Álgebra de Clifford generalizada

En matemáticas , un álgebra de Clifford generalizada (ACG) es un álgebra asociativa unitaria que generaliza el álgebra de Clifford y se remonta al trabajo de Hermann Weyl , ^[¹^] quien utilizó y formalizó estos operadores de reloj y desplazamiento introducidos por JJ Sylvester (1882), ^[²^] y organizados por Cartan (1898) ^[³^] y Schwinger . ^[⁴^]

Las matrices de reloj y de desplazamiento encuentran aplicaciones rutinarias en numerosas áreas de la física matemática , proporcionando la piedra angular de la dinámica mecánica cuántica en espacios vectoriales de dimensión finita . ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}^{[ 7 ]} El concepto de espinor puede vincularse además a estas álgebras. ^{[ 6 ]}

El término álgebra de Clifford generalizada también puede referirse a álgebras asociativas que se construyen utilizando formas de grado superior en lugar de formas cuadráticas . ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}

Definición y propiedades

Definición abstracta

El álgebra de Clifford generalizada $n$ -dimensional se define como un álgebra asociativa sobre un cuerpo $F$ , generada por ^{[ 12 ].}

{\begin{aligned}e_{j}e_{k}&=\omega _{jk}e_{k}e_{j}\\\omega _{jk}e_{\ell }&=e_{\ell }\omega _{jk}\\\omega _{jk}\omega _{\ell m}&=\omega _{\ell m}\omega _{jk}\end{aligned}}

y

e_{j}^{N_{j}}=1=\omega _{jk}^{N_{j}}=\omega _{jk}^{N_{k}}\,

$\forall j, k, ℓ, m = 1, . . . , n$ .

Además, en cualquier representación matricial irreducible, relevante para aplicaciones físicas, se requiere que

\omega _{jk}=\omega _{kj}^{-1}=e^{2\pi i\nu _{kj}/N_{kj}}

$\forall j, k = 1, . . . , n$ , y $N_{kj}={}$ mcd $(N_{j},N_{k})$ . El campo $F$ se suele tomar como los números complejos C .

Definición más específica

En los casos más comunes de GCA, ^{[ 6 ]} el álgebra de Clifford generalizada $n-$ dimensional de orden $p$ tiene la propiedad $ω$ $kj$ $=$ $ω$ , $N_{k}=p$ para todos j , k y $\nu _{kj}=1$ De ello se deduce que

{\begin{aligned}e_{j}e_{k}&=\omega \,e_{k}e_{j}\,\\\omega e_{\ell }&=e_{\ell }\omega \,\end{aligned}}

y

e_{j}^{p}=1=\omega ^{p}\,

para todo j , k , ℓ = 1, . . . , n , y

\omega =e^{2\pi i/p}

es la raíz $p$ -ésima de 1.

En la literatura existen varias definiciones de álgebra de Clifford generalizada. ^{[ 13 ]}

álgebra de Clifford

En el álgebra de Clifford (ortogonal), los elementos siguen una regla de anticonmutación, con $ω = -1 y p = 2$ .

Representación matricial

Las matrices de reloj y desplazamiento se pueden representar ^{[ 14 ]} mediante matrices $n\timesn en la notación canónica de Schwinger como$

{\begin{aligned}V&={\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\0&0&\ddots &1&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&0&0&\cdots &0\end{pmatrix}},&U&={\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&\omega &0&\cdots &0\\0&0&\omega ^{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &\omega ^{(n-1)}\end{pmatrix}},&W&={\begin{pmatrix}1&1&1&\cdots &1\\1&\omega &\omega ^{2}&\cdots &\omega ^{n-1}\\1&\omega ^{2}&(\omega ^{2})^{2}&\cdots &\omega ^{2(n-1)}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&\omega ^{n-1}&\omega ^{2(n-1)}&\cdots &\omega ^{(n-1)^{2}}\end{pmatrix}}\end{aligned}}

.

En particular, $V n = 1$ , $VU = ωUV$ (las relaciones de trenzado de Weyl ), y $W$ $-1$ $VW$ $=$ $U$ (la transformada discreta de Fourier ). Con $e$ $1$ $=$ $V$ $,$ $e$ $2$ $=$ $VU$ $, y$ $e$ $3$ $=$ $U$ , se tienen tres elementos base que, junto con $ω$ , cumplen las condiciones anteriores del álgebra generalizada de Clifford (GCA).

Estas matrices, $V$ y $U$ , normalmente denominadas " matrices de desplazamiento y de reloj ", fueron introducidas por J.J. Sylvester en la década de 1880. (Cabe destacar que las matrices $V$ son matrices de permutación cíclica que realizan un desplazamiento circular ; no deben confundirse con las matrices de desplazamiento superior e inferior, que solo tienen unos por encima o por debajo de la diagonal, respectivamente).

Ejemplos específicos

Caso $n = p = 2$

En este caso, tenemos $ω$ = −1 y

{\begin{aligned}V&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},&U&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},&W&={\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}\end{aligned}}

de este modo

{\begin{aligned}e_{1}&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},&e_{2}&={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},&e_{3}&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\end{aligned}}

que constituyen las matrices de Pauli .

Caso $n = p = 4$

En este caso tenemos $ω$ = $i$ y

{\begin{aligned}V&={\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\end{pmatrix}},&U&={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&i&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-i\end{pmatrix}},&W&={\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&i&-1&-i\\1&-1&1&-1\\1&-i&-1&i\end{pmatrix}}\end{aligned}}

y $e 1, e 2, e 3$ pueden determinarse en consecuencia.

Véase también

Referencias

^ Weyl, H. (1927). "Quantenmechanik und Gruppentheorie". Zeitschrift für Physik . 46 ( 1– 2): 1– 46. Bibcode : 1927ZPhy...46....1W . doi : 10.1007/BF02055756 . S2CID 121036548 . — (1950) [1931]. La teoría de grupos y la mecánica cuántica . Dover. ISBN 9780486602691.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
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^ Cartan, E. (1898). "Les groupes bilinéaires et les systèmes de nombres complexes" (PDF) . Annales de la Facultad de Ciencias de Toulouse . 12 (1): B65– B99.
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↑ Santhanam, TS; Tekumalla, AR (1976). "Mecánica cuántica en dimensiones finitas". Foundations of Physics . 6 (5): 583. Bibcode : 1976FoPh....6..583S . doi : 10.1007/BF00715110 . S2CID 119936801 .
1 2 3 Véase, por ejemplo: Granik, A.; Ross, M. (1996). «Sobre una nueva base para un álgebra de Clifford generalizada y su aplicación a la mecánica cuántica» . En Ablamowicz, R.; Parra, J.; Lounesto, P. (eds.). Álgebras de Clifford con aplicaciones de computación numérica y simbólica . Birkhäuser. pp. 101–110 . ISBN 0-8176-3907-1.
↑ Kwaśniewski, AK (1999). "Sobre el álgebra de Clifford generalizada C ⁽ⁿ⁾₄ y el grupo cuántico GL _{q (2;C)".}Advances in Applied Clifford Algebras . 9 (2): 249– 260. arXiv : math/0403061 . doi : 10.1007/BF03042380 . S2CID 117093671 .
↑ Tesser, Steven Barry (2011). «Álgebras de Clifford generalizadas y sus representaciones». En Micali, A.; Boudet, R.; Helmstetter, J. (eds.). Álgebras de Clifford y sus aplicaciones en física matemática . Springer. pp. 133–141 . ISBN 978-90-481-4130-2.
↑ Childs, Lindsay N. (30 de mayo de 2007). "Linealización de formas n-ídicas y álgebras de Clifford generalizadas". Álgebra lineal y multilineal . 5 (4): 267– 278. doi : 10.1080/03081087808817206 .
↑ Pappacena, Christopher J. (julio de 2000). "Lápices matriciales y un álgebra de Clifford generalizada" . Álgebra lineal y sus aplicaciones . 313 ( 1–3 ): 1–20 . doi : 10.1016/S0024-3795(00)00025-2 .
↑ Chapman, Adam; Kuo, Jung-Miao (abril de 2015). "Sobre el álgebra de Clifford generalizada de un polinomio mónico". Álgebra lineal y sus aplicaciones . 471 : 184–202 . arXiv : 1406.1981 . doi : 10.1016/j.laa.2014.12.030 . S2CID 119280952 .
↑ Para una revisión útil, véase Vourdas, A. (2004). "Sistemas cuánticos con espacio de Hilbert finito". Reports on Progress in Physics . 67 (3): 267– 320. Bibcode : 2004RPPh...67..267V . doi : 10.1088/0034-4885/67/3/R03 .
↑ Véase, por ejemplo, la reseña proporcionada en: Smith, Tara L. "Descomposición de álgebras de Clifford generalizadas" (PDF) . Archivado del original (PDF) el 12 de junio de 2010.
↑ Ramakrishnan, Alladi (1971). "Álgebra de Clifford generalizada y sus aplicaciones: un nuevo enfoque para los números cuánticos internos". Actas de la Conferencia sobre Álgebra de Clifford, su Generalización y Aplicaciones, 30 de enero-1 de febrero de 1971 (PDF) . Madrás: Matscience . págs. 87-96 .

Lecturas adicionales

Fairlie, DB; Fletcher, P.; Zachos, CK (1990). "Álgebras de dimensión infinita y una base trigonométrica para las álgebras de Lie clásicas". Journal of Mathematical Physics . 31 (5): 1088. Bibcode : 1990JMP....31.1088F . doi : 10.1063/1.528788 .
Jagannathan, R. (2010). "Sobre las álgebras de Clifford generalizadas y sus aplicaciones físicas". arXiv : 1005.4300 [ math-ph ].(En El legado de Alladi Ramakrishnan en las ciencias matemáticas (págs. 465-489). Springer, Nueva York, NY.)
Morinaga, K.; Nono, T. (1952). "Sobre la linealización de una forma de grado superior y su representación" . Journal of Science of the Hiroshima University, Series A. 16 : 13–41 . doi : 10.32917 /hmj/1557367250 .
Morris, AO (1967). "Sobre un álgebra de Clifford generalizada". The Quarterly Journal of Mathematics . 18 (1): 7– 12. Bibcode : 1967QJMat..18....7M . doi : 10.1093/qmath/18.1.7 .
Morris, AO (1968). "Sobre un álgebra de Clifford II generalizada". The Quarterly Journal of Mathematics . 19 (1): 289– 299. Bibcode : 1968QJMat..19..289M . doi : 10.1093/qmath/19.1.289 .

[1] Weyl, H. (1927). "Quantenmechanik und Gruppentheorie". Zeitschrift für Physik . 46 ( 1– 2): 1– 46. Bibcode : 1927ZPhy...46....1W . doi : 10.1007/BF02055756 . S2CID 121036548 . — (1950) [1931]. La teoría de grupos y la mecánica cuántica . Dover. ISBN 9780486602691.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )

[2] Sylvester, JJ (1882), Una palabra sobre los noniones , Circulares de la Universidad Johns Hopkins, vol. I, págs . 241–2 ; ibid II (1883) 46; ibid III (1884) 7–9. Resumido en The Collected Mathematics Papers of James Joseph Sylvester (Cambridge University Press, 1909) v III . en línea y más allá .

[3] Cartan, E. (1898). "Les groupes bilinéaires et les systèmes de nombres complexes" (PDF) . Annales de la Facultad de Ciencias de Toulouse . 12 (1): B65– B99.

[4] Schwinger, J. (abril de 1960). "Bases de operadores unitarios" . Proc Natl Acad Sci USA . 46 (4): 570– 9. Bibcode : 1960PNAS...46..570S . doi : 10.1073/pnas.46.4.570 . PMC 222876. PMID 16590645 . — (1960). " Transformaciones unitarias y el principio de acción" . Proc Natl Acad Sci USA . 46 (6): 883– 897. Bibcode : 1960PNAS...46..883S . doi : 10.1073/pnas.46.6.883 . PMC 222951. PMID 16590686 .

[5] Santhanam, TS; Tekumalla, AR (1976). "Mecánica cuántica en dimensiones finitas". Foundations of Physics . 6 (5): 583. Bibcode : 1976FoPh....6..583S . doi : 10.1007/BF00715110 . S2CID 119936801 .

[granik-et-al-1996-6] 1 2 3 Véase, por ejemplo: Granik, A.; Ross, M. (1996). «Sobre una nueva base para un álgebra de Clifford generalizada y su aplicación a la mecánica cuántica» . En Ablamowicz, R.; Parra, J.; Lounesto, P. (eds.). Álgebras de Clifford con aplicaciones de computación numérica y simbólica . Birkhäuser. pp. 101–110 . ISBN 0-8176-3907-1.

[7] Kwaśniewski, AK (1999). "Sobre el álgebra de Clifford generalizada C ⁽ⁿ⁾₄ y el grupo cuántico GL _{q (2;C)".}Advances in Applied Clifford Algebras . 9 (2): 249– 260. arXiv : math/0403061 . doi : 10.1007/BF03042380 . S2CID 117093671 .

[8] Tesser, Steven Barry (2011). «Álgebras de Clifford generalizadas y sus representaciones». En Micali, A.; Boudet, R.; Helmstetter, J. (eds.). Álgebras de Clifford y sus aplicaciones en física matemática . Springer. pp. 133–141 . ISBN 978-90-481-4130-2.

[9] Childs, Lindsay N. (30 de mayo de 2007). "Linealización de formas n-ídicas y álgebras de Clifford generalizadas". Álgebra lineal y multilineal . 5 (4): 267– 278. doi : 10.1080/03081087808817206 .

[10] Pappacena, Christopher J. (julio de 2000). "Lápices matriciales y un álgebra de Clifford generalizada" . Álgebra lineal y sus aplicaciones . 313 ( 1–3 ): 1–20 . doi : 10.1016/S0024-3795(00)00025-2 .

[11] Chapman, Adam; Kuo, Jung-Miao (abril de 2015). "Sobre el álgebra de Clifford generalizada de un polinomio mónico". Álgebra lineal y sus aplicaciones . 471 : 184–202 . arXiv : 1406.1981 . doi : 10.1016/j.laa.2014.12.030 . S2CID 119280952 .

[12] Para una revisión útil, véase Vourdas, A. (2004). "Sistemas cuánticos con espacio de Hilbert finito". Reports on Progress in Physics . 67 (3): 267– 320. Bibcode : 2004RPPh...67..267V . doi : 10.1088/0034-4885/67/3/R03 .

[13] Véase, por ejemplo, la reseña proporcionada en: Smith, Tara L. "Descomposición de álgebras de Clifford generalizadas" (PDF) . Archivado del original (PDF) el 12 de junio de 2010.

[14] Ramakrishnan, Alladi (1971). "Álgebra de Clifford generalizada y sus aplicaciones: un nuevo enfoque para los números cuánticos internos". Actas de la Conferencia sobre Álgebra de Clifford, su Generalización y Aplicaciones, 30 de enero-1 de febrero de 1971 (PDF) . Madrás: Matscience . págs. 87-96 .

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