Generalizaciones de las matrices de Pauli

En computación cuántica, es convencional denotar las matrices de Pauli con letras mayúsculas simples.

${\displaystyle I\equiv \sigma _{0},\qquad X\equiv \sigma _{1},\qquad Y\equiv \sigma _{2},\qquad Z\equiv \sigma _{3}.}$

Esto permite que los subíndices en las matrices de Pauli indiquen el índice del cúbit. Por ejemplo, en un sistema con 3 cúbits,

${\displaystyle X_{1}\equiv X\otimes I\otimes I,\qquad Z_{2}\equiv I\otimes Z\otimes I.}$

Las matrices de Pauli de múltiples cúbits se pueden escribir como productos de matrices de Pauli de un solo cúbit en cúbits disjuntos. Alternativamente, cuando el contexto lo aclara, el símbolo de producto tensorial${\displaystyle \otimes }$Se pueden omitir, es decir, las matrices de Pauli sin subíndices escritas consecutivamente representan el producto tensorial en lugar del producto matricial. Por ejemplo:

${\displaystyle XZI\equiv X_{1}Z_{2}=X\otimes Z\otimes I.}$

Dejar${\displaystyle E_{jk}}$Sea la matriz con 1 en la entrada jk -ésima y 0 en las demás. Considere el espacio de${\displaystyle d\times d}$ matrices complejas,${\displaystyle \mathbb {C} ^{d\times d}}$, para un fijo${\displaystyle d}$.

Defina las siguientes matrices,

${\displaystyle f_{k,j}^{\,\,\,\,\,d}={\begin{cases}E_{kj}+E_{jk}&{\text{for }}k<j,\\-i(E_{jk}-E_{kj})&{\text{for }}k>j.\end{cases}}}$

y

${\displaystyle h_{k}^{\,\,\,d}={\begin{cases}I_{d}&{\text{for }}k=1,\\h_{k}^{\,\,\,d-1}\oplus 0&{\text{for }}1<k<d,\\{\sqrt {\tfrac {2}{d(d-1)}}}\left(h_{1}^{d-1}\oplus (1-d)\right)={\sqrt {\tfrac {2}{d(d-1)}}}\left(I_{d-1}\oplus (1-d)\right)&{\text{for }}k=d\end{cases}}}$

El conjunto de matrices definidas anteriormente sin la matriz identidad se denomina matrices de Gell-Mann generalizadas , en dimensión${\displaystyle d}$. ^{[ 2 ] [ 3 ]} El símbolo ⊕ (utilizado en la subálgebra de Cartan anterior) significa suma directa de matrices .

Las matrices generalizadas de Gell-Mann son hermíticas y sin traza por construcción, al igual que las matrices de Pauli. También se puede comprobar que son ortogonales en el producto interno de Hilbert-Schmidt en${\displaystyle \mathbb {C} ^{d\times d}}$. Por el recuento de dimensiones, se observa que abarcan el espacio vectorial de${\displaystyle d\times d}$matrices complejas,${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(d,\mathbb {C} )}$Luego proporcionan una base generadora de álgebra de Lie que actúa sobre la representación fundamental de${\displaystyle {\mathfrak {su}}(d)}$.

En dimensiones${\displaystyle d}$ = 2 y 3, la construcción anterior recupera las matrices de Pauli y Gell-Mann , respectivamente.

Las matrices de Pauli${\displaystyle \sigma _{1}}$y${\displaystyle \sigma _{3}}$Satisfacer lo siguiente:

${\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{3}^{2}=I,\quad \sigma _{1}\sigma _{3}=-\sigma _{3}\sigma _{1}=e^{\pi i}\sigma _{3}\sigma _{1}.}$

La denominada matriz de conjugación de Walsh-Hadamard es

${\displaystyle W={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}.}$

Al igual que las matrices de Pauli,${\displaystyle W}$es a la vez hermitiano y unitario .${\displaystyle \sigma _{1},\;\sigma _{3}}$y${\displaystyle W}$satisfacer la relación

${\displaystyle \;\sigma _{1}=W\sigma _{3}W^{*}.}$

El objetivo ahora es extender lo anterior a dimensiones superiores,${\displaystyle d}$.

Fijar la dimensión${\displaystyle d}$como antes. Deja${\displaystyle \omega =\exp(2\pi i/d)}$, una raíz de unidad . Desde${\displaystyle \omega ^{d}=1}$y${\displaystyle \omega \neq 1}$, la suma de todas las raíces anula:

${\displaystyle 1+\omega +\cdots +\omega ^{d-1}=0.}$

Los índices enteros pueden entonces identificarse cíclicamente módulo d .

Ahora definamos, con Sylvester, la matriz de desplazamiento.

${\displaystyle \Sigma _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&\cdots &0&1\\1&0&0&\cdots &0&0\\0&1&0&\cdots &0&0\\0&0&1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1&0\\\end{bmatrix}}}$

y la matriz de reloj

${\displaystyle \Sigma _{3}={\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&\omega &0&\cdots &0\\0&0&\omega ^{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &\omega ^{d-1}\end{bmatrix}}.}$

Estas matrices generalizan${\displaystyle \sigma _{1}}$y${\displaystyle \sigma _{3}}$, respectivamente.

Nótese que la unitariedad y la ausencia de traza de las dos matrices de Pauli se conservan, pero no la hermiticidad en dimensiones superiores a dos. Dado que las matrices de Pauli describen cuaterniones , en 1884 Sylvester denominó a los análogos de dimensiones superiores "noniones", " sedeniones ", etc. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

Estas dos matrices son también la piedra angular de la dinámica mecánica cuántica en espacios vectoriales de dimensión finita ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]} tal como la formuló Hermann Weyl , y encuentran aplicaciones rutinarias en numerosas áreas de la física matemática. ^{[ 12 ]} La matriz del reloj equivale a la exponencial de la posición en un "reloj" de${\displaystyle d}$horas, y la matriz de desplazamiento es simplemente el operador de traslación (una matriz de permutación cíclica ) en ese espacio vectorial cíclico, por lo que la exponencial del momento. Son representaciones (de dimensión finita) de los elementos correspondientes del grupo de Weyl - Heisenberg en un${\displaystyle d}$Espacio de Hilbert de -dimensiones .

Las siguientes relaciones reflejan y generalizan las de las matrices de Pauli:

${\displaystyle \Sigma _{1}^{d}=\Sigma _{3}^{d}=I}$

y la relación de trenzado,

${\displaystyle \Sigma _{3}\Sigma _{1}=\omega \Sigma _{1}\Sigma _{3}=e^{2\pi i/d}\Sigma _{1}\Sigma _{3},}$

la formulación de Weyl del CCR , y puede reescribirse como

${\displaystyle \Sigma _{3}\Sigma _{1}\Sigma _{3}^{d-1}\Sigma _{1}^{d-1}=\omega ~.}$

Por otro lado, para generalizar la matriz de Walsh-Hadamard${\displaystyle W}$, nota

${\displaystyle W={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&\omega ^{2-1}\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&\omega ^{d-1}\end{bmatrix}}.}$

Definimos, de nuevo con Sylvester, la siguiente matriz analógica, ^{[ 13 ]} todavía denotada por${\displaystyle W}$en un ligero abuso de notación ,

${\displaystyle W={\frac {1}{\sqrt {d}}}{\begin{bmatrix}1&1&1&\cdots &1\\1&\omega ^{d-1}&\omega ^{2(d-1)}&\cdots &\omega ^{(d-1)^{2}}\\1&\omega ^{d-2}&\omega ^{2(d-2)}&\cdots &\omega ^{(d-1)(d-2)}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&\omega &\omega ^{2}&\cdots &\omega ^{d-1}\end{bmatrix}}~.}$

Es evidente que ${\displaystyle W}$Ya no es hermitiana, pero sigue siendo unitaria. El cálculo directo arroja:

${\displaystyle \Sigma _{1}=W\Sigma _{3}W^{*}~,}$

que es el resultado analógico deseado. Por lo tanto,${\displaystyle W}$, una matriz de Vandermonde , organiza los vectores propios de${\displaystyle \Sigma _{1}}$, que tiene los mismos valores propios que${\displaystyle \Sigma _{3}}$.

Cuando${\displaystyle d=2^{k}}$,${\displaystyle W^{*}}$es precisamente la matriz de transformada discreta de Fourier , que convierte las coordenadas de posición en coordenadas de momento y viceversa.

La familia completa de${\displaystyle d^{2}}$matrices independientes unitarias (pero no hermíticas)${\displaystyle \{\sigma _{k,j}\}_{k,j=1}^{d}}$se define de la siguiente manera:

Esto proporciona la conocida base ortogonal de trazas de Sylvester para${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(d,\mathbb {C} )}$, conocidos como "nonions"${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(3,\mathbb {C} )}$, "sedeniones"${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(4,\mathbb {C} )}$, etc... ^{[ 14 ] [ 15 ]}

Esta base puede conectarse sistemáticamente con la base hermitiana anterior. ^{[ 16 ]} (Por ejemplo, las potencias de${\displaystyle \Sigma _{3}}$, la subálgebra de Cartan , mapea a combinaciones lineales de la${\displaystyle h_{k}^{\,\,\,d}}$matrices.) Además, puede utilizarse para identificar${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(d,\mathbb {C} )}$, como${\displaystyle d\to \infty }$, con el álgebra de los corchetes de Poisson .

Con respecto al producto interno de Hilbert-Schmidt en operadores,${\displaystyle \langle A,B\rangle _{\text{HS}}=\operatorname {Tr} (A^{*}B)}$Los operadores de Pauli generalizados de Sylvester son ortogonales y están normalizados a${\displaystyle {\sqrt {d}}}$:

${\displaystyle \langle \sigma _{k,j},\sigma _{k',j'}\rangle _{\text{HS}}=\delta _{kk'}\delta _{jj'}\|\sigma _{k,j}\|_{\text{HS}}^{2}=d\delta _{kk'}\delta _{jj'}}$.

Esto se puede comprobar directamente a partir de la definición anterior de${\displaystyle \sigma _{k,j}}$.