Función de coste generalizada de Ozaki

En economía, la tecnología de producción se representa típicamente mediante la función de producción.${\displaystyle f}$, que, en el caso de una sola salida${\displaystyle y}$y${\displaystyle m}$entradas, se escribe como${\displaystyle y=f(x)}$. Al considerar la minimización de costos para un conjunto dado de precios ${\displaystyle p}$y${\displaystyle y}$, la función de coste correspondiente${\displaystyle C(p,y)}$se puede expresar como:

Los teoremas de dualidad de las funciones de costo y producción establecen que una vez que se establece una función de costo bien definida, se puede derivar la función de producción correspondiente, y viceversa. ^{[ 2 ]} Para una función de costo dada${\displaystyle C(p,y)}$, la función de producción correspondiente${\displaystyle f}$se puede obtener como ^{[ 3 ]} (una derivación más rigurosa implica el uso de una función de distancia en lugar de una función de producción ^{[ 2 ] [ 4 ]} )  :

En esencia, en condiciones generales, una tecnología específica puede representarse con igual eficacia mediante funciones de coste y de producción. Una ventaja de utilizar una función de coste en lugar de una de producción es que las funciones de demanda de insumos pueden derivarse fácilmente de la primera mediante el lema de Shephard , mientras que este proceso puede resultar engorroso con la función de producción.

Las formas comúnmente utilizadas de funciones de producción, como las funciones Cobb-Douglas y de elasticidad de sustitución constante (CES), exhiben homoticidad. Esta propiedad significa que la función de producción${\displaystyle f}$puede representarse como una transformación monótona positiva de una función lineal homogénea.${\displaystyle h}$:

${\displaystyle y=f(x)=\phi (h(x))}$

dónde${\displaystyle h(\lambda x)=\lambda h(x)}$para cualquier${\displaystyle \lambda >0}$. La función Cobb-Douglas es un caso especial de la función CES para la cual la elasticidad de sustitución entre los insumos,${\displaystyle \sigma }$, es uno.

Para una tecnología homotética, la función de coste se puede representar como

${\displaystyle C(p,y)=c(p)d(y)}$

dónde${\displaystyle d}$es una función monótona creciente, y${\displaystyle c}$se denomina función de costo unitario . Del lema de Shephard, obtenemos la siguiente expresión para la razón de insumos${\displaystyle i}$y${\displaystyle j}$:

${\displaystyle {\frac {x_{i}}{x_{j}}}={\frac {\partial c(p)/\partial p_{i}}{\partial c(p)/\partial p_{j}}}}$,

lo que implica que, para una tecnología homotética, la proporción de insumos depende únicamente de los precios y no de la escala de producción. Sin embargo, estudios empíricos sobre la sección transversal de establecimientos muestran que el modelo FL ( 3 ) explica eficazmente los datos, particularmente para industrias pesadas como acerías, fábricas de papel, sectores químicos básicos y centrales eléctricas, lo que indica que la homoteticidad puede no ser aplicable. ^{[ 1 ]}

Además, en el ámbito del comercio, los modelos funcionales homotéticos y monolíticos no predicen con precisión los resultados. Un ejemplo de ello es la ecuación de gravedad del comercio, que determina el volumen de intercambio comercial entre dos países en función de su PIB y la distancia. Esto llevó a los investigadores a explorar modelos de producción no homotéticos, que se ajustan a un análisis transversal del comportamiento de los productores; por ejemplo, cuándo estos comenzarían a minimizar costos modificando los insumos o invirtiendo en el aumento de la producción.

Las funciones CES (nótese que Cobb-Douglas es un caso especial de CES) suelen involucrar solo dos insumos, como capital y trabajo. Si bien pueden extenderse para incluir más de dos insumos, asumir el mismo grado de sustituibilidad para todos los insumos puede parecer demasiado restrictivo (consulte CES para obtener más detalles sobre este tema, incluyendo el potencial para acomodar diversas elasticidades de sustitución entre insumos, aunque esta capacidad está algo restringida). Para abordar esta limitación, se han desarrollado formas funcionales flexibles. Estas formas funcionales generales se denominan formas funcionales flexibles (FFF) porque no imponen ninguna restricción a priori sobre el grado de sustituibilidad entre insumos. Estas FFF pueden proporcionar una aproximación de segundo orden a cualquier función dos veces diferenciable que cumpla las condiciones regulatorias necesarias, incluyendo condiciones tecnológicas básicas y aquellas consistentes con la minimización de costos. ^{[ 3 ]} Ejemplos ampliamente utilizados de FFF son la función logarítmica trascendental (translog) y la función Leontief generalizada (GL). La función translog extiende la función Cobb-Douglas al segundo orden, mientras que la función GL realiza una extensión similar a la función de producción de Leontief .

Una desventaja de la función GL es su incapacidad para ser globalmente cóncava sin sacrificar flexibilidad en el espacio de precios. ^{[ 2 ]} Esta limitación también se aplica a la función GO, ya que es una extensión no homotética de la GL. En un estudio posterior, ^{[ 5 ]} Nakamura intentó abordar este problema empleando la función de McFadden generalizada. Para obtener más información sobre los avances en esta área, consulte a Ryan y Wales. ^{[ 6 ]}

Además, tanto la función GO como la función GL subyacente presuponen ajustes inmediatos de las entradas en respuesta a los cambios en ${\displaystyle p}$y ${\displaystyle y}$Esto simplifica en exceso la realidad, donde los cambios tecnológicos implican inversiones significativas en planta y equipo, lo que requiere tiempo, a menudo durante años en lugar de ser instantáneo. Una forma de abordar este problema será recurrir a una función de costo variable que tenga en cuenta explícitamente las diferencias en la velocidad de ajuste entre los insumos. ^{[ 7 ]}