Representación de Gelfand

En matemáticas , la representación de Gelfand en análisis funcional (llamada así en honor a I.M. Gelfand ) es una de dos cosas:

una forma de representar las álgebras de Banach conmutativas como álgebras de funciones continuas;
el hecho de que para las C*-álgebras conmutativas , esta representación es un isomorfismo isométrico.

En el primer caso, se puede considerar la representación de Gelfand como una generalización de gran alcance de la transformada de Fourier de una función integrable. En el segundo caso, el teorema de representación de Gelfand-Naimark es una vía en el desarrollo de la teoría espectral para operadores normales y generaliza la noción de diagonalizar una matriz normal .

Observaciones históricas

Una de las aplicaciones originales de Gelfand (y una que históricamente motivó gran parte del estudio de las álgebras de Banach ) fue dar una demostración mucho más corta y conceptual de un célebre lema de Norbert Wiener (véase la cita a continuación), que caracteriza los elementos de las álgebras de grupo L ¹ ( R ) y $\ell ^{1}({\mathbf {Z} })$ cuyas traslaciones abarcan subespacios densos en las respectivas álgebras.

El álgebra modelo

Para cualquier espacio topológico de Hausdorff localmente compacto X , el espacio C ₀ ( X ) de funciones continuas con valores complejos en X que se anulan en el infinito es de manera natural un álgebra C* conmutativa:

La estructura algebraica sobre los números complejos se obtiene considerando las operaciones puntuales de suma y multiplicación.
La involución es una conjugación compleja puntual.
La norma es la norma uniforme sobre funciones.

La importancia de que X sea localmente compacto y de Hausdorff radica en que esto convierte a X en un espacio completamente regular . En dicho espacio, cada subconjunto cerrado de X es el conjunto común de ceros de una familia de funciones continuas de valores complejos definidas en X , lo que permite recuperar la topología de X a partir de C ₀ ( X ).

Nótese que C ₀ ( X ) es unitario si y solo si X es compacto , en cuyo caso C ₀ ( X ) es igual a C ( X ), el álgebra de todas las funciones continuas de valor complejo en X .

Representación de Gelfand de un álgebra de Banach conmutativa

Dejar $A$ sea un álgebra de Banach conmutativa , definida sobre el cuerpo $\mathbb {C}$ de números complejos. Un homomorfismo de álgebra no nulo (un funcional lineal multiplicativo). $\Phi \colon A\to \mathbb {C}$ se llama un personaje de $A$ ; el conjunto de todos los caracteres de $A$ se denota por $\Phi _{A}$ .

Se puede demostrar que cada personaje en $A$ es automáticamente continuo y por lo tanto $\Phi _{A}$ es un subconjunto del espacio $A^{*}$ de funcionales lineales continuos en $A$ ; además, cuando está equipado con la topología relativamente débil* , $\Phi _{A}$ resulta ser localmente compacto y de Hausdorff. (Esto se deduce del teorema de Banach-Alaoglu ). El espacio $\Phi _{A}$ es compacto (en la topología recién definida) si y solo si el álgebra $A$ tiene un elemento identidad. ^{[ 1 ]}

Dado $a\in A$ , uno define la función ${\widehat {a}}:\Phi _{A}\to {\mathbb {C} }$ por ${\widehat {a}}(\phi )=\phi (a)$ . La definición de $\Phi _{A}$ y la topología en ella asegura que ${\widehat {a}}$ es continua y se desvanece en el infinito , ^{[ 2 ]} y que el mapa $a\mapsto {\widehat {a}}$ define un homomorfismo de álgebras que decrece la norma y preserva la unidad a partir de $A$ a ${\ Displaystyle C_ {0} (\ Phi _ {A})}$ Este homomorfismo es la representación de Gelfand de $A$ , y ${\widehat {a}}$ es la transformada de Gelfand del elemento $a$ En general, la representación no es ni inyectiva ni sobreyectiva.

En el caso donde $A$ tiene un elemento identidad, hay una biyección entre $\Phi _{A}$ y el conjunto de ideales máximos en $A$ (esto se basa en el teorema de Gelfand-Mazur ). Como consecuencia, el núcleo de la representación de Gelfand $A\to C_{0}(\Phi _{A})$ puede identificarse con el radical Jacobson de $A$ Por lo tanto, la representación de Gelfand es inyectiva si y solo si $A$ es (Jacobson) semisimple .

Ejemplos

El espacio Banach $A=L^{1}(\mathbb {R} )$ es un álgebra de Banach bajo la convolución, el álgebra de grupo de $\mathbb {R}$ . Entonces $\Phi _{A}$ es homeomorfo a $\mathbb {R}$ y la transformación de Gelfand de $f\in L^{1}(\mathbb {R} )$ es la transformada de Fourier ${\tilde {f}}$ . De manera similar, con $A=L^{1}(\mathbb {R} _{+})$ , el álgebra de grupo de los reales multiplicativos, la transformada de Gelfand es la transformada de Mellin .

Para $A=\ell ^{\infty }$ El espacio de representación es la compactificación de Stone-Čech. $\beta \mathbb {N}$ . De manera más general, si $X$ Si es un espacio de Hausdorff completamente regular, entonces el espacio de representación del álgebra de Banach de funciones continuas acotadas es la compactificación de Stone-Čech de $X$ . ^{[ 2 ]}

El caso del álgebra C*

Como motivación, consideremos el caso especial A = C ₀ ( X ). Dado x en X , sea $\varphi _{x}\in A^{*}$ ser evaluación puntual en x , es decir $\varphi _{x}(f)=f(x)$ . Entonces $\varphi _{x}$ es un carácter en A , y se puede demostrar que todos los caracteres de A son de esta forma; un análisis más preciso muestra que podemos identificar Φ _A con X , no solo como conjuntos sino como espacios topológicos. La representación de Gelfand es entonces un isomorfismo.

C_{0}(X)\to C_{0}(\Phi _{A}).\

El espectro de un álgebra C* conmutativa

El espectro o espacio de Gelfand de un álgebra conmutativa C*-álgebra A , denotado por Â , consiste en el conjunto de *-homomorfismos no nulos de A a los números complejos. Los elementos del espectro se denominan caracteres en A. (Se puede demostrar que todo homomorfismo de álgebra de A a los números complejos es automáticamente un *-homomorfismo , de modo que esta definición del término «carácter» coincide con la anterior).

En particular, el espectro de un álgebra C* conmutativa es un espacio de Hausdorff localmente compacto: En el caso unitario, es decir, donde el álgebra C* tiene un elemento unitario multiplicativo 1, todos los caracteres f deben ser unitarios, es decir, f (1) es el número complejo uno. Esto excluye el homomorfismo cero. Por lo tanto, Â es cerrado bajo convergencia débil-* y el espectro es realmente compacto . En el caso no unitario, el cierre débil-* de Â es Â ∪ {0}, donde 0 es el homomorfismo cero, y la eliminación de un solo punto de un espacio de Hausdorff compacto produce un espacio de Hausdorff localmente compacto.

Nótese que espectro es una palabra sobrecargada. También se refiere al espectro σ( x ) de un elemento x de un álgebra con unidad 1, es decir, el conjunto de números complejos r para los cuales x − r 1 no es invertible en A . Para C*-álgebras unitarias, las dos nociones están conectadas de la siguiente manera: σ( x ) es el conjunto de números complejos f ( x ) donde f recorre el espacio de Gelfand de A . Junto con la fórmula del radio espectral , esto muestra que Â es un subconjunto de la bola unitaria de A* y como tal se le puede dar la topología débil-* relativa. Esta es la topología de convergencia puntual. Una red { f _k } _k de elementos del espectro de A converge a f si y solo si para cada x en A , la red de números complejos { f _k ( x )} _k converge a f ( x ).

Si A es un álgebra C* separable , la topología débil* es metrizable en subconjuntos acotados. Por lo tanto, el espectro de un álgebra C* conmutativa separable A puede considerarse un espacio métrico. Así, la topología puede caracterizarse mediante la convergencia de sucesiones.

De forma equivalente, σ( x ) es el rango de γ( x ), donde γ es la representación de Gelfand.

Enunciado del teorema conmutativo de Gelfand-Naimark

Sea A un álgebra C* conmutativa y sea X el espectro de A.

\gamma :A\to C_{0}(X)

sea la representación de Gelfand definida anteriormente.

Teorema . El mapa de Gelfand γ es un *-isomorfismo isométrico de A sobre C ₀ ( X ).

Véase la referencia de Arveson a continuación.

El espectro de un álgebra C* conmutativa también puede verse como el conjunto de todos los ideales máximos m de A , con la topología de núcleo de envoltura . (Véanse las observaciones anteriores para el caso general del álgebra de Banach conmutativa). Para cualquier m de este tipo, el álgebra cociente A/m es unidimensional (por el teorema de Gelfand-Mazur) y, por lo tanto, cualquier a en A da lugar a una función de valor complejo en Y.

En el caso de las C*-álgebras con unidad, el mapa espectro da lugar a un functor contravariante de la categoría de C*-álgebras conmutativas con unidad y *-homomorfismos continuos que preservan la unidad, a la categoría de espacios de Hausdorff compactos y mapas continuos. Este functor es la mitad de una equivalencia contravariante entre estas dos categorías (su adjunto es el functor que asigna a cada espacio de Hausdorff compacto X el álgebra C* C ₀ ( X )). En particular, dados los espacios de Hausdorff compactos X e Y , entonces C ( X ) es isomorfo a C ( Y ) (como un álgebra C*) si y solo si X es homeomorfo a Y .

El teorema "completo" de Gelfand-Naimark es un resultado para álgebras C*-no conmutativas (abstractas) arbitrarias A , que, aunque no es del todo análogo a la representación de Gelfand, proporciona una representación concreta de A como un álgebra de operadores.

Aplicaciones

Una de las aplicaciones más significativas es la existencia de un cálculo funcional continuo para elementos normales en el álgebra C* -A : Un elemento x es normal si y solo si x conmuta con su adjunto x* , o equivalentemente si y solo si genera un álgebra C*-conmutativa C*( x ). Por el isomorfismo de Gelfand aplicado a C*( x ), esto es *-isomorfo a un álgebra de funciones continuas en un espacio localmente compacto. Esta observación conduce casi inmediatamente a:

Teorema . Sea A un álgebra C* con identidad y x un elemento normal de A. Entonces existe un *-morfismo f → f ( x ) del álgebra de funciones continuas sobre el espectro σ( x ) en A tal que

Asigna 1 a la identidad multiplicativa de A ;
Mapea la función identidad en el espectro a x .

Esto nos permite aplicar funciones continuas a operadores normales acotados en el espacio de Hilbert.

Referencias

↑ Charles Rickart (1974), Teoría general de las álgebras de Banach , van Nostrand, pág. 114
1 2 Eberhard Kainuth (2009), Un curso de álgebras de Banach conmutativas , Springer

Arveson, W. (1981). Una invitación a las álgebras C* . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90176-0.
Bonsall, FF; Duncan, J. (1973). Álgebras normadas completas . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-06386-2.
Conway, JB (1990). Un curso de análisis funcional . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 96. Springer Verlag . ISBN 0-387-97245-5.
Wiener, N. (1932). "Teoremas tauberianos". Ann. of Math . II. 33 (1). Annals of Mathematics: 1– 100. doi : 10.2307/1968102 . JSTOR 1968102 .

[1] Charles Rickart (1974), Teoría general de las álgebras de Banach , van Nostrand, pág. 114

[:0-2] 1 2 Eberhard Kainuth (2009), Un curso de álgebras de Banach conmutativas , Springer

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