Gas en una trampa armónica

Los resultados del oscilador armónico cuántico pueden utilizarse para analizar la situación de equilibrio de un gas ideal cuántico en una trampa armónica , que consiste en un potencial armónico que contiene un gran número de partículas que no interactúan entre sí, salvo por colisiones termalizantes instantáneas. Esta situación reviste gran importancia práctica, ya que muchos estudios experimentales de gases de Bose se realizan en este tipo de trampas armónicas.

Utilizando los resultados de las estadísticas de Maxwell-Boltzmann , las estadísticas de Bose-Einstein o las estadísticas de Fermi-Dirac, utilizamos la aproximación de Thomas-Fermi (gas en una caja) y vamos al límite de una trampa muy grande, y expresamos la degeneración de los estados de energía ( $g_{i}$ ) como diferencial, y sumas sobre estados como integrales. Entonces estaremos en condiciones de calcular las propiedades termodinámicas del gas usando la función de partición o la gran función de partición . Solo se considerará el caso de partículas masivas, aunque los resultados pueden extenderse también a partículas sin masa, de forma similar a como se hizo en el caso del gas ideal en una caja . Los cálculos más completos se presentarán en artículos separados, pero en este artículo se darán algunos ejemplos sencillos.

Aproximación de Thomas-Fermi para la degeneración de estados

Para partículas masivas en un pozo armónico, los estados de la partícula se enumeran mediante un conjunto de números cuánticos. ${\ Displaystyle [n_ {x}, n_ {y}, n_ {z}]}$ La energía de un estado particular viene dada por:

E=\hbar \omega \left(n_{x}+n_{y}+n_{z}+3/2\right)~~~~~~~~n_{i}=0,1,2,\ldots

Supongamos que cada conjunto de números cuánticos especifica $f$ estados donde $f$ es el número de grados de libertad internos de la partícula que pueden ser alterados por una colisión. Por ejemplo, una partícula de espín 1/2 tendría $f=2$ , uno para cada estado de espín. Podemos pensar en cada estado posible de una partícula como un punto en una cuadrícula tridimensional de enteros positivos. La aproximación de Thomas-Fermi supone que los números cuánticos son tan grandes que pueden considerarse un continuo. Para valores grandes de $n$ , podemos estimar el número de estados con energía menor o igual a $E$ de la ecuación anterior como:

g=f\,{\frac {n^{3}}{6}}=f\,{\frac {(E/\hbar \omega )^{3}}{6}}

que es simplemente $f$ veces el volumen del tetraedro formado por el plano descrito por la ecuación de energía y los planos límite del octante positivo. El número de estados con energía entre $E$ y $E+dE$ es, por lo tanto:

dg={\frac {1}{2}}\,fn^{2}\,dn={\frac {f}{(\hbar \omega \beta )^{3}}}~{\frac {1}{2}}~\beta ^{3}E^{2}\,dE

Nótese que al utilizar esta aproximación continua, hemos perdido la capacidad de caracterizar los estados de baja energía, incluido el estado fundamental donde $n_{i}=0$ En la mayoría de los casos esto no será un problema, pero al considerar la condensación de Bose-Einstein, en la que una gran parte del gas se encuentra en el estado fundamental o cerca de él, necesitaremos recuperar la capacidad de lidiar con estados de baja energía.

Sin utilizar la aproximación continua, el número de partículas con energía $\epsilon _{i}$ está dado por:

N_{i}={\frac {g_{i}}{\Phi }}

dónde

con $\beta =1/kT$ , con $k$ siendo la constante de Boltzmann , $T$ siendo la temperatura y $\mu$ siendo el potencial químico . Utilizando la aproximación continua, el número de partículas $dN$ con energía entre $E$ y $E+dE$ Ahora está escrito:

dN={\frac {dg}{\Phi }}

función de distribución de energía

Ahora estamos en condiciones de determinar algunas funciones de distribución para el "gas en una trampa armónica". La función de distribución para cualquier variable $A$ es $P_{A}dA$ y es igual a la fracción de partículas que tienen valores para $A$ entre $A$ y $A+dA$ :

P_{A}~dA={\frac {dN}{N}}={\frac {dg}{N\Phi }}

Resulta que:

\int _{A}P_{A}~dA=1

Utilizando estas relaciones obtenemos la función de distribución de energía:

P_{E}~dE={\frac {1}{N}}\,\left({\frac {f}{(\hbar \omega \beta )^{3}}}\right)~{\frac {1}{2}}{\frac {\beta ^{3}E^{2}}{\Phi }}\,dE

Ejemplos específicos

Las siguientes secciones ofrecen un ejemplo de resultados para algunos casos específicos.

Partículas masivas de Maxwell-Boltzmann

Para este caso:

\Phi =e^{\beta (E-\mu )}

Integrando la función de distribución de energía y resolviendo para $N$ da:

N={\frac {f}{(\hbar \omega \beta )^{3}}}~e^{\beta \mu }

Sustituyendo en la función de distribución de energía original se obtiene:

P_{E}~dE={\frac {\beta ^{3}E^{2}e^{-\beta E}}{2}}\,dE

Partículas masivas de Bose-Einstein

Para este caso:

\Phi =e^{\beta \epsilon }/z-1

dónde $z$ se define como:

z=e^{\beta \mu }

Integrando la función de distribución de energía y resolviendo para $N$ da:

N={\frac {f}{(\hbar \omega \beta )^{3}}}~\mathrm {Li} _{3}(z),

dónde $\mathrm {Li} _ {s}(z)$ es la función polilogaritmo . El término polilogaritmo siempre debe ser positivo y real, lo que significa que su valor irá de 0 a $\zeta (3)$ como $z$ va de 0 a 1. A medida que la temperatura se acerca a cero, $\beta$ se hará cada vez más grande, hasta que finalmente $\beta$ alcanzará un valor crítico $\beta _{\text{c}}$ , dónde $z=1$ y

N={\frac {f}{(\hbar \omega \beta _ {c})^{3}}}~\zeta (3).

La temperatura a la que $\beta =\beta _ {c}$ es la temperatura crítica a la que comienza a formarse un condensado de Bose-Einstein . El problema es que, como se mencionó anteriormente, el estado fundamental se ha ignorado en la aproximación continua. Resulta que la expresión anterior describe bastante bien el número de bosones en estados excitados, por lo que podemos escribir:

N={\frac {g_{0}z}{1-z}}+{\frac {f}{(\hbar \omega \beta )^{3}}}~\mathrm {Li} _{3}(z)

donde el término añadido es el número de partículas en el estado fundamental. (Se ha ignorado la energía del estado fundamental). Esta ecuación se mantiene hasta temperatura cero. Se pueden encontrar más resultados en el artículo sobre el gas de Bose ideal .

Partículas masivas de Fermi-Dirac (por ejemplo, electrones en un metal)

Para este caso:

\Phi =e^{\beta (E-\mu )}+1

La integración de la función de distribución de energía da como resultado:

1={\frac {f}{(\hbar \omega \beta )^{3}}}~\left[-\mathrm {Li} _{3}(-z)\right]

donde de nuevo, $\mathrm {Li} _ {s}(z)$ es la función polilogaritmo . Se pueden encontrar más resultados en el artículo sobre el gas de Fermi ideal .

Referencias

Huang, Kerson, "Mecánica estadística", John Wiley and Sons, Nueva York, 1967
A. Isihara, "Física estadística", Academic Press, Nueva York, 1971
LD Landau y EM Lifshitz, "Física estadística, 3.ª edición, parte 1", Butterworth-Heinemann, Oxford, 1996
CJ Pethick y H. Smith, "Condensación de Bose-Einstein en gases diluidos", Cambridge University Press, Cambridge, 2004