como:

$${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}\sigma _{x}^{2}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}&\sigma _{xt}\\\sigma _{xy}&\sigma _{y}^{2}&\sigma _{yz}&\sigma _{yt}\\\sigma _{xz}&\sigma _{yz}&\sigma _{z}^{2}&\sigma _{zt}\\\sigma _{xt}&\sigma _{yt}&\sigma _{zt}&\sigma _{t}^{2}\end{bmatrix}}}$$

PDOP, TDOP y GDOP vienen dados por: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {PDOP} &={\sqrt {\sigma _{x}^{2}+\sigma _{y}^{2}+\sigma _{z}^{2}}}\\\operatorname {TDOP} &={\sqrt {\sigma _{t}^{2}}}\\\operatorname {GDOP} &={\sqrt {\operatorname {PDOP} ^{2}+\operatorname {TDOP} ^{2}}}\\&={\sqrt {\operatorname {tr} Q}}\\\end{aligned}}}$$

Nótese que GDOP es la raíz cuadrada de la traza de la${\displaystyle Q}$matriz.

La dilución horizontal y vertical de la precisión, $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {HDOP} &={\sqrt {\sigma _{n}^{2}+\sigma _{e}^{2}}}\\\operatorname {VDOP} &={\sqrt {\sigma _{u}^{2}}}\end{aligned}},}$$ ambos dependen del sistema de coordenadas utilizado. Para corresponder al sistema de coordenadas local este-norte-arriba ,

EDOP^2 xxx x NDOP^2 xx xx VDOP^2 x xxx TDOP^2

y las diluciones derivadas: $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {GDOP} &={\sqrt {\operatorname {EDOP} ^{2}+\operatorname {NDOP} ^{2}+\operatorname {VDOP} ^{2}+\operatorname {TDOP} ^{2}}}\\\operatorname {HDOP} &={\sqrt {\operatorname {EDOP} ^{2}+\operatorname {NDOP} ^{2}}}\\\operatorname {PDOP} &={\sqrt {\operatorname {EDOP} ^{2}+\operatorname {NDOP} ^{2}+\operatorname {VDOP} ^{2}}}\end{aligned}}}$$

• Es probable que haya un error circular.
• Cálculo de posicionamiento GNSS

• Factores DOP
• Cálculo manual del GDOP
• ERRORES DE POSICIÓN HORIZONTAL DE HDOP Y GPS

• Artículo sobre el programa del Departamento de Correos (DOP) y Trimble: Determinación de los efectos de la geometría local de los satélites GPS en la precisión de la posición .
• Notas e imagen GIF sobre el cálculo manual del PIB: El oficio del geógrafo
• Errores del GPS y estimación de la precisión del receptor: Página web de Sam Wormley sobre la precisión del GPS
• Exactitud, errores y precisión del GPS: Radio-Electronics.com. Archivado el 22 de febrero de 2014 en Wayback Machine.