Función hipergeométrica

Las soluciones de la ecuación diferencial hipergeométrica se construyen a partir de la serie hipergeométrica ₂ F ₁ ( a , b ; c ; z ). La ecuación tiene dos soluciones linealmente independientes . En cada uno de los tres puntos singulares 0, 1, ∞, generalmente hay dos soluciones especiales de la forma x ^s veces una función holomorfa de x , donde s es una de las dos raíces de la ecuación indicial y x es una variable local que se anula en un punto singular regular. Esto da 3  ×  2  =  6 soluciones especiales, como sigue.

Alrededor del punto z  =  0, dos soluciones independientes son, si c no es un entero no positivo,

$${\displaystyle _{2}F_{1}(a,b;c;z)}$$

y, con la condición de que c no sea un número entero,

$${\displaystyle z^{1-c}{_{2}F_{1}}(1+a-c,1+b-c;2-c;z)}$$

Si c es un entero no positivo 1 − m , entonces la primera de estas soluciones no existe y debe ser reemplazada por${\displaystyle z^{m}F(a+m,b+m;1+m;z).}$La segunda solución no existe cuando c es un entero mayor que 1, y es igual a la primera solución, o a su reemplazo, cuando c es cualquier otro entero. Por lo tanto, cuando c es un entero, se debe usar una expresión más compleja para obtener una segunda solución, igual a la primera solución multiplicada por ln( z ), más otra serie en potencias de z , que involucra la función digamma . Véase Olde Daalhuis (2010) para más detalles.

Alrededor de z  =  1, si c  − a − b no es un número entero, se tienen dos soluciones independientes.   

$${\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;1+a+b-c;1-z)}$$

y

$${\displaystyle (1-z)^{c-a-b}\;_{2}F_{1}(c-a,c-b;1+c-a-b;1-z)}$$

Alrededor de z  =  ∞, si a  − b no es un número entero, se tienen dos soluciones independientes. 

$${\displaystyle z^{-a}\,_{2}F_{1}\left(a,1+a-c;1+a-b;z^{-1}\right)}$$

y

$${\displaystyle z^{-b}\,_{2}F_{1}\left(b,1+b-c;1+b-a;z^{-1}\right).}$$

Nuevamente, cuando no se cumplen las condiciones de no integralidad, existen otras soluciones más complicadas.

Cualquiera de las 3 de las 6 soluciones anteriores satisface una relación lineal como el espacio de soluciones es bidimensional, lo que da ( ⁶ ₃ ) =  20 relaciones lineales entre ellas llamadas fórmulas de conexión .

Una ecuación fuchsiana de segundo orden con n puntos singulares tiene un grupo de simetrías que actúa (proyectivamente) sobre sus soluciones, isomorfo al grupo de Coxeter W( D _n ) de orden 2 ^{n −1} n !. La ecuación hipergeométrica es el caso n = 3, con un grupo de orden 24 isomorfo al grupo simétrico en 4 puntos, como lo describió por primera vez Kummer . La aparición del grupo simétrico es accidental y no tiene análogo para más de 3 puntos singulares, y a veces es mejor pensar en el grupo como una extensión del grupo simétrico en 3 puntos (que actúa como permutaciones de los 3 puntos singulares) por un grupo de Klein de orden 4 (cuyos elementos cambian los signos de las diferencias de los exponentes en un número par de puntos singulares). El grupo de 24 transformaciones de Kummer se genera por las tres transformaciones que toman una solución F ( a , b ; c ; z ) a una de

$${\displaystyle {\begin{aligned}(1-z)^{-a}F\left(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)\\F(a,b;1+a+b-c;1-z)\\(1-z)^{-b}F\left(c-a,b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)\end{aligned}}}$$

que corresponden a las transposiciones (12), (23) y (34) bajo un isomorfismo con el grupo simétrico en 4 puntos 1, 2, 3, 4. (La primera y la tercera de estas son en realidad iguales a F ( a , b ; c ; z ) mientras que la segunda es una solución independiente de la ecuación diferencial).

Aplicando las transformaciones de Kummer 24 = 6×4 a la función hipergeométrica se obtienen las 6 = 2×3 soluciones anteriores correspondientes a cada uno de los 2 exponentes posibles en cada uno de los 3 puntos singulares, cada uno de los cuales aparece 4 veces debido a las identidades.

$${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{c-a-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;c;z)&&{\text{Euler transformation}}\\{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{-a}\,{}_{2}F_{1}(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}})&&{\text{Pfaff transformation}}\\{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,b;c;{\tfrac {z}{z-1}})&&{\text{Pfaff transformation}}\end{aligned}}}$$

La ecuación diferencial hipergeométrica puede transformarse en la forma Q.

$${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}+Q(z)u(z)=0}$$

Al realizar la sustitución u = wv y eliminar el término de la primera derivada, se obtiene que

$${\displaystyle Q={\frac {z^{2}[1-(a-b)^{2}]+z[2c(a+b-1)-4ab]+c(2-c)}{4z^{2}(1-z)^{2}}}}$$

y v viene dada por la solución de

$${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\log v(z)=-{\frac {c-z(a+b+1)}{2z(1-z)}}=-{\frac {c}{2z}}-{\frac {1+a+b-c}{2(z-1)}}}$$

que es

$${\displaystyle v(z)=z^{-c/2}(1-z)^{(c-a-b-1)/2}.}$$

La forma Q es significativa en su relación con la derivada schwarziana ( Hille 1976 , pp. 307–401) . 

Los mapas triangulares de Schwarz o funciones s de Schwarz son cocientes de pares de soluciones.

$${\displaystyle s_{k}(z)={\frac {\phi _{k}^{(1)}(z)}{\phi _{k}^{(0)}(z)}}}$$

donde k es uno de los puntos 0, 1, ∞. La notación

$${\displaystyle D_{k}(\lambda ,\mu ,\nu ;z)=s_{k}(z)}$$

También se utiliza a veces. Nótese que los coeficientes de conexión se convierten en transformaciones de Möbius en los mapas triangulares.

Nótese que cada mapa triangular es regular en z ∈ {0, 1, ∞} respectivamente, con

$${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}(z)&=z^{\lambda }(1+{\mathcal {O}}(z))\\s_{1}(z)&=(1-z)^{\mu }(1+{\mathcal {O}}(1-z))\end{aligned}}}$$ y $${\displaystyle s_{\infty }(z)=z^{\nu }(1+{\mathcal {O}}({\tfrac {1}{z}})).}$$

En el caso especial de λ, μ y ν reales, con 0 ≤ λ,μ,ν < 1, entonces las aplicaciones s son aplicaciones conformes del semiplano superior H a triángulos en la esfera de Riemann , delimitados por arcos circulares. Esta aplicación es una generalización de la aplicación de Schwarz-Christoffel a triángulos con arcos circulares. Los puntos singulares 0,1 e ∞ se envían a los vértices del triángulo. Los ángulos del triángulo son πλ, πμ y πν respectivamente.    

Además, en el caso de λ=1/ p , μ=1/ q y ν=1/ r para enteros p , q , r , entonces el triángulo recubre la esfera, el plano complejo o el semiplano superior según si λ + μ + ν − 1 es positivo, cero o negativo; y los mapas s son funciones inversas de funciones automorfas para el grupo triangular〈p , q , r〉= Δ( p , q , r ).      

La monodromía de una ecuación hipergeométrica describe cómo cambian las soluciones fundamentales al continuar analíticamente su trayectoria en el plano z , las cuales convergen al mismo punto. Es decir, cuando la trayectoria rodea una singularidad de _{2F1 ,} el valor de las soluciones en el punto final será diferente al del punto de partida.

Dos soluciones fundamentales de la ecuación hipergeométrica están relacionadas entre sí por una transformación lineal; por lo tanto, la monodromía es una aplicación (homomorfismo de grupo):

$${\displaystyle \pi _{1}(\mathbf {C} \setminus \{0,1\},z_{0})\to {\text{GL}}(2,\mathbf {C} )}$$

donde π ₁ es el grupo fundamental . En otras palabras, la monodromía es una representación lineal bidimensional del grupo fundamental. El grupo de monodromía de la ecuación es la imagen de este mapa, es decir, el grupo generado por las matrices de monodromía. La representación de monodromía del grupo fundamental se puede calcular explícitamente en términos de los exponentes en los puntos singulares. ^{[ 2 ]} Si (α, α'), (β, β') y (γ,γ') son los exponentes en 0, 1 e ∞, entonces, tomando z ₀ cerca de 0, los bucles alrededor de 0 y 1 tienen matrices de monodromía.

$${\displaystyle {\begin{aligned}g_{0}&={\begin{pmatrix}e^{2\pi i\alpha }&0\\0&e^{2\pi i\alpha ^{\prime }}\end{pmatrix}}\\g_{1}&={\begin{pmatrix}{\mu e^{2\pi i\beta }-e^{2\pi i\beta ^{\prime }} \over \mu -1}&{\mu (e^{2\pi i\beta }-e^{2\pi i\beta ^{\prime }}) \over (\mu -1)^{2}}\\e^{2\pi i\beta ^{\prime }}-e^{2\pi i\beta }&{\mu e^{2\pi i\beta ^{\prime }}-e^{2\pi i\beta } \over \mu -1}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$$

dónde

$${\displaystyle \mu ={\sin \pi (\alpha +\beta ^{\prime }+\gamma ^{\prime })\sin \pi (\alpha ^{\prime }+\beta +\gamma ^{\prime }) \over \sin \pi (\alpha ^{\prime }+\beta ^{\prime }+\gamma ^{\prime })\sin \pi (\alpha +\beta +\gamma ^{\prime })}.}$$

Si 1 − a , c − a − b , a − b son números racionales no enteros con denominadores k , l , m entonces el grupo de monodromía es finito si y solo si${\displaystyle 1/k+1/l+1/m>1}$, véase la lista de Schwarz o el algoritmo de Kovacic .

Si B es la función beta , entonces

$${\displaystyle \mathrm {B} (b,c-b){_{2}F_{1}}(a,b;c;z)=\int _{0}^{1}x^{b-1}(1-x)^{c-b-1}(1-zx)^{-a}\,dx\qquad \Re (c)>\Re (b)>0,}$$

siempre que z no sea un número real mayor o igual que 1. Esto se puede demostrar desarrollando (1  − zx ) ^{− a} usando el teorema del binomio e integrando término a término para z con valor absoluto menor que 1, y mediante continuación analítica en el resto de los casos. Cuando z es un número real mayor o igual que 1, debe usarse la continuación analítica, porque (1 − zx ) es cero en algún punto del soporte de la integral, por lo que el valor de la integral puede estar mal definido. Esto fue dado por Euler en 1748 e implica las transformaciones hipergeométricas de Euler y Pfaff.   

Otras representaciones, correspondientes a otras ramas , se obtienen tomando el mismo integrando, pero considerando que la trayectoria de integración es un ciclo cerrado de Pochhammer que encierra las singularidades en distintos órdenes. Dichas trayectorias corresponden a la acción de monodromía .

Barnes utilizó la teoría de los residuos para evaluar la integral de Barnes.

$${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\Gamma (a+s)\Gamma (b+s)\Gamma (-s)}{\Gamma (c+s)}}(-z)^{s}\,ds}$$

como

$${\displaystyle {\frac {\Gamma (a)\Gamma (b)}{\Gamma (c)}}\,_{2}F_{1}(a,b;c;z),}$$

donde el contorno se dibuja para separar los polos 0, 1, 2... de los polos − a , − a  −  1,  ..., − b , − b  −  1,  ...  . Esto es válido siempre que z no sea un número real no negativo.

La función hipergeométrica de Gauss se puede escribir como una transformada de John ( Gelfand, Gindikin y Graev 2003 , 2.1.2) .

Gauss utilizó las relaciones de contigüidad para dar varias maneras de escribir un cociente de dos funciones hipergeométricas como una fracción continua, por ejemplo:

$${\displaystyle {\frac {{}_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z)}{{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c)b}{c(c+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}}$$

La transformación de Euler es $${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{c-a-b}{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;c;z).}$$ A continuación, se combinan las dos transformaciones de Pfaff. $${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{-b}{}_{2}F_{1}\left(b,c-a;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)\\{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{-a}{}_{2}F_{1}\left(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)\\\end{aligned}}}$$ que a su vez se derivan de la representación integral de Euler. Para la extensión de la primera y segunda transformaciones de Euler, véanse Rathie y Paris (2007) y Rakha y Rathie (2011) . También puede escribirse como una combinación lineal. $${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={}&{\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}}{}_{2}F_{1}(a,b;a+b+1-c;1-z)\\[6pt]&{}+{\frac {\Gamma (c)\Gamma (a+b-c)}{\Gamma (a)\Gamma (b)}}(1-z)^{c-a-b}{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;1+c-a-b;1-z).\end{aligned}}}$$

Si dos de los números 1  − c , c − 1, a − b , b − a , a + b − c , c − a − b son iguales o uno de ellos es 1/2, entonces existe una transformación cuadrática de la función hipergeométrica, que la conecta con un valor diferente de z relacionado por una ecuación cuadrática. Los primeros ejemplos fueron dados por Kummer (1836) y una lista completa fue dada por Goursat (1881) . Un ejemplo típico es               

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;2b;z)=(1-z)^{-{\frac {a}{2}}}{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}}a,b-{\tfrac {1}{2}}a;b+{\tfrac {1}{2}};{\frac {z^{2}}{4z-4}}\right)}$$

Si 1− c , a − b , a + b − c difieren en signos o dos de ellos son 1/3 o −1/3, entonces existe una transformación cúbica de la función hipergeométrica, que la conecta con un valor diferente de z relacionado por una ecuación cúbica. Los primeros ejemplos fueron dados por Goursat (1881) . Un ejemplo típico es

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left({\tfrac {3}{2}}a,{\tfrac {1}{2}}(3a-1);a+{\tfrac {1}{2}};-{\tfrac {z^{2}}{3}}\right)=(1+z)^{1-3a}\,{}_{2}F_{1}\left(a-{\tfrac {1}{3}},a;2a;2z(3+z^{2})(1+z)^{-3}\right)}$$

También hay algunas transformaciones de grado 4 y 6. Las transformaciones de otros grados solo existen si a , b y c son ciertos números racionales ( Vidunas 2005 ) . Por ejemplo, $${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{8}};{\tfrac {7}{8}};z\right)(z^{4}-60z^{3}+134z^{2}-60z+1)^{1/16}={}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{48}},{\tfrac {17}{48}};{\tfrac {7}{8}};{\tfrac {-432z(z-1)^{2}(z+1)^{8}}{(z^{4}-60z^{3}+134z^{2}-60z+1)^{3}}}\right).}$$

El teorema de sumación de Gauss, que lleva el nombre de Carl Friedrich Gauss , es la identidad

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;1)={\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}},\qquad \Re (c)>\Re (a+b)}$$

que se deduce de la fórmula integral de Euler al establecer z  =  1. Incluye la identidad de Vandermonde como un caso especial.

Para el caso especial donde${\displaystyle a=-m}$, $${\displaystyle {}_{2}F_{1}(-m,b;c;1)={\frac {(c-b)_{m}}{(c)_{m}}}}$$

La fórmula de Dougall generaliza esto a la serie hipergeométrica bilateral en z  =  1.

Existen muchos casos en los que las funciones hipergeométricas pueden evaluarse en z  =  −1 mediante una transformación cuadrática que cambia z  =  −1 a z  =  1, y posteriormente utilizando el teorema de Gauss para evaluar el resultado. Un ejemplo típico es el teorema de Kummer, que recibe su nombre de Ernst Kummer :

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;1+a-b;-1)={\frac {\Gamma (1+a-b)\Gamma (1+{\tfrac {1}{2}}a)}{\Gamma (1+a)\Gamma (1+{\tfrac {1}{2}}a-b)}}}$$

lo cual se deduce de las transformaciones cuadráticas de Kummer.

$${\displaystyle {\begin{aligned}_{2}F_{1}(a,b;1+a-b;z)&=(1-z)^{-a}\;_{2}F_{1}\left({\frac {a}{2}},{\frac {1+a}{2}}-b;1+a-b;-{\frac {4z}{(1-z)^{2}}}\right)\\&=(1+z)^{-a}\,_{2}F_{1}\left({\frac {a}{2}},{\frac {a+1}{2}};1+a-b;{\frac {4z}{(1+z)^{2}}}\right)\end{aligned}}}$$

y el teorema de Gauss al sustituir z  =  −1 en la primera identidad. Para una generalización de la suma de Kummer, véase Lavoie, Grondin y Rathie (1996) .

El segundo teorema de suma de Gauss es

$${\displaystyle _{2}F_{1}\left(a,b;{\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right);{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}})\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right))}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a)\right)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+b\right))}}.}$$

El teorema de Bailey es

$${\displaystyle _{2}F_{1}\left(a,1-a;c;{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}}c)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+c\right))}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(c+a\right))\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+c-a\right))}}.}$$

Para generalizaciones del segundo teorema de suma de Gauss y del teorema de suma de Bailey, véase Lavoie, Grondin y Rathie (1996) .

Existen muchas otras fórmulas que dan la función hipergeométrica como un número algebraico en valores racionales especiales de los parámetros, algunas de las cuales se enumeran en Gessel y Stanton (1982) y Koepf (1995) . Algunos ejemplos típicos se dan en

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left(a,-a;{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{4(x-1)}}\right)={\frac {(1-x)^{a}+(1-x)^{-a}}{2}},}$$

lo cual puede reformularse como

$${\displaystyle T_{a}(\cos x)={}_{2}F_{1}\left(a,-a;{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {1}{2}}(1-\cos x)\right)=\cos(ax)}$$

siempre que − π < x < π y T sea el polinomio de Chebyshev (generalizado) .