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Articulo de referencia

Hex (juego de mesa)

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Hex (también llamado Nash ) es un juego de mesa de estrategia abstracta para dos jugadores en el que intentan conectar los lados opuestos de un tablero en forma de rombo formado por celdas hexagonales . Hex fue inventado por el matemático y poeta Piet Hein en 1942 y posteriormente redescubierto y popularizado por John Nash .

Tradicionalmente se juega en un tablero romboidal de 11×11 , aunque también son populares los tableros de 13×13 y 19×19. También se puede jugar con papel y lápiz en papel cuadriculado hexagonal. El tablero está compuesto por hexágonos llamados celdas o hexes . A cada jugador se le asigna un par de lados opuestos del tablero, que debe intentar conectar colocando alternativamente una ficha de su color en cualquier hexágono vacío. Una vez colocadas, las fichas no se pueden mover ni retirar. Un jugador gana cuando logra conectar sus lados mediante una cadena de fichas adyacentes. En Hex, los empates son imposibles debido a la topología del tablero.

A pesar de la sencillez de sus reglas, el juego posee una estrategia profunda y tácticas ingeniosas. Además, cuenta con fundamentos matemáticos profundos relacionados con el teorema del punto fijo de Brouwer , los matroides y la conectividad de grafos .

Tipo de juego

Hex es un juego finito de información perfecta para dos jugadores y un juego de estrategia abstracto que pertenece a la categoría general de juegos de conexión . [ 1 ] Puede clasificarse como un juego Maker-Breaker , [ 1 ] : 122 un tipo particular de juego posicional . Dado que el juego nunca puede terminar en empate , [ 1 ] : 99 Hex también es un juego determinado .

Hex es un caso especial de la versión "nodo" del juego de conmutación de Shannon . [ 1 ] : 122 Hex se puede jugar como un juego de mesa o como un juego de papel y lápiz .

Normas

El final de una partida de Hex en un tablero estándar de 11×11. En esta ocasión, las blancas ganan la partida.

Hex se juega en una cuadrícula romboidal de hexágonos, generalmente de 11×11, aunque también son posibles otros tamaños. A cada jugador se le asigna un color, por lo general rojo y azul, o negro y blanco. [ 2 ] A cada jugador también se le asignan dos bordes opuestos del tablero. Los hexágonos de cada una de las cuatro esquinas pertenecen a ambos bordes adyacentes del tablero.

Los jugadores se turnan para colocar una ficha de su color en una casilla del tablero. Lo más habitual es que empiece el rojo o el negro. Una vez colocadas, las fichas no se pueden mover, reemplazar ni retirar del tablero. El objetivo de cada jugador es formar un camino con sus fichas que conecte los dos bordes de su tablero. El jugador que lo consiga gana la partida.

Para compensar la ventaja del primer jugador, se suele utilizar la regla del intercambio (también llamada regla del pastel). Esta regla permite al segundo jugador elegir si intercambia posiciones con el primero después de que este último haya realizado su primer movimiento.

Cuando ambos jugadores saben quién ganará, es costumbre, aunque no obligatorio, que el jugador perdedor se rinda. En la práctica, la mayoría de las partidas de Hex terminan con la rendición de uno de los jugadores.

Historia

Invención

El juego fue inventado por el matemático danés Piet Hein , quien lo presentó en 1942 en el Instituto Niels Bohr . Aunque Hein más tarde lo renombró como Con-tac-tix, [ 3 ] [ 4 ] se hizo conocido en Dinamarca con el nombre de Polygon debido a un artículo de Hein en la edición del 26 de diciembre de 1942 del periódico danés Politiken , la primera descripción publicada del juego, en la que utilizó ese nombre.

La afirmación de Nash

El juego fue redescubierto en 1948 o 1949 por el matemático John Nash en la Universidad de Princeton . [ 2 ] [ 5 ] Según Martin Gardner , quien presentó Hex en su columna de juegos matemáticos de julio de 1957 , los compañeros de juego de Nash llamaban al juego Nash o John, y este último nombre hacía referencia al hecho de que el juego podía jugarse en baldosas hexagonales de baño. [ 2 ] Nash insistió en que descubrió el juego independientemente de Hein, pero hay algunas dudas al respecto, ya que se sabe que hubo daneses, incluido Aage Bohr , que jugaron Hex en Princeton en la década de 1940, por lo que Nash pudo haber captado la idea de forma subconsciente. Hein le escribió a Gardner en 1957 expresando dudas de que Nash descubriera Hex de forma independiente. Gardner no pudo verificar ni refutar de forma independiente la afirmación de Nash. [ 6 ] Gardner le escribió en privado a Hein: «Lo comenté con el editor y decidimos que lo más justo era darle a Nash el beneficio de la duda. ... El hecho de que usted inventara el juego antes que nadie es indiscutible. Cualquiera puede venir después y decir que pensó en lo mismo en algún momento posterior, pero eso no significa mucho y a nadie le importa realmente». [ 1 ] : 134 En una carta posterior a Hein, Gardner también escribió: «Entre nosotros, y extraoficialmente, creo que dio en el clavo cuando se refirió a una "sugerencia fugaz" que le llegó al Sr. Nash de una fuente danesa y que luego olvidó. Parece la explicación más probable». [ 1 ] : 136

Juegos publicados

Una edición del juego de Parker Brothers

El juego fue publicado por primera vez por Hein bajo el nombre de Polygon en el periódico danés Politiken el 26 de diciembre de 1942. Se distribuía en forma de blocs de juego de 50 hojas. Cada hoja contenía un tablero vacío de 11×11 en el que se podía jugar con lápices o bolígrafos. [ 1 ]

En 1952, Parker Brothers comercializó una versión del juego con el nombre "Hex", y el nombre se mantuvo. [ 2 ] Parker Brothers también vendió una versión con el nombre "Con-tac-tix" en 1968. [ 3 ] Hex también se publicó como uno de los juegos de la serie de juegos de papel 3M de 1974; el juego contenía un bloc de 50 hojas de cuadrículas hexagonales rayadas de 5 + 1/2 por 8 + 1/2 pulgadas ( 140 mm × 220 mm ) .   

Hex es publicado actualmente por Nestorgames en tamaños de 11×11, 14×14 y 19×19. [ 7 ]

La máquina Hex de Shannon

Alrededor de 1950, Claude Shannon y EF Moore construyeron una máquina analógica para jugar al Hex, que consistía esencialmente en una red de resistencias con resistencias como aristas y bombillas como vértices. [ 8 ] El movimiento a realizar correspondía a un punto de silla específico en la red. La máquina jugaba una partida de Hex bastante buena. Posteriormente, investigadores que intentaban resolver el juego y desarrollar algoritmos informáticos para jugar al Hex emularon la red de Shannon para crear potentes máquinas de juego. [ 9 ]

Cronograma de investigación

Hein sabía en 1942 que Hex no podía terminar en empate; de ​​hecho, uno de sus criterios de diseño para el juego era que "exactamente uno de los dos jugadores pudiera conectar sus dos lados". [ 1 ] : 29

Hein también sabía que el primer jugador tenía una estrategia teórica ganadora. [ 1 ] : 42

En 1952, John Nash escribió una prueba de existencia de que en tableros simétricos, el primer jugador tiene una estrategia ganadora. [ 1 ] : 97

En 1964, el matemático Alfred Lehman demostró que Hex no puede representarse como un matroide binario , por lo que no se disponía de una estrategia ganadora determinada como la del juego de conmutación de Shannon en una cuadrícula rectangular regular. [ 10 ]

En 1981, Stefan Reisch demostró que Hex es PSPACE-completo. [ 11 ]

En 2002, se describió la primera estrategia ganadora explícita (una estrategia de tipo reducción) en un tablero de 7×7.

En la década de 2000, mediante el uso de algoritmos informáticos de búsqueda por fuerza bruta , se lograron resolver por completo tableros hexagonales de hasta 9×9 (a fecha de 2016).

A partir de 2006, el campo del hexadecimal computacional pasó a estar dominado por métodos de búsqueda en árbol de Monte Carlo tomados de implementaciones exitosas de Go. Estos reemplazaron implementaciones anteriores que combinaban la heurística de Shannon para jugar al hexadecimal con la búsqueda alfa-beta . En cuanto a las primeras implementaciones de hexadecimal computacional, cabe destacar Hexmaster de Dolphin Microware , publicado a principios de la década de 1980 para ordenadores Atari de 8 bits . [ 12 ]

Hasta 2019, los humanos seguían siendo mejores que las computadoras, al menos en tableros grandes como el de 19x19, pero el 30 de octubre de 2019 el programa Mootwo ganó contra el jugador humano con el mejor rango Elo en LittleGolem, también ganador de varios torneos (el juego está disponible aquí ). Este programa se basó en Polygames [ 13 ] (un proyecto de código abierto, desarrollado inicialmente por Facebook Artificial Intelligence Research y varias universidades [ 14 ] ) utilizando una mezcla de: [ 15 ]

  • aprendizaje cero como en AlphaZero
  • Invariancia del tamaño del tablero gracias a redes neuronales totalmente convolucionales (como en U-Net ) y agrupamiento.
  • y arquitecturas en crecimiento (el programa puede aprender en un tablero pequeño y luego extrapolar en un tablero grande, a diferencia de las afirmaciones populares justificadas [ 16 ] sobre métodos de inteligencia artificial anteriores, como el AlphaGo original ).

Estrategia

A partir de la demostración de una estrategia ganadora para el primer jugador, se sabe que el tablero Hex debe tener un tipo de conectividad compleja que nunca se ha resuelto. El juego consiste en crear pequeños patrones con un tipo de conectividad más simple, denominada "conectada de forma segura", y unirlos en secuencias que forman un "camino". Finalmente, uno de los jugadores logrará formar un camino conectado de forma segura con piedras y espacios entre sus lados del tablero y ganará. La etapa final del juego, si es necesario, consiste en rellenar los espacios vacíos del camino. [ 17 ]

Un "puente" (A ↔ C) es un ejemplo sencillo de un patrón conectado de forma segura. Consta de dos piedras del mismo color (A y C) y un par de espacios abiertos (B y D).

Un patrón de "conexión segura" se compone de piedras del color del jugador y espacios abiertos que pueden unirse en una cadena, una secuencia ininterrumpida de piedras adyacentes por los bordes, independientemente de cómo juegue el oponente. [ 18 ] Uno de los patrones más simples es el puente, que consiste en un rombo de dos piedras del mismo color y dos espacios vacíos, donde las dos piedras no se tocan. [ 19 ] Si el oponente juega en uno de los espacios, el jugador juega en el otro, creando una cadena continua. También existen patrones de conexión segura que unen piedras a los bordes. [ 20 ] Hay muchos más patrones de conexión segura, algunos bastante complejos, construidos a partir de otros más simples como los mostrados. Los patrones y caminos pueden ser interrumpidos por el oponente antes de que se completen, por lo que la configuración del tablero durante una partida real a menudo parece un mosaico en lugar de algo planeado o diseñado. [ 17 ]

Existen tipos de conectividad más débiles que la "conexión segura", que se dan entre piedras o entre patrones conectados de forma segura que tienen múltiples espacios entre ellos. [ 21 ] La parte central del juego consiste en crear una red de dichas piedras y patrones conectados débilmente [ 21 ] que, con suerte, permitirá al jugador, al completar los enlaces débiles, construir un único camino conectado de forma segura entre los lados a medida que avanza el juego. [ 21 ]

El éxito en Hex requiere una habilidad particular para visualizar la síntesis de patrones complejos de forma heurística y estimar si dichos patrones están conectados de manera "lo suficientemente fuerte" como para permitir una victoria final. [ 17 ] Esta habilidad es algo similar a la visualización de patrones, la secuenciación de movimientos y la evaluación de posiciones en el ajedrez. [ 22 ]

Teoría matemática

Determinación

No es difícil convencerse, mediante la exposición, de que Hex no puede terminar en empate, conocido como el "teorema de Hex". Es decir, no importa cómo se llene el tablero con piedras, siempre habrá un único jugador que haya conectado sus bordes. Este hecho era conocido por Piet Hein en 1942, quien lo mencionó como uno de sus criterios de diseño para Hex en el artículo original de Politiken. [ 1 ] : 29 Hein también afirmó este hecho como "una barrera para tu oponente es una conexión para ti". [ 1 ] : 35 John Nash redactó una demostración de este hecho alrededor de 1949, [ 23 ] pero aparentemente no la publicó. Su primera exposición aparece en un informe técnico interno de 1952, [ 24 ] en el que Nash afirma que "la conexión y el bloqueo del oponente son actos equivalentes". Una demostración más rigurosa fue publicada por John R. Pierce en su libro de 1961, Symbols, Signals, and Noise . [ 25 ]

Una demostración informal de la propiedad de no extracción de Hex se puede esbozar de la siguiente manera: en un tablero Hex completamente lleno, consideremos la componente conexa de una de las aristas rojas, es decir, todos los hexágonos rojos conectados directa o indirectamente a esa arista. El concepto de componente conexa está bien definido porque en una cuadrícula hexagonal, dos celdas solo pueden encontrarse en una arista o no encontrarse en absoluto; no es posible que las celdas se superpongan en un solo punto. Esta componente incluye la arista roja opuesta, en cuyo caso Rojo tiene un camino ganador de una arista a la otra, o no la incluye, en cuyo caso las fichas azules a lo largo del límite de la componente conexa forman un camino ganador para Azul.

En 1979, David Gale publicó una demostración de que la determinabilidad de Hex es equivalente al teorema del punto fijo de Brouwer bidimensional , y que la determinabilidad de variantes de n jugadores de dimensiones superiores demuestra el teorema del punto fijo en general. [ 26 ]

Victoria del primer jugador, prueba informal de existencia

En Hex, sin la regla de intercambio, en cualquier tablero de tamaño n x n , el primer jugador tiene una estrategia teórica ganadora. Este hecho fue mencionado por Hein en sus notas para una conferencia que impartió en 1943: «a diferencia de la mayoría de los demás juegos, se puede demostrar que el primer jugador, en teoría, siempre puede ganar, es decir, si pudiera prever el final de todas las posibles líneas de juego». [ 1 ] : 42

Todas las pruebas conocidas de este hecho son no constructivas, es decir, la prueba no da ninguna indicación de cuál es la estrategia ganadora real. Aquí hay una versión condensada de una prueba que se atribuye a John Nash alrededor de 1949. [ 2 ] La prueba funciona para varios juegos, incluido Hex, y se ha llegado a llamar el argumento del robo de estrategia .

  1. Dado que Hex es un juego finito para dos jugadores con información perfecta, o bien el primer o el segundo jugador tiene una estrategia ganadora, o bien ambos pueden forzar un empate según el teorema de Zermelo .
  2. Dado que los empates son imposibles (véase más arriba), podemos concluir que el primer o el segundo jugador tiene una estrategia ganadora.
  3. Supongamos que el segundo jugador tiene una estrategia ganadora.
  4. El primer jugador puede adoptar la siguiente estrategia. Realiza un movimiento arbitrario. A continuación, aplica la estrategia ganadora del segundo jugador descrita anteriormente. Si al aplicar esta estrategia se le exige jugar en la casilla donde realizó un movimiento arbitrario, realiza otro movimiento arbitrario. [ nota 1 ] De esta forma, aplica la estrategia ganadora manteniendo siempre una pieza extra en el tablero.
  5. Esta pieza adicional no puede interferir con la imitación de la estrategia ganadora del primer jugador, ya que una pieza extra nunca supone una desventaja. Por lo tanto, el primer jugador puede ganar.
  6. Dado que ahora hemos contradicho nuestra suposición de que existe una estrategia ganadora para el segundo jugador, concluimos que no existe ninguna estrategia ganadora para el segundo jugador.
  7. Por consiguiente, debe existir una estrategia ganadora para el primer jugador.

Complejidad computacional

En 1976, Shimon Even y Robert Tarjan demostraron que determinar si una posición en un juego de Hex generalizado jugado en grafos arbitrarios es una posición ganadora es PSPACE-completo . [ 27 ] Reisch demostró un fortalecimiento de este resultado al reducir el problema de la fórmula booleana cuantificada en forma normal conjuntiva a Hex. [ 28 ] Este resultado significa que no hay un algoritmo eficiente (tiempo polinomial en tamaño de tablero) para resolver una posición arbitraria de Hex a menos que haya un algoritmo eficiente para todos los problemas PSPACE, lo cual se cree ampliamente que no es el caso. [ 29 ] Sin embargo, no descarta la posibilidad de una estrategia ganadora simple para la posición inicial (en tableros de tamaño arbitrario), o una estrategia ganadora simple para todas las posiciones en un tablero de un tamaño particular.

En un hexadecimal de 11×11, la complejidad del espacio de estados es aproximadamente 2,4× 10⁵⁶ ; [ 30 ] frente a 4,6× 10⁴⁶ para el ajedrez. [ 31 ] La complejidad del árbol de juego es aproximadamente 10⁹⁸ [ 32 ] frente a 10¹²³ para el ajedrez. [ 33 ]

Estrategias computacionales para tableros más pequeños

En 2002, Jing Yang, Simon Liao y Mirek Pawlak encontraron una estrategia ganadora explícita para el primer jugador en tableros hexagonales de tamaño 7×7 usando un método de descomposición con un conjunto de patrones locales reutilizables. [ 34 ] Extendieron el método para resolver débilmente el par central de aperturas topológicamente congruentes en tableros de 8×8 en 2002 y la apertura central en tableros de 9×9 en 2003. [ 35 ] En 2009, Philip Henderson, Broderick Arneson y Ryan B. Hayward completaron el análisis del tablero de 8×8 con una búsqueda computarizada, resolviendo todas las aperturas posibles. [ 36 ] En 2013, Jakub Pawlewicz y Ryan B. Hayward resolvieron todas las aperturas para tableros de 9×9, y un movimiento de apertura (el más central) en el tablero de 10×10. [ 37 ] Desde que Gardner postuló por primera vez en su columna en Scientific American en 1957, aunque de manera engañosa, que cualquier primer movimiento en la diagonal corta es un movimiento ganador, [ 38 ] para todos los tableros de juego resueltos hasta n=9, ese ha sido el caso. Además, para todos los tableros excepto n=2 y n=4, ha habido numerosos primeros movimientos ganadores adicionales; el número de primeros movimientos ganadores generalmente es ≥ n²/2.

Variantes

Otros juegos de conexión con objetivos similares pero estructuras diferentes incluyen el juego de intercambio de Shannon (también conocido como Gale y Bridg-It) y TwixT . Ambos guardan cierto grado de similitud con el antiguo juego chino de Go .

Cuadrículas rectangulares, papel y lápiz.

El juego puede practicarse en una cuadrícula rectangular, como un tablero de ajedrez, damas o go, considerando que las casillas (intersecciones en el caso del go) están conectadas en una dirección diagonal, pero no en la otra. También puede jugarse con papel y lápiz sobre una cuadrícula rectangular de puntos, utilizando dos lápices de colores diferentes.

Tamaños de tablero

Además del estándar 11×11, otras dimensiones populares son 13×13 y 19×19, debido a la relación del juego con el antiguo juego de Go . Según el libro Una mente brillante , John Nash (uno de los inventores del juego) defendía el tamaño óptimo de 14×14.

Rex (Hexágono inverso)

La variante misère de Hex se llama "Rex", en la que cada jugador intenta obligar a su oponente a hacer una cadena. Rex es más lento que Hex ya que, en cualquier tablero vacío con dimensiones iguales, el jugador perdedor puede retrasar la derrota hasta que todo el tablero esté lleno. [ 39 ] En tableros con dimensiones desiguales, el jugador cuyos lados estén más separados puede ganar independientemente de quién juegue primero. [ 40 ] En tableros con dimensiones iguales, el primer jugador puede ganar en un tablero con un número par de celdas por lado, y el segundo jugador puede ganar en un tablero con un número impar. [ 41 ] [ 42 ] En tableros con un número par, uno de los movimientos ganadores del primer jugador es siempre colocar una piedra en la esquina aguda. [ 39 ]

Éxitos de taquilla

Hex tuvo una versión en el tablero de preguntas del programa de televisión Blockbusters . Para realizar un "movimiento", los concursantes debían responder correctamente a una pregunta. El tablero tenía 5 columnas alternas de 4 hexágonos; el jugador individual podía conectar de arriba a abajo en 4 movimientos, mientras que el equipo de dos podía conectar de izquierda a derecha en 5 movimientos.

Y

El juego Y es una versión de Hex que se juega en una cuadrícula triangular de hexágonos; el objetivo es que cualquiera de los jugadores conecte los tres lados del triángulo. Y es una generalización de Hex, ya que cualquier posición en un tablero de Hex puede representarse como una posición equivalente en un tablero Y más grande.

La Habana

Havannah es un juego basado en Hex. [ 43 ] También tiene un espacio de tablero compuesto por fichas hexagonales, sin embargo, el tablero en sí tiene la forma de un gran hexágono, y se logra una victoria al formar uno de tres patrones.

Proyecto

Projex es una variación de Hex que se juega en un plano proyectivo real , donde los jugadores tienen el objetivo de crear un bucle no contraíble . [ 44 ] Al igual que en Hex, no hay empates y no hay ninguna posición en la que ambos jugadores tengan una conexión ganadora.

Hexágono oscuro

Dark Hex (también conocido como Phantom Hex) es una versión de Hex con información imperfecta. [ 45 ] Los jugadores no tienen acceso a las piedras de los demás en ningún momento del juego, a menos que las descubran primero. El juego se desarrolla en presencia de un árbitro, donde cada jugador verifica primero si su movimiento es una colisión o no. A partir de este punto, el juego tiene diferentes versiones.

Competencia

Hasta 2016, se reportaron torneos presenciales en Brasil, República Checa, Dinamarca, Francia, Alemania, Italia, Países Bajos, Noruega, Polonia, Portugal, España, Reino Unido y Estados Unidos. Una de las mayores competiciones de Hex es organizada por el Comité Internacional de Juegos Matemáticos en París, Francia, que se celebra anualmente desde 2013. Hex también forma parte de la Olimpiada de Computación . [ 46 ] Durante esta competición se utiliza la regla del pastel.

Reseñas

Véase también

Notas

  1. ↑ Si el tablero se ha llenado por completo, entonces un jugador ya debe haber ganado, y debe ser el primer jugador que ha estado jugando una estrategia ganadora.

Referencias

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  48. ↑ «Juegos y estrategias 06» . Diciembre de 1980.

Lecturas adicionales

  • Estrategia Hex: Cómo establecer las conexiones correctas , Browne C. (2000), AK Peters Ltd. Natick, MA. ISBN 1-56881-117-9(Edición de bolsillo, 363 páginas)
  • HEX: La historia completa , Hayward R. con Toft B. (2019), CRC Press Boca Raton, FL. ISBN 978-0-367-14422-7(libro de bolsillo)
  • Hex: Una guía de estrategia ( libro gratuito en línea) de Matthew Seymour
  • 500 rompecabezas hexagonales: rompecabezas tácticos interactivos de Matthew Seymour.
  • Guía para principiantes de Hex Hex Estrategia para principiantes por Matthew Seymour y Eric Silverman
  • Tesis sobre Hex archivada el 6 de noviembre de 2020 en la Wayback Machine : historia, clasificación y complejidad.
  • HexWiki , una wiki dedicada a Hex.
  • Grupo de Investigación de Hexadecimal Computacional de la Universidad de Alberta
  • Página de teoría que recopila trabajos teóricos sobre Hex (movida: páginas de nivel superior en el archivo de Hex ; el material descargable ya no está disponible).
  • Hex en BoardGameGeek
  • Juego de Hex en MathWorld con enlaces a artículos matemáticos relacionados.
  • Tableros hexagonales imprimibles en papel A4 o A3, para usar con piedras de Go estándar.
  • Tablero hexagonal imprimible a 300 ppp https://sites.google.com/view/cavegames-hex/home
  • Juega a Hex Online en Play Abstract Games, una versión gratuita para navegador con oponentes controlados por IA.