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Articulo de referencia

Distribución gamma

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En teoría de la probabilidad y estadística , la distribución gamma es una familia versátil de distribuciones de probabilidad continuas con dos parámetros . [ 1 ] La distribución exponencial , la distribución de Erlang y la distribución chi-cuadrado son casos especiales de la distribución gamma. [ 2 ] Existen dos parametrizaciones equivalentes de uso común:

  1. Con un parámetro de formaα{\displaystyle \alpha }y un parámetro de escala θ
  2. Con un parámetro de formaα{\displaystyle \alpha }y un parámetro de tasaβ=1/θ{\displaystyle \beta =1/\theta }⁠

En cada una de estas formas, ambos parámetros son números reales positivos.

La distribución tiene aplicaciones importantes en varios campos, incluyendo econometría , estadística bayesiana y pruebas de vida. [ 3 ] En econometría, la parametrización ( α , θ ) es común para modelar tiempos de espera, como el tiempo hasta la muerte, donde a menudo toma la forma de una distribución de Erlang para valores enteros de α . Los estadísticos bayesianos prefieren la parametrización ( α , β ), utilizando la distribución gamma como una distribución a priori conjugada para varios parámetros de escala inversa, lo que facilita la tratabilidad analítica en los cálculos de la distribución posterior.

La distribución gamma es la distribución de probabilidad de máxima entropía (tanto con respecto a una medida base uniforme como a una1/incógnita{\displaystyle 1/x}medida base) para una variable aleatoria X para la cual E [ X ] = αθ = α / β es fijo y mayor que cero, y E [ln X ] = ψ ( α ) + ln θ = ψ ( α ) − ln β es fijo ( ψ es la función digamma ). [ 4 ]

Definiciones

La parametrización con α y θ parece ser más común en econometría y otros campos aplicados, donde la distribución gamma se usa frecuentemente para modelar los tiempos de espera. Por ejemplo, en las pruebas de supervivencia , el tiempo de espera hasta la muerte es una variable aleatoria que se modela frecuentemente con una distribución gamma. Véase Hogg y Craig [ 5 ] para una justificación explícita.

La parametrización con α y β es más común en la estadística bayesiana , [ 6 ] donde la distribución gamma se utiliza como una distribución a priori conjugada para varios tipos de parámetros de escala inversa (tasa), como la λ de una distribución exponencial o una distribución de Poisson [ 7 ] , o incluso la β de la propia distribución gamma. La distribución gamma inversa, estrechamente relacionada , se utiliza como una distribución a priori conjugada para parámetros de escala, como la varianza de una distribución normal .

Si α es un entero positivo , entonces la distribución representa una distribución de Erlang ; es decir, la suma de α variables aleatorias independientes distribuidas exponencialmente , cada una de las cuales tiene una media de θ .

Caracterización mediante la forma α y la velocidad β

La distribución gamma se puede parametrizar en términos de un parámetro de forma α y un parámetro de escala inversa β = 1/ θ , llamado parámetro de tasa . Una variable aleatoria X que sigue una distribución gamma con forma α y tasa β se denota

incógnita∼Γ(α,β)≡Gama⁡(α,β){\displaystyle X\sim \Gamma (\alpha ,\beta )\equiv \operatorname {Gamma} (\alpha ,\beta )}

La función de densidad de probabilidad correspondiente en la parametrización de tasa de forma es

F(incógnita;α,β)=incógnitaα−1mi−βincógnitaβαΓ(α) para incógnita>0α,β>0,{\displaystyle {\begin{aligned}f(x;\alpha ,\beta )&={\frac {x^{\alpha -1}e^{-\beta x}\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\quad {\text{ para }}x>0\quad \alpha ,\beta >0,\\[6pt]\end{aligned}}}

dóndeΓ(α){\displaystyle \Gamma (\alpha)}es la función gamma . Para todos los enteros positivos,Γ(α)=(α−1)¡{\displaystyle \Gamma (\alpha )=(\alpha -1)!}.

La función de distribución acumulativa es la función gamma regularizada:

F(incógnita;α,β)=∫0incógnitaF(tú;α,β)dtú=γ(α,βincógnita)Γ(α),{\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )=\int _{0}^{x}f(u;\alpha ,\beta )\,du={\frac {\gamma (\alpha ,\beta x)}{\Gamma (\alpha )}},}

dóndeγ(α,βincógnita){\displaystyle \gamma (\alpha ,\beta x)}es la función gamma incompleta inferior .

Si α es un entero positivo (es decir, la distribución es una distribución de Erlang ), la función de distribución acumulativa tiene la siguiente expansión en serie: [ 8 ]

F(incógnita;α,β)=1−∑i=0α−1(βincógnita)ii¡mi−βincógnita=mi−βincógnita∑i=α∞(βincógnita)ii¡.{\displaystyle {\begin{aligned}F(x;\alpha ,\beta )&=1-\sum _{i=0}^{\alpha -1}{\frac {\left(\beta x\right)^{i}}{i!}}e^{-\beta x}\\[1ex]&=e^{-\beta x}\sum _{i=\alpha }^{\infty }{\frac {\left(\beta x\right)^{i}}{i!}}.\end{aligned}}}

Caracterización mediante la forma α y la escala θ

Una variable aleatoria X que sigue una distribución gamma con forma α y escala θ se denota por

incógnita∼Γ(α,θ)≡Gama⁡(α,θ){\displaystyle X\sim \Gamma (\alpha,\theta)\equiv \operatorname {Gamma} (\alpha,\theta)}

Ilustración de la función de densidad de probabilidad gamma para valores de parámetros sobre α y x con θ establecido en 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Aquí se puede ver cada capa θ por separado. así como por α y x . .

La función de densidad de probabilidad utilizando la parametrización de forma y escala es

F(incógnita;α,θ)=incógnitaα−1mi−incógnita/θθαΓ(α) para incógnita>0 y α,θ>0.{\displaystyle f(x;\alpha ,\theta )={\frac {x^{\alpha -1}e^{-x/\theta }}{\theta ^{\alpha }\Gamma (\alpha )}}\quad {\text{ para }}x>0{\text{ y }}\alpha ,\theta >0.}

Aquí Γ( α ) es la función gamma evaluada en α .

La función de distribución acumulativa es la función gamma regularizada:

F(incógnita;α,θ)=∫0incógnitaF(tú;α,θ)dtú=γ(α,incógnitaθ)Γ(α),{\displaystyle F(x;\alpha ,\theta )=\int _{0}^{x}f(u;\alpha ,\theta )\,du={\frac {\gamma {\left(\alpha ,{\frac {x}{\theta }}\right)}}{\Gamma (\alpha )}},}

dóndeγ(α,incógnitaθ){\textstyle \gamma {\left(\alpha ,{\frac {x}{\theta }}\right)}}es la función gamma incompleta inferior .

También se puede expresar de la siguiente manera, si α es un entero positivo (es decir, la distribución es una distribución de Erlang ): [ 8 ]

F(incógnita;α,θ)=1−∑i=0α−11i¡(incógnitaθ)imi−incógnita/θ=mi−incógnita/θ∑i=α∞1i¡(incógnitaθ)i.{\displaystyle F(x;\alpha ,\theta )=1-\sum _{i=0}^{\alpha -1}{\frac {1}{i!}}\left({\frac {x}{\theta }}\right)^{i}e^{-x/\theta }=e^{-x/\theta }\sum _{i=\alpha }^{\infty }{\frac {1}{i!}}\left({\frac {x}{\theta }}\right)^{i}.}

Ambas parametrizaciones son comunes porque cualquiera de ellas puede resultar más conveniente dependiendo de la situación.

Propiedades

Media y varianza

La media de la distribución gamma viene dada por el producto de sus parámetros de forma y escala: μ=αθ=α/β{\displaystyle \mu =\alpha \theta =\alpha /\beta } La varianza es: σ2=αθ2=α/β2{\displaystyle \sigma ^{2}=\alpha \theta ^{2}=\alpha /\beta ^{2}} La raíz cuadrada del inverso del parámetro de forma da el coeficiente de variación : σ/μ=α−0,5=1/α{\displaystyle \sigma /\mu =\alpha ^{-0.5}=1/{\sqrt {\alpha }}}

Oblicuidad

La asimetría de la distribución gamma solo depende de su parámetro de forma, α , y es igual a2/α.{\displaystyle 2/{\sqrt {\alpha }}.}

Momentos más elevados

El r -ésimo momento bruto viene dado por:

mi[incógnitar]=θrΓ(α+r)Γ(α)=θrαr¯{\displaystyle \mathrm {E} [X^{r}]=\theta ^{r}{\frac {\Gamma (\alpha +r)}{\Gamma (\alpha )}}=\theta ^{r}\alpha ^{\overline {r}}}

conαr¯{\displaystyle \alpha ^{\overline {r}}}el factorial creciente .

Cumulantes

El r -ésimo cumulante viene dado por:

κr=θrα(r−1)¡=θrαΓ(r){\displaystyle \kappa _{r}=\theta ^{r}\alpha (r-1)!=\theta ^{r}\alpha \Gamma (r)}.

Aproximaciones y límites de la mediana

Límites y aproximaciones asintóticas a la mediana de la distribución gamma. La región de color cian indica la gran diferencia entre los límites inferiores y superiores publicados antes de 2021.

A diferencia de la moda y la media, que tienen fórmulas fácilmente calculables basadas en los parámetros, la mediana no tiene una ecuación de forma cerrada. La mediana para esta distribución es el valorν{\displaystyle \nu }de tal manera que 1Γ(α)θα∫0νincógnitaα−1mi−incógnita/θdincógnita=12.{\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (\alpha )\theta ^{\alpha }}}\int _{0}^{\nu }x^{\alpha -1}e^{-x/\theta }dx={\frac {1}{2}}.}

Un tratamiento riguroso del problema de determinar una expansión asintótica y límites para la mediana de la distribución gamma fue abordado primero por Chen y Rubin, quienes demostraron que (paraθ=1{\displaystyle \theta =1}) α−13<ν(α)<α,{\displaystyle \alpha -{\tfrac {1}{3}}<\nu (\alpha )<\alpha ,} dóndeμ(α)=α{\displaystyle \mu (\alpha )=\alpha }es la media yν(α){\displaystyle \nu (\alpha )}es la mediana de laGama(α,1){\displaystyle {\text{Gamma}}(\alpha ,1)}distribución. [ 9 ] Para otros valores del parámetro de escala, la media se escala aμ=αθ{\displaystyle \mu =\alpha \theta }y los límites medianos y las aproximaciones se escalarían de manera similar por θ .

KP Choi encontró los primeros cinco términos en una aproximación asintótica de la mediana en serie de Laurent comparando la mediana con la de Ramanujan.θ{\displaystyle \theta }función . [ 10 ] Berg y Pedersen encontraron más términos: [ 11 ]ν(α)=α−13+8405α−1+18425515α−2+22483444525α−3−1900640815345358875α−4−O(α−5)+⋯{\displaystyle {\begin{aligned}\nu (\alpha )=\alpha &-{\frac {1}{3}}+{\frac {8}{405}}\alpha ^{-1}+{\frac {184}{25\,515}}\alpha ^{-2}+{\frac {2248}{3\,444\,525}}\alpha ^{-3}\\[1ex]&-{\frac {19\,006\,408}{15\,345\,358\,875}}\alpha ^{-4}-{\mathcal {O}}{\left(\alpha ^{-5}\right)}+\cdots \end{aligned}}}

Dos asíntotas medianas de la distribución gamma que se demostraron en 2023 como límites (superior rojo continuo e inferior rojo discontinuo), de laν(α)≈2−1/α(A+α){\displaystyle \nu (\alpha )\approx 2^{-1/\alpha }(A+\alpha )}y una interpolación entre ellos que produce una aproximación (línea roja punteada) que es exacta en α = 1 y tiene un error relativo máximo de aproximadamente 0,6 %. La región sombreada en cian es la brecha restante entre los límites superior e inferior (o límites conjeturados), incluyendo estos nuevos límites y los límites de la figura anterior.
Gráfico logarítmico de los límites superior (línea continua) e inferior (línea discontinua) de la mediana de una distribución gamma y las brechas entre ellos. Las regiones verde, amarilla y cian representan la brecha anterior al artículo de Lyon de 2021. Las regiones verde y amarilla reducen esa brecha con los límites inferiores que Lyon demostró. Los límites de Lyon, demostrados en 2023, reducen aún más la región amarilla. En su mayoría dentro de la región amarilla, se representan los límites conjeturados interpolados mediante funciones racionales en forma cerrada, junto con el valor de la mediana calculado numéricamente (línea punteada). Existen límites interpolados más ajustados, pero no se representan, ya que no se podrían resolver a esta escala.

Las sumas parciales de estas series son buenas aproximaciones para valores de α suficientemente altos ; no se representan en la figura, que se centra en la región de α bajo , que está menos bien aproximada.

Berg y Pedersen también demostraron muchas propiedades de la mediana, mostrando que es una función convexa de α , [ 12 ] y que el comportamiento asintótico cerca deα=0{\displaystyle \alpha =0}esν(α)≈mi−γ2−1/α{\displaystyle \nu (\alpha )\approx e^{-\gamma }2^{-1/\alpha }}(donde γ es la constante de Euler-Mascheroni ), y que para todoα>0{\displaystyle \alpha >0}La mediana está delimitada porα2−1/α<ν(α)<kmi−1/3k{\displaystyle \alpha 2^{-1/\alpha }<\nu (\alpha )<ke^{-1/3k}}. [ 11 ]

Un límite superior lineal más cercano, paraα≥1{\displaystyle \alpha \geq 1}solamente, fue proporcionado en 2021 por Gaunt y Merkle, [ 13 ] basándose en el resultado de Berg y Pedersen de que la pendiente deν(α){\displaystyle \nu (\alpha )}es en todas partes menor que 1: ν(α)≤α−1+registro⁡2  {\displaystyle \nu (\alpha )\leq \alpha -1+\log 2~~}paraα≥1{\displaystyle \alpha \geq 1}(con igualdad enα=1{\displaystyle \alpha =1}) que puede extenderse a una cota para todoα>0{\displaystyle \alpha >0}tomando el máximo con la cuerda mostrada en la figura, ya que se demostró que la mediana es convexa. [ 12 ]

Una aproximación a la mediana que es asintóticamente precisa para valores altos de α y razonable hastaα=0,5{\displaystyle \alpha =0.5}o un poco más bajo se deduce de la transformación de Wilson-Hilferty : ν(α)=α(1−19α)3{\displaystyle \nu (\alpha )=\alpha \left(1-{\frac {1}{9\alpha }}\right)^{3}} lo cual se vuelve negativo paraα<1/9{\displaystyle \alpha <1/9}.

En 2021, Lyon propuso varias aproximaciones de la formaν(α)≈2−1/α(A+Bα){\displaystyle \nu (\alpha )\approx 2^{-1/\alpha }(A+B\alpha )}Conjeturó valores de A y B para los cuales esta aproximación es una cota superior o inferior asintóticamente ajustada para todosα>0{\displaystyle \alpha >0}. [ 14 ] En particular, propuso estas cotas de forma cerrada, que demostró en 2023: [ 15 ]

νL∞(α)=2−1/α(registro⁡2−13+α){\displaystyle \nu _{L\infty }(\alpha )=2^{-1/\alpha }\left(\log 2-{\tfrac {1}{3}}+\alpha \right)}es una cota inferior, asintóticamente ajustada comoα→∞{\displaystyle \alpha \to \infty }νU(α)=2−1/α(mi−γ+α){\displaystyle \nu _{U}(\alpha )=2^{-1/\alpha }(e^{-\gamma }+\alpha )\quad }es una cota superior, asintóticamente ajustada comoα→0{\displaystyle \alpha \to 0}

Lyon también mostró (de manera informal en 2021, rigurosamente en 2023) otros dos límites inferiores que no son expresiones de forma cerrada , incluyendo este que involucra la función gamma , basado en resolver la expresión integral sustituyendo 1 pormi−incógnita{\displaystyle e^{-x}}: ν(α)>(2Γ(α+1))−1/α{\displaystyle \nu (\alpha )>\left({\frac {2}{\Gamma (\alpha +1)}}\right)^{-1/\alpha }}(acercarse a la igualdad comok→0{\displaystyle k\to 0}) y la línea tangente enα=1{\displaystyle \alpha =1}donde se encontró que la derivada eraν′(1)≈0,9680448{\displaystyle \nu ^{\prime }(1)\approx 0.9680448}: ν(α)≥ν(1)+(α−1)ν′(1){\displaystyle \nu (\alpha )\geq \nu (1)+(\alpha -1)\nu ^{\prime }(1)\quad }(con igualdad enk=1{\displaystyle k=1}) ν(α)≥registro⁡2+(α−1)[γ−2Ei⁡(−registro⁡2)−registro⁡registro⁡2]{\displaystyle \nu (\alpha )\geq \log 2+(\alpha -1)\left[\gamma -2\operatorname {Ei} (-\log 2)-\log \log 2\right]} donde Ei es la integral exponencial . [ 14 ] [ 15 ]

Además, demostró que las interpolaciones entre límites podrían proporcionar excelentes aproximaciones o límites más ajustados a la mediana, incluyendo una aproximación que es exacta enα=1{\displaystyle \alpha =1}(dóndeν(1)=registro⁡2{\displaystyle \nu (1)=\log 2}) y tiene un error relativo máximo inferior al 0,6%. Las aproximaciones y cotas interpoladas son todas de la forma ν(α)≈gramo~(α)νL∞(α)+(1−gramo~(α))νU(α){\displaystyle \nu (\alpha )\approx {\tilde {g}}(\alpha )\nu _{L\infty }(\alpha )+(1-{\tilde {g}}(\alpha ))\nu _{U}(\alpha )} dóndegramo~{\displaystyle {\tilde {g}}}es una función de interpolación que va monótonamente de 0 para valores bajos de α a 1 para valores altos de α , aproximando un interpolador ideal o exacto.gramo(α){\displaystyle g(\alpha )}: gramo(α)=νU(α)−ν(α)νU(α)−νL∞(α){\displaystyle g(\alpha )={\frac {\nu _{U}(\alpha )-\nu (\alpha )}{\nu _{U}(\alpha )-\nu _{L\infty }(\alpha )}}} Para la función de interpolación más simple considerada, una función racional de primer orden gramo~1(α)=αb0+α{\displaystyle {\tilde {g}}_{1}(\alpha )={\frac {\alpha }{b_{0}+\alpha }}} el límite inferior más ajustado tiene b0=8405+mi−γregistro⁡2−registro2⁡22mi−γ−registro⁡2+13−registro⁡2≈0,143472{\displaystyle b_{0}={\frac {{\frac {8}{405}}+e^{-\gamma }\log 2-{\frac {\log ^{2}2}{2}}}{e^{-\gamma }-\log 2+{\frac {1}{3}}}}-\log 2\approx 0.143472} y el límite superior más ajustado tiene b0=mi−γ−registro⁡2+131−mi−γπ212≈0,374654{\displaystyle b_{0}={\frac {e^{-\gamma }-\log 2+{\frac {1}{3}}}{1-{\frac {e^{-\gamma }\pi ^{2}}{12}}}}\approx 0.374654} Los límites interpolados se representan gráficamente (principalmente dentro de la región amarilla) en el gráfico logarítmico doble que se muestra. Se pueden obtener límites aún más ajustados utilizando diferentes funciones de interpolación, pero no suelen tener parámetros de forma cerrada como estos. [ 14 ]

Suma

Si X i tiene una distribución Gamma( α i , θ ) para i = 1, 2, ..., N (es decir, todas las distribuciones tienen el mismo parámetro de escala θ ), entonces

∑i=1norteincógnitai∼GRAMOametrometroa(∑i=1norteαi,θ){\displaystyle \sum _{i=1}^{N}X_{i}\sim \mathrm {Gamma} \left(\sum _{i=1}^{N}\alpha _{i},\theta \right)}

siempre que todos los X i sean independientes .

Para los casos en que los X i son independientes pero tienen diferentes parámetros de escala, véase Mathai [ 16 ] o Moschopoulos. [ 17 ]

La distribución gamma presenta divisibilidad infinita .

Escalada

Si incógnita∼GRAMOametrometroa(α,θ),{\displaystyle X\sim \mathrm {Gamma} (\alpha ,\theta ),}

entonces, para cualquier c > 0 ,

doincógnita∼GRAMOametrometroa(α,doθ),{\displaystyle cX\sim \mathrm {Gamma} (\alpha ,c\,\theta ),}mediante funciones generadoras de momentos,

o equivalentemente, si

incógnita∼GRAMOametrometroa(α,β){\displaystyle X\sim \mathrm {Gamma} \left(\alpha ,\beta \right)}(Parametrización de la tasa de forma)

doincógnita∼GRAMOametrometroa(α,βdo),{\displaystyle cX\sim \mathrm {Gamma} \left(\alpha ,{\frac {\beta }{c}}\right),}

De hecho, sabemos que si X es una variable aleatoria exponencial con tasa β , entonces cX es una variable aleatoria exponencial con tasa β / c ; lo mismo es válido con las variables aleatorias Gamma (y esto se puede comprobar utilizando la función generadora de momentos , véase, por ejemplo, estas notas , 10.4-(ii)): la multiplicación por una constante positiva c divide la tasa (o, equivalentemente, multiplica la escala).

Familia exponencial

La distribución gamma es una familia exponencial de dos parámetros con parámetros naturales α − 1 y −1/ θ (equivalentemente, α − 1 y − β ), y estadísticas naturales X y ln X .

Si el parámetro de forma α se mantiene fijo, la familia de distribuciones de un parámetro resultante es una familia exponencial natural .

Esperanza logarítmica y varianza

Se puede demostrar que

mi⁡[ln⁡incógnita]=ψ(α)−ln⁡β{\displaystyle \operatorname {E} [\ln X]=\psi (\alpha )-\ln \beta }

o equivalentemente,

mi⁡[ln⁡incógnita]=ψ(α)+ln⁡θ{\displaystyle \operatorname {E} [\ln X]=\psi (\alpha )+\ln \theta }

donde ψ es la función digamma . Asimismo,

var⁡[ln⁡incógnita]=ψ(1)(α){\displaystyle \operatorname {var} [\ln X]=\psi ^{(1)}(\alpha )}

dóndeψ(1){\displaystyle \psi ^{(1)}}es la función trigamma .

Esto se puede derivar utilizando la fórmula de la familia exponencial para la función generadora de momentos del estadístico suficiente , porque uno de los estadísticos suficientes de la distribución gamma es ln x .

entropía de la información

La entropía de la información es

H⁡(incógnita)=mi⁡[−ln⁡pag(incógnita)]=mi⁡[−αln⁡β+ln⁡Γ(α)−(α−1)ln⁡incógnita+βincógnita]=α−ln⁡β+ln⁡Γ(α)+(1−α)ψ(α).{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {H} (X)&=\operatorname {E} [-\ln p(X)]\\[4pt]&=\operatorname {E} [-\alpha \ln \beta +\ln \Gamma (\alpha )-(\alpha -1)\ln X+\beta X]\\[4pt]&=\alpha -\ln \beta +\ln \Gamma (\alpha )+(1-\alpha )\psi (\alpha ).\end{aligned}}}

En la parametrización α , θ , la entropía de la información viene dada por

H⁡(incógnita)=α+ln⁡θ+ln⁡Γ(α)+(1−α)ψ(α).{\displaystyle \operatorname {H} (X)=\alpha +\ln \theta +\ln \Gamma (\alpha )+(1-\alpha )\psi (\alpha ).}

Divergencia de Kullback-Leibler

Ilustración de la divergencia de Kullback-Leibler (KL) para dos funciones de densidad de probabilidad gamma. Aquí β = β 0 + 1 , cuyos valores se establecen en 1, 2, 3, 4, 5 y 6. La asimetría típica de la divergencia KL es claramente visible. 

La divergencia de Kullback-Leibler (divergencia KL) de Gamma( α p , β p ) (distribución "verdadera") de Gamma( α q , β q ) (distribución "aproximada") viene dada por [ 18 ].

DKL(αpag,βpag;αq,βq)=(αpag−αq)ψ(αpag)−registro⁡Γ(αpag)Γ(αq)+αqregistro⁡βpagβq+αpag(βqβpag−1).{\displaystyle {\begin{aligned}D_{\mathrm {KL} }(\alpha _{p},\beta _{p};\alpha _{q},\beta _{q})={}&(\alpha _{p}-\alpha _{q})\psi (\alpha _{p})-\log {\frac {\Gamma (\alpha _{p})}{\Gamma (\alpha _{q})}}\\&{}+\alpha _{q}\log {\frac {\beta _{p}}{\beta _{q}}}+\alpha _{p}\left({\frac {\beta _{q}}{\beta _{p}}}-1\right).\end{aligned}}}

Escrita usando la parametrización α , θ , la divergencia KL de Gamma( α p , θ p ) de Gamma( α q , θ q ) viene dada por

DKL(αpag,θpag;αq,θq)=(αpag−αq)ψ(αpag)−registro⁡Γ(αpag)Γ(αq)+αqregistro⁡θqθpag+αpag(θpagθq−1).{\displaystyle {\begin{aligned}D_{\mathrm {KL} }(\alpha _{p},\theta _{p};\alpha _{q},\theta _{q})={}&(\alpha _{p}-\alpha _{q})\psi (\alpha _{p})-\log {\frac {\Gamma (\alpha _{p})}{\Gamma (\alpha _{q})}}\\&{}+\alpha _{q}\log {\frac {\theta _{q}}{\theta _{p}}}+\alpha _{p}\left({\frac {\theta _{p}}{\theta _{q}}}-1\right).\end{aligned}}}

Transformación de Laplace

La transformada de Laplace de la función de densidad de probabilidad gamma, que es la función generadora de momentos de la distribución gamma, es

F(s)=mi⁡[mi−sincógnita]=1(1+θs)α=(ββ+s)α{\displaystyle F(s)=\operatorname {E} \left[e^{-sX}\right]={\frac {1}{\left(1+\theta s\right)^{\alpha }}}=\left({\frac {\beta }{\beta +s}}\right)^{\alpha }}

(dóndeincógnita{\textstyle X}es una variable aleatoria con esa distribución).

Ancho total a la mitad del máximo

El ancho completo a media altura de una distribución de probabilidad unimodal es la diferencia entre los dos valores del soporte que producen una salida de la mitad del valor máximo de la función cuando se evalúa mediante la función de densidad de probabilidad de la distribución . Para la distribución gamma con parámetro de formaα>1{\displaystyle \alpha >1}, el FWHM es [ 19 ]

FWHMETRO=(α−1)θ[W0(−2−1/(α−1)mi)−W−1(−2−1/(α−1)mi)]{\displaystyle \mathrm {FWHM} =(\alpha -1)\theta \left[W_{0}\left(-{\frac {2^{-1/(\alpha -1)}}{e}}\right)-W_{-1}\left(-{\frac {2^{-1/(\alpha -1)}}{e}}\right)\right]}

Cuandoα=1{\displaystyle \alpha =1}, la distribución gamma se reduce a una distribución exponencial , cuyo FWHM es

FWHMETRO=θln⁡2{\displaystyle \mathrm {FWHM} =\theta \ln {2}}

Cuandoα<1{\displaystyle \alpha <1}La distribución gamma no tiene un modo finito y, por lo tanto, no tiene un FWHM bien definido.

General

  • Dejarincógnita1,incógnita2,…,incógnitanorte{\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}sernorte{\displaystyle n}variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas que siguen una distribución exponencial con parámetro de tasa β , entonces∑iincógnitai∼Gama⁡(norte,β){\textstyle \sum _{i}X_{i}\sim \operatorname {Gamma} (n,\beta )}donde n es el parámetro de forma y β es la tasa, yincógnita¯=1norte∑iincógnitai∼Gama⁡(norte,norteβ){\textstyle {\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i}X_{i}\sim \operatorname {Gamma} (n,n\beta )}.
  • Si X ~ Gamma(1, β ) (en la parametrización de forma-tasa), entonces X tiene una distribución exponencial con parámetro de tasa β . En la parametrización de forma-escala, X ~ Gamma(1, θ ) tiene una distribución exponencial con parámetro de tasa 1/ θ .
  • Si X ~ Gamma( ν /2, 2) (en la parametrización de forma-escala), entonces X es idéntico a χ 2 ( ν ) , la distribución chi-cuadrado con ν grados de libertad. Por el contrario, si Q ~ χ 2 ( ν ) y c es una constante positiva, entonces cQ ~ Gamma( ν /2, 2 c ) .
  • Si θ = 1/ α , se obtiene la distribución de Schulz-Zimm , que se utiliza principalmente para modelar longitudes de cadenas poliméricas.
  • Si α es un número entero , la distribución gamma es una distribución de Erlang y es la distribución de probabilidad del tiempo de espera hasta la α -ésima "llegada" en un proceso de Poisson unidimensional con intensidad 1/ θ . Si
incógnita∼Γ(α∈Z,θ),Y∼Pois⁡(incógnitaθ),{\displaystyle X\sim \Gamma (\alpha \in \mathbb {Z} ,\theta ),\qquad Y\sim \operatorname {Pois} \left({\frac {x}{\theta }}\right),}
entonces
Pr(incógnita>incógnita)=Pr(Y<α).{\displaystyle \Pr(X>x)=\Pr(Y<\alpha ).}
incógnita2∼Γ(32,2a2).{\displaystyle X^{2}\sim \Gamma {\left({\tfrac {3}{2}},2a^{2}\right)}.}
  • Si X ~ Gamma( α , θ ) , entoncesexp⁡incógnita{\textstyle \exp X}sigue una distribución log-gamma. [ 20 ]
  • Si X ~ Gamma( α , θ ) , entoncesregistro⁡incógnita{\textstyle \log X}sigue una distribución exponencial-gamma (abreviada exp-gamma). [ 21 ] A veces se la denomina incorrectamente distribución log-gamma. [ 22 ] Las fórmulas para su media y varianza se encuentran en la sección #Esperanza y varianza logarítmicas .
  • Si X ~ Gamma( α , θ ) , entoncesincógnita{\displaystyle {\sqrt {X}}}sigue una distribución gamma generalizada con parámetros p = 2 , d = 2 α , ya=θ{\displaystyle a={\sqrt {\theta }}}.
  • De forma más general, si X ~ Gamma( α , θ ) , entoncesincógnitaq{\displaystyle X^{q}}paraq>0{\displaystyle q>0}sigue una distribución gamma generalizada con parámetros p = 1/ q , d = α / q , ya=θq{\displaystyle a=\theta ^{q}}.
  • Si X ~ Gamma( α , θ ) con forma α y escala θ , entonces 1/ X ~ Inv-Gamma( α , θ −1 ) (consulte Distribución gamma inversa para obtener la derivación).
  • Parametrización 1: Siincógnitak∼Γ(αk,θk){\displaystyle X_{k}\sim \Gamma (\alpha _{k},\theta _{k})\,}son independientes, entoncesα2θ2incógnita1α1θ1incógnita2∼F(2α1,2α2){\displaystyle {\frac {\alpha _{2}\theta _{2}X_{1}}{\alpha _{1}\theta _{1}X_{2}}}\sim \mathrm {F} (2\alpha _{1},2\alpha _{2})}, o equivalentemente,incógnita1incógnita2∼β′(α1,α2,1,θ1θ2){\displaystyle {\frac {X_{1}}{X_{2}}}\sim \beta '\left(\alpha _{1},\alpha _{2},1,{\frac {\theta _{1}}{\theta _{2}}}\right)}
  • Parametrización 2: Siincógnitak∼Γ(αk,βk){\displaystyle X_{k}\sim \Gamma (\alpha _{k},\beta _{k})\,}son independientes, entoncesα2β1incógnita1α1β2incógnita2∼F(2α1,2α2){\displaystyle {\frac {\alpha _{2}\beta _{1}X_{1}}{\alpha _{1}\beta _{2}X_{2}}}\sim \mathrm {F} (2\alpha _{1},2\alpha _{2})}, o equivalentemente,incógnita1incógnita2∼β′(α1,α2,1,β2β1){\displaystyle {\frac {X_{1}}{X_{2}}}\sim \beta '\left(\alpha _{1},\alpha _{2},1,{\frac {\beta _{2}}{\beta _{1}}}\right)}
  • Si X ~ Gamma( α , θ ) e Y ~ Gamma( β , θ ) se distribuyen independientemente, entonces X /( X + Y ) tiene una distribución beta con parámetros α y β , y X /( X + Y ) es independiente de X + Y , que tiene una distribución Gamma( α + β , θ ) .
  • Siincógnitanorte∼Beta(α,norteβ){\displaystyle X_{n}\sim {\text{Beta}}(\alpha ,n\beta )\,}yYnorte=norteincógnitanorte{\displaystyle Y_{n}=nX_{n}}, entoncesYnorte{\displaystyle Y_{n}}converge en distribución aGama(α,β){\displaystyle {\text{Gamma}}(\alpha ,\beta )}definido bajo la parametrización 2.
  • Si X i ~ Gamma( α i , 1) se distribuyen independientemente, entonces el vector ( X 1 / S , ..., X n / S ) , donde S = X 1 + ... + X n , sigue una distribución de Dirichlet con parámetros α 1 , ..., α n .
  • Para α grande , la distribución gamma converge a la distribución normal con media μ = αθ y varianza σ 2 = αθ 2 .
  • La distribución gamma es la distribución a priori conjugada para la precisión de la distribución normal con media conocida .
  • La distribución gamma matricial y la distribución de Wishart son generalizaciones multivariadas de la distribución gamma (las muestras son matrices definidas positivas en lugar de números reales positivos).
  • La distribución gamma es un caso especial de la distribución gamma generalizada , la distribución gamma entera generalizada y la distribución gaussiana inversa generalizada .
  • Entre las distribuciones discretas, la distribución binomial negativa se considera a veces el análogo discreto de la distribución gamma.
  • Distribuciones de Tweedie : la distribución gamma es un miembro de la familia de modelos de dispersión exponencial de Tweedie .
  • La distribución Gamma pertenece a la familia de distribuciones seminormales modificadas .
  • Para la parametrización de forma y escalaincógnita|θ∼Γ(α,θ){\displaystyle x|\theta \sim \Gamma (\alpha ,\theta )}, si el parámetro de escalaθ∼IGRAMO(b,1){\displaystyle \theta \sim IG(b,1)}dóndeIGRAMO{\displaystyle IG}denota la distribución gamma inversa , luego la distribución marginalincógnita∼β′(α,b){\displaystyle x\sim \beta '(\alpha ,b)}dóndeβ′{\displaystyle \beta '}denota la distribución Beta prima .

Compuesto gamma

Si se conoce el parámetro de forma de la distribución gamma, pero se desconoce el parámetro de escala inversa, entonces una distribución gamma para la escala inversa forma una distribución a priori conjugada. La distribución compuesta , que resulta de integrar la escala inversa, tiene una solución analítica conocida como distribución gamma compuesta . [ 23 ]

Si, en cambio, se conoce el parámetro de forma pero se desconoce la media, y la distribución a priori de la media viene dada por otra distribución gamma, entonces se obtiene una distribución K.

Inferencia estadística

Estimación de parámetros

estimación de máxima verosimilitud

La función de verosimilitud para N observaciones i.i.d. ( x 1 , ..., x N ) es

L(α,θ)=∏i=1norteF(incógnitai;α,θ){\displaystyle L(\alpha ,\theta )=\prod _{i=1}^{N}f(x_{i};\alpha ,\theta )}

a partir de la cual calculamos la función de verosimilitud logarítmica

ℓ(α,θ)=(α−1)∑i=1norteln⁡incógnitai−∑i=1norteincógnitaiθ−norteαln⁡θ−norteln⁡Γ(α){\displaystyle \ell (\alpha ,\theta )=(\alpha -1)\sum _{i=1}^{N}\ln x_{i}-\sum _{i=1}^{N}{\frac {x_{i}}{\theta }}-N\alpha \ln \theta -N\ln \Gamma (\alpha )}

Al hallar el máximo con respecto a θ, derivando la expresión e igualándola a cero, se obtiene el estimador de máxima verosimilitud del parámetro θ , que es igual a la media muestral.incógnita¯{\displaystyle {\bar {x}}}dividido por el parámetro de forma α :

θ^=1αnorte∑i=1norteincógnitai=incógnita¯α{\displaystyle {\hat {\theta }}={\frac {1}{\alpha N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}={\frac {\bar {x}}{\alpha }}}

Sustituyendo esto en la función de verosimilitud logarítmica se obtiene

ℓ(α)=(α−1)∑i=1norteln⁡incógnitai−norteα−norteαln⁡∑iincógnitaiαnorte−norteln⁡Γ(α){\displaystyle \ell (\alpha )=(\alpha -1)\sum _{i=1}^{N}\ln x_{i}-N\alpha -N\alpha \ln {\frac {\sum _{i}x_{i}}{\alpha N}}-N\ln \Gamma (\alpha )}

Necesitamos al menos dos muestras:norte≥2{\displaystyle N\geq 2}, porque paranorte=1{\displaystyle N=1}, la funciónℓ(α){\displaystyle \ell (\alpha )}aumenta sin límites a medida queα→∞{\displaystyle \alpha \to \infty }. Paraα>0{\displaystyle \alpha >0}, se puede verificar queℓ(α){\displaystyle \ell (\alpha )}es estrictamente cóncava , utilizando las propiedades de desigualdad de la función poligamma . Hallar el máximo con respecto a α tomando la derivada e igualándola a cero produce

ln⁡α−ψ(α)=ln⁡(1norte∑i=1norteincógnitai)−1norte∑i=1norteln⁡incógnitai=ln⁡incógnita¯−ln⁡incógnita¯{\displaystyle {\begin{aligned}\ln \alpha -\psi (\alpha )&=\ln \left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}\right)-{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\ln x_{i}\\[1ex]&=\ln {\bar {x}}-{\overline {\ln x}}\end{aligned}}}

donde ψ es la función digamma yln⁡incógnita¯{\displaystyle {\overline {\ln x}}}es la media muestral de ln x . No existe una solución analítica para α . La función se comporta numéricamente muy bien, por lo que si se desea una solución numérica, se puede encontrar utilizando, por ejemplo, el método de Newton . Se puede encontrar un valor inicial de k utilizando el método de los momentos o la aproximación.

ln⁡α−ψ(α)≈12α(1+16α+1){\displaystyle \ln \alpha -\psi (\alpha )\approx {\frac {1}{2\alpha }}\left(1+{\frac {1}{6\alpha +1}}\right)}

Si dejamos

s=ln⁡(1norte∑i=1norteincógnitai)−1norte∑i=1norteln⁡incógnitai=ln⁡incógnita¯−ln⁡incógnita¯{\displaystyle {\begin{aligned}s&=\ln \left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}\right)-{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\ln x_{i}\\[1ex]&=\ln {\bar {x}}-{\overline {\ln x}}\end{aligned}}}

entonces α es aproximadamente

k≈3−s+(s−3)2+24s12s{\displaystyle k\approx {\frac {3-s+{\sqrt {\left(s-3\right)^{2}+24s}}}{12s}}}

que está dentro del 1,5% del valor correcto. [ 24 ] Una forma explícita para la actualización de Newton-Raphson de esta estimación inicial es: [ 25 ]

α←α−ln⁡α−ψ(k)−s1α−ψ′(α).{\displaystyle \alpha \leftarrow \alpha -{\frac {\ln \alpha -\psi (k)-s}{{\frac {1}{\alpha }}-\psi \prime (\alpha )}}.}

En la estimación de máxima verosimilitud(α^,θ^){\displaystyle ({\hat {\alpha }},{\hat {\theta }})}, los valores esperados para x yln⁡incógnita{\displaystyle \ln x}Coincido con los promedios empíricos: α^θ^=incógnita¯yψ(α^)+ln⁡θ^=ln⁡incógnita¯.{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\alpha }}{\hat {\theta }}&={\bar {x}}&&{\text{and}}&\psi ({\hat {\alpha }})+\ln {\hat {\theta }}&={\overline {\ln x}}.\end{aligned}}}

Advertencia para parámetros de forma pequeños

Para los datos,(incógnita1,…,incógnitanorte){\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{N})}, que se representa en un formato de punto flotante que produce un desbordamiento negativo a 0 para valores menores queε{\displaystyle \varepsilon }Los logaritmos necesarios para la estimación de máxima verosimilitud provocarán fallos si existen desbordamientos. Si asumimos que los datos fueron generados por una distribución gamma con cdfF(incógnita;α,θ){\displaystyle F(x;\alpha ,\theta )}, entonces la probabilidad de que haya al menos un desbordamiento negativo es: Pr(flujo inferior)=1−(1−F(ε;α,θ))norte{\displaystyle \Pr({\text{underflow}})=1-(1-F(\varepsilon ;\alpha ,\theta ))^{N}} Esta probabilidad se aproximará a 1 para α pequeño y N grande. Por ejemplo, enα=10−2{\displaystyle \alpha =10^{-2}}, norte=104{\displaystyle N=10^{4}}yε=2.25×10−308{\displaystyle \varepsilon =2.25\times 10^{-308}},Pr(flujo inferior)≈0,9998{\displaystyle \Pr({\text{underflow}})\approx 0.9998}Una solución alternativa consiste en tener los datos en formato logarítmico.

Para probar una implementación de un estimador de máxima verosimilitud que toma datos logarítmicos como entrada, es útil poder generar logaritmos no subdesbordados de variables aleatorias gamma, cuandoα<1{\displaystyle \alpha <1}. Siguiendo la implementación en scipy.stats.loggamma, esto se puede hacer de la siguiente manera: [ 26 ] ejemploY∼Gama(α+1,θ){\displaystyle Y\sim {\text{Gamma}}(\alpha +1,\theta )}yU∼Uniforme{\displaystyle U\sim {\text{Uniform}}}de forma independiente. Entonces, la muestra logarítmica requerida esZ=ln⁡(Y)+ln⁡(U)/α{\displaystyle Z=\ln(Y)+\ln(U)/\alpha }, de modo queexp⁡(Z)∼Gama(k,θ){\displaystyle \exp(Z)\sim {\text{Gamma}}(k,\theta )}.

Estimadores de forma cerrada

Existen estimadores consistentes de forma cerrada de α y θ que se derivan de la verosimilitud de la distribución gamma generalizada . [ 27 ]

La estimación para la forma α es

α^=norte∑i=1norteincógnitainorte∑i=1norteincógnitailn⁡incógnitai−∑i=1norteincógnitai∑i=1norteln⁡incógnitai{\displaystyle {\hat {\alpha }}={\frac {N\sum \limits _{i=1}^{N}x_{i}}{N\sum \limits _{i=1}^{N}x_{i}\ln x_{i}-\sum \limits _{i=1}^{N}x_{i}\sum \limits _{i=1}^{N}\ln x_{i}}}}

y la estimación para la escala θ es

θ^=1norte2(norte∑i=1norteincógnitailn⁡incógnitai−∑i=1norteincógnitai∑i=1norteln⁡incógnitai){\displaystyle {\hat {\theta }}={\frac {1}{N^{2}}}\left(N\sum _{i=1}^{N}x_{i}\ln x_{i}-\sum _{i=1}^{N}x_{i}\sum _{i=1}^{N}\ln x_{i}\right)}

Utilizando la media muestral de x , la media muestral de ln x y la media muestral del producto x · ln x, las expresiones se simplifican a:

α^=incógnita¯θ^{\displaystyle {\hat {\alpha }}={\frac {\bar {x}}{\hat {\theta }}}}θ^=incógnitaln⁡incógnita¯−incógnita¯ln⁡incógnita¯.{\displaystyle {\hat {\theta }}={\overline {x\ln x}}-{\bar {x}}{\overline {\ln x}}.}

Si se utiliza la parametrización de la tasa, la estimación deβ^=1/θ^{\displaystyle {\hat {\beta }}=1/{\hat {\theta }}}.

Estos estimadores no son estrictamente estimadores de máxima verosimilitud, sino que se denominan estimadores log-momento de tipo mixto. Sin embargo, presentan una eficiencia similar a la de los estimadores de máxima verosimilitud.

Aunque estos estimadores son consistentes, tienen un pequeño sesgo. Una variante corregida del sesgo del estimador para la escala θ es

θ~=nortenorte−1θ^{\displaystyle {\tilde {\theta }}={\frac {N}{N-1}}{\hat {\theta }}}

Una corrección de sesgo para el parámetro de forma α se da como [ 28 ].

α~=α^−1norte(3α^−23(α^1+α^)−45α^(1+α^)2){\displaystyle {\tilde {\alpha }}={\hat {\alpha }}-{\frac {1}{N}}\left(3{\hat {\alpha }}-{\frac {2}{3}}\left({\frac {\hat {\alpha }}{1+{\hat {\alpha }}}}\right)-{\frac {4}{5}}{\frac {\hat {\alpha }}{(1+{\hat {\alpha }})^{2}}}\right)}

Error cuadrático medio mínimo bayesiano

Con α conocido y θ desconocido, la función de densidad posterior para theta (utilizando la distribución a priori estándar invariante a escala para θ ) es

Pr(θ∣α,incógnita1,…,incógnitanorte)∝1θ∏i=1norteF(incógnitai;α,θ){\displaystyle \Pr(\theta \mid \alpha ,x_{1},\dots ,x_{N})\propto {\frac {1}{\theta }}\prod _{i=1}^{N}f(x_{i};\alpha ,\theta )}

Denotando

y≡∑i=1norteincógnitai,Pr(θ∣α,incógnita1,…,incógnitanorte)=do(incógnitai)θ−norteα−1mi−y/θ{\displaystyle y\equiv \sum _{i=1}^{N}x_{i},\qquad \Pr(\theta \mid \alpha ,x_{1},\dots ,x_{N})=C(x_{i})\theta ^{-N\alpha -1}e^{-y/\theta }}

donde la constante C (de integración) no depende de θ . La forma de la densidad posterior revela que 1 / θ sigue una distribución gamma con parámetro de forma Nα + 2 y parámetro de tasa y . La integración con respecto a θ se puede realizar mediante un cambio de variables para hallar la constante de integración.

∫0∞θ−norteα−1+metromi−y/θdθ=∫0∞incógnitanorteα−1−metromi−incógnitaydincógnita=y−(norteα−metro)Γ(norteα−metro){\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }\theta ^{-N\alpha -1+m}e^{-y/\theta }\,d\theta &=\int _{0}^{\infty }x^{N\alpha -1-m}e^{-xy}\,dx\\&=y^{-(N\alpha -m)}\Gamma (N\alpha -m)\!\end{aligned}}}

Los momentos se pueden calcular tomando la razón ( m por m = 0 )

mi⁡[incógnitametro]=Γ(norteα−metro)Γ(norteα)ymetro{\displaystyle \operatorname {E} [x^{m}]={\frac {\Gamma (N\alpha -m)}{\Gamma (N\alpha )}}y^{m}}

lo que demuestra que la estimación de la media ± desviación estándar de la distribución posterior para θ es

ynorteα−1±y2(norteα−1)2(norteα−2).{\displaystyle {\frac {y}{N\alpha -1}}\pm {\sqrt {\frac {y^{2}}{\left(N\alpha -1\right)^{2}(N\alpha -2)}}}.}

Inferencia bayesiana

Conjugar a priori

En la inferencia bayesiana , la distribución gamma es la distribución previa conjugada de muchas distribuciones de verosimilitud: la de Poisson , la exponencial , la normal (con media conocida), la de Pareto , la gamma con parámetro de forma conocido σ , la gamma inversa con parámetro de forma conocido y la de Gompertz con parámetro de escala conocido.

La distribución a priori conjugada de la distribución gamma es: [ 29 ]

pag(α,θ∣pag,q,r,s)=1Zpagα−1mi−θ−1qΓ(α)rθαs,{\displaystyle p(\alpha ,\theta \mid p,q,r,s)={\frac {1}{Z}}{\frac {p^{\alpha -1}e^{-\theta ^{-1}q}}{\Gamma (\alpha )^{r}\theta ^{\alpha s}}},}

donde Z es la constante de normalización sin solución analítica. La distribución posterior se puede encontrar actualizando los parámetros de la siguiente manera:

pag′=pag∏iincógnitai,q′=q+∑iincógnitai,r′=r+norte,s′=s+norte,{\displaystyle {\begin{aligned}p'&=p\prod \nolimits _{i}x_{i},\\q'&=q+\sum \nolimits _{i}x_{i},\\r'&=r+n,\\s'&=s+n,\end{aligned}}}

donde n es el número de observaciones y x i es la i -ésima observación de la distribución gamma.

Ocurrencia y aplicaciones

Consideremos una secuencia de eventos, donde el tiempo de espera para cada evento sigue una distribución exponencial con tasa β . Entonces, el tiempo de espera para que ocurra el n -ésimo evento sigue una distribución gamma con forma entera.α=norte{\displaystyle \alpha =n}Esta construcción de la distribución gamma permite modelar una amplia variedad de fenómenos donde varios subeventos, cada uno con una distribución exponencial que requiere tiempo, deben ocurrir en secuencia para que se produzca un evento principal. [ 30 ] Algunos ejemplos incluyen el tiempo de espera de los eventos de división celular , [ 31 ] el número de mutaciones compensatorias para una mutación dada, [ 32 ] el tiempo de espera hasta que sea necesaria una reparación para un sistema hidráulico, [ 33 ] y así sucesivamente.

En biofísica, el tiempo de permanencia entre los pasos de un motor molecular como la ATP sintasa es casi exponencial a concentración constante de ATP, lo que revela que cada paso del motor requiere una única hidrólisis de ATP. Si hubiera n eventos de hidrólisis de ATP, entonces sería una distribución gamma de grado n. [ 34 ]

La distribución gamma se ha utilizado para modelar el tamaño de las reclamaciones de seguros [ 35 ] y las precipitaciones. [ 36 ] Esto significa que las reclamaciones de seguros agregadas y la cantidad de lluvia acumulada en un embalse se modelan mediante un proceso gamma , de forma muy similar a como la distribución exponencial genera un proceso de Poisson .

La distribución gamma también se utiliza para modelar errores en modelos de regresión de Poisson multinivel porque una mezcla de distribuciones de Poisson con tasas distribuidas gamma tiene una distribución de forma cerrada conocida, llamada binomial negativa .

En la comunicación inalámbrica, la distribución gamma se utiliza para modelar el desvanecimiento por trayectos múltiples de la potencia de la señal; véase también la distribución de Rayleigh y la distribución de Rice .

En oncología , la distribución por edad de la incidencia de cáncer a menudo sigue la distribución gamma, donde los parámetros de forma y escala predicen, respectivamente, el número de eventos impulsores y el intervalo de tiempo entre ellos. [ 37 ] [ 38 ]

En neurociencia , la distribución gamma se usa a menudo para describir la distribución de los intervalos entre picos . [ 39 ] [ 40 ]

En la expresión génica bacteriana , donde la producción de proteínas puede ocurrir en ráfagas, el número de copias de una proteína determinada suele seguir la distribución gamma, donde los parámetros de forma y escala son, respectivamente, el número medio de ráfagas por ciclo celular y el número medio de moléculas de proteína producidas por ráfaga. [ 41 ]

En genómica , la distribución gamma se aplicó en el paso de llamada de picos (es decir, en el reconocimiento de la señal) en el análisis de datos de ChIP-chip [ 42 ] y ChIP-seq [ 43 ] .

En estadística bayesiana, la distribución gamma se utiliza ampliamente como distribución a priori conjugada . Es la distribución a priori conjugada para la precisión (es decir, la inversa de la varianza) de una distribución normal . También es la distribución a priori conjugada para la distribución exponencial .

En filogenética , la distribución gamma es el enfoque más comúnmente utilizado para modelar la variación de la tasa entre sitios [ 44 ] cuando se utilizan métodos de máxima verosimilitud , bayesianos o de matriz de distancias para estimar árboles filogenéticos. Los análisis filogenéticos que utilizan la distribución gamma para modelar la variación de la tasa estiman un único parámetro a partir de los datos porque limitan la consideración a distribuciones donde α = β . Esta parametrización significa que la media de esta distribución es 1 y la varianza es 1/ α . Los métodos de máxima verosimilitud y bayesianos suelen utilizar una aproximación discreta a la distribución gamma continua. [ 45 ] [ 46 ]

generación de variables aleatorias

Dada la propiedad de escala anterior, basta con generar variables gamma con θ = 1 , ya que posteriormente podemos convertirlas a cualquier valor de β con una simple división.

Supongamos que deseamos generar variables aleatorias a partir de Gamma( n + δ , 1) , donde n es un entero no negativo y 0 < δ < 1 . Utilizando el hecho de que una distribución Gamma(1, 1) es igual a una distribución Exp(1) , y teniendo en cuenta el método de generación de variables exponenciales , concluimos que si U se distribuye uniformemente en (0, 1], entonces −ln U se distribuye Gamma(1, 1) (es decir, muestreo de transformación inversa ). Ahora, utilizando la propiedad de " adición α " de la distribución gamma, ampliamos este resultado:

−∑k=1norteln⁡Uk∼Γ(norte,1){\displaystyle -\sum _{k=1}^{n}\ln U_{k}\sim \Gamma (n,1)}

donde U k están todas distribuidas uniformemente en (0, 1] e independientes . Ahora solo queda generar una variable distribuida como Gamma( δ , 1) para 0 < δ < 1 y aplicar la propiedad de " adición α " una vez más. Esta es la parte más difícil.

La generación aleatoria de variables gamma se analiza en detalle por Devroye, [ 47 ] : 401–428 señalando que ninguna es uniformemente rápida para todos los parámetros de forma. Para valores pequeños del parámetro de forma, los algoritmos a menudo no son válidos. [ 47 ] : 406 Para valores arbitrarios del parámetro de forma, se puede aplicar el método de aceptación-rechazo modificado de Ahrens y Dieter [ 48 ] Algoritmo GD (forma α ≥ 1 ), o el método de transformación [ 49 ] cuando 0 < α < 1 . Véase también el Algoritmo GKM 3 de Cheng y Feast [ 50 ] o el método de compresión de Marsaglia. [ 51 ]

La siguiente es una versión del método de aceptación-rechazo de Ahrens-Dieter : [ 48 ]

  1. Genera U , V y W como variables aleatorias uniformes i.i.d. (0, 1].
  2. SiU≤mimi+δ{\displaystyle U\leq {\frac {e}{e+\delta }}}entoncesξ=V1/δ{\displaystyle \xi =V^{1/\delta }}yη=Wξδ−1{\displaystyle \eta =W\xi ^{\delta -1}}. De lo contrario,ξ=1−ln⁡V{\displaystyle \xi =1-\ln V}yη=Wmi−ξ{\displaystyle \eta =We^{-\xi }}.
  3. Siη>ξδ−1mi−ξ{\displaystyle \eta >\xi ^{\delta -1}e^{-\xi }}Luego, vaya al paso 1.
  4. ξ se distribuye como Γ( δ , 1) .

Un resumen de esto es θ(ξ−∑i=1⌊α⌋ln⁡Ui)∼Γ(α,θ){\displaystyle \theta \left(\xi -\sum _{i=1}^{\lfloor \alpha \rfloor }\ln U_{i}\right)\sim \Gamma (\alpha ,\theta )} dónde⌊α⌋{\displaystyle \scriptstyle \lfloor \alpha \rfloor }es la parte entera de α , ξ se genera mediante el algoritmo anterior con δ = { α } (la parte fraccionaria de α ) y los U k son todos independientes.

Si bien el enfoque anterior es técnicamente correcto, Devroye señala que es lineal con respecto al valor de α y, en general, no es una buena opción. En su lugar, recomienda utilizar métodos basados ​​en el rechazo o en tablas, según el contexto. [ 47 ] : 401–428

Por ejemplo, el método simple de transformación-rechazo de Marsaglia que se basa en una variable aleatoria normal X y una variable aleatoria uniforme U : [ 26 ]

  1. Colocard=a−13{\displaystyle d=a-{\frac {1}{3}}}ydo=19d{\displaystyle c={\frac {1}{\sqrt {9d}}}}.
  2. Colocarv=(1+doincógnita)3{\displaystyle v=(1+cX)^{3}}.
  3. Siv>0{\displaystyle v>0}yln⁡U<incógnita22+d−dv+dln⁡v{\displaystyle \ln U<{\frac {X^{2}}{2}}+d-dv+d\ln v}devolverdv{\displaystyle dv}, de lo contrario, vuelva al paso 2.

Con1≤a=α{\displaystyle 1\leq a=\alpha }genera un número aleatorio con distribución gamma en el tiempo que es aproximadamente constante con α . ​​La tasa de aceptación depende de α , con una tasa de aceptación de 0,95, 0,98 y 0,99 para α  =  1,  2  y  4. Para α < 1 , se puede usarγα=γ1+αU1/α{\displaystyle \gamma _{\alpha }=\gamma _{1+\alpha }U^{1/\alpha }}para aumentar k para que sea utilizable con este método.

En Matlab, los números se pueden generar utilizando la función gamrnd(), que utiliza la representación α , θ .

Referencias

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