La teoría de Galois de Grothendieck

En matemáticas , la teoría de Galois de Grothendieck es una aproximación abstracta a la teoría de Galois de cuerpos, desarrollada alrededor de 1960 para ofrecer una manera de estudiar el grupo fundamental de la topología algebraica en el contexto de la geometría algebraica . Proporciona, en el marco clásico de la teoría de cuerpos , una perspectiva alternativa a la de Emil Artin basada en el álgebra lineal , que se convirtió en estándar a partir de la década de 1930.

El enfoque de Alexander Grothendieck se ocupa de las propiedades de la teoría de categorías que caracterizan las categorías de conjuntos G finitos para un grupo profinito fijo G. Por ejemplo, G podría ser el grupo denotado${\displaystyle {\sombrero {\mathbb {Z} }}}$(véase entero profinito ), que es el límite inverso de los grupos aditivos cíclicos${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$— o equivalentemente la finalización del grupo cíclico infinito${\displaystyle \mathbb {Z} }$para la topología de subgrupos de índice finito . Un G -conjunto finito es entonces un conjunto finito X sobre el cual G actúa a través de un grupo cíclico finito cociente, de modo que se especifica dando alguna permutación de X .

En el ejemplo anterior, se puede observar una conexión con la teoría clásica de Galois al considerar${\displaystyle {\sombrero {\mathbb {Z} }}}$como el grupo de Galois profinito Gal( F / F ) de la clausura algebraica F de cualquier cuerpo finito F , sobre F . Es decir, los automorfismos de F fijando F se describen mediante el límite inverso, a medida que tomamos cuerpos de descomposición finitos cada vez mayores sobre F . La conexión con la geometría se puede ver cuando observamos los espacios de recubrimiento del disco unitario en el plano complejo sin el origen: el recubrimiento finito realizado por la aplicación z ⁿ del disco, pensado mediante una variable numérica compleja z , corresponde al subgrupo${\displaystyle n\mathbb {Z} }$del grupo fundamental del disco perforado.

La teoría de Grothendieck, publicada en SGA1 , muestra cómo reconstruir la categoría de G -conjuntos a partir de un functor fibrado.${\displaystyle \Phi }$, que en el contexto geométrico toma la fibra de un recubrimiento sobre un punto base fijo (como un conjunto). De hecho, existe un isomorfismo demostrado del tipo

${\displaystyle G\cong \operatorname {Aut} (\Phi )}$,

este último es el grupo de automorfismos ( equivalencias autonaturales ) de${\displaystyle \Phi }$Se da una clasificación abstracta de categorías con un functor a la categoría de conjuntos, mediante la cual se pueden reconocer categorías de G -conjuntos para G profinito.

Para ver cómo se aplica esto al caso de los campos, hay que estudiar el producto tensorial de campos . En la teoría de topos , esto forma parte del estudio de los topos atómicos .

• formalismo tannakiano
• Fibra funcional
• Geometría anabeliana

• Grothendieck, Alejandro ; et  al. (1971). SGA1 Revêtements étales et groupe fondamental, 1960–1961Notas de clase en matemáticas. Vol.  224. Springer Verlag . arXiv : math/0206203 . ISBN 978-3-540-36910-3.
• Grothendieck, Alejandro (1965). Algèbres Étales et théorie de Galois (PDF) .
• Joyal, André ; Tierney, Myles (1984). Una extensión de la teoría de Galois de Grothendieck . Memorias de la Sociedad Matemática Americana . ISBN 0-8218-2312-4.

• Borceux, F.; Janelidze, G. (2001). Teorías de Galois . Cambridge University Press . ISBN 0-521-80309-8.(Este libro introduce al lector a la teoría de Galois de Grothendieck y a algunas generalizaciones que dan lugar a los grupoides de Galois ).
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