Frecuencia de Rabi

La frecuencia de Rabi${\displaystyle \Omega }$es la frecuencia a la que fluctúan las amplitudes de probabilidad de dos niveles de energía atómica en un campo electromagnético oscilante. Es proporcional al momento dipolar de transición de los dos niveles y a la amplitud ( no a la intensidad ) del campo electromagnético . La transferencia de población entre los niveles de un sistema de dos niveles iluminado con luz exactamente resonante con la diferencia de energía entre los dos niveles ocurrirá a la frecuencia de Rabi; cuando la luz incidente está desintonizada de esta diferencia de energía (desintonizada de la resonancia), entonces la transferencia de población ocurre a la frecuencia de Rabi generalizada . La frecuencia de Rabi es un concepto semiclasico ya que trata al átomo como un objeto con niveles de energía cuantizados y al campo electromagnético como una onda continua.

En el contexto de un experimento de resonancia magnética nuclear , la frecuencia de Rabi es la frecuencia de nutación del vector de magnetización nuclear neta de una muestra alrededor de un campo de radiofrecuencia. (Cabe destacar que esta frecuencia es distinta de la frecuencia de Larmor , que caracteriza la precesión de una magnetización nuclear transversal alrededor de un campo magnético estático).

Consideremos dos autoestados de energía de un sistema cuántico con hamiltoniano${\displaystyle {\sombrero {H}}_{0}}$(por ejemplo, este podría ser el hamiltoniano de una partícula en un${\displaystyle {\frac {1}{r}}}$potencial, como el átomo de hidrógeno o los átomos alcalinos):

$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{1}(\mathbf {r} ,t)&=e^{-i\omega _{1}t}|1\rangle \\\psi _{2}(\mathbf {r} ,t)&=e^{-i\omega _{2}t}|2\rangle \end{aligned}}}$$

con valores propios${\displaystyle \hbar \omega _ {1}}$y${\displaystyle \hbar \omega _ {2}}$respectivamente. Queremos considerar el hamiltoniano dependiente del tiempo.

$${\displaystyle {\hat {\mathcal {H}}}={\hat {H}}_{0}+{\hat {V}}(t)}$$

dónde${\displaystyle {\hat {V}}(t)=e\mathbf {r} \cdot \mathbf {E} _{0}\cos(\omega t)}$es la energía potencial del campo electromagnético. Al tratar la energía potencial como una perturbación , podemos esperar que los autoestados del hamiltoniano perturbado sean una mezcla de los autoestados del hamiltoniano original con coeficientes dependientes del tiempo:

$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=c_{1}(t)e^{-i\omega _{1}t}|1\rangle +c_{2}(t)e^{-i\omega _{2}t}|2\rangle }$$

Sustituyendo esto en la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo

$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}={\hat {\mathcal {H}}}\Psi (\mathbf {r} ,t)}$$

tomando el producto interno con cada uno de${\displaystyle e^{i\omega _ {1}t}\langle 1|}$y${\displaystyle e^{i\omega _ {2}t}\langle 2|}$y utilizando la condición de ortogonalidad de los autoestados${\displaystyle \langle i|j\rangle =\delta _ {i,j}}$, llegamos a dos ecuaciones en los coeficientes${\displaystyle c_{1}(t)}$y${\displaystyle c_{2}(t)}$:

$${\displaystyle {\begin{aligned}i{\dot {c}}_{1}(t)&={\frac {c_{1}(t)\cos(\omega t)}{\hbar }}\langle 1|e\mathbf {r} \cdot \mathbf {E} _{0}|1\rangle +{\frac {e^{i\omega _{0}t}c_{2}(t)\cos(\omega t)}{\hbar }}\langle 1|e\mathbf {r} \cdot \mathbf {E} _{0}|2\rangle \\i{\dot {c}}_{2}(t)&={\frac {c_{2}(t)\cos(\omega t)}{\hbar }}\langle 2|e\mathbf {r} \cdot \mathbf {E} _{0}|2\rangle +{\frac {e^{-i\omega _{0}t}c_{1}(t)\cos(\omega t)}{\hbar }}\langle 2|e\mathbf {r} \cdot \mathbf {E} _{0}|1\rangle \end{aligned}}}$$

dónde${\displaystyle \omega _{0}=\omega _{1}-\omega _{2}}$Los dos términos entre paréntesis son elementos de matriz dipolares interpolados al vector de polarización del campo electromagnético. Al considerar las funciones propias espaciales con simetría esférica${\displaystyle |i\rangle }$del potencial del átomo de hidrógeno , los elementos diagonales de la matriz se vuelven cero, dejándonos con

$${\displaystyle {\begin{aligned}i{\dot {c}}_{1}(t)&={\frac {c_{2}(t)\cos(\omega t)}{\hbar }}\langle 1|e\mathbf {r} \cdot \mathbf {E} _{0}|2\rangle e^{i\omega _{0}t}\\i{\dot {c}}_{2}(t)&={\frac {c_{1}(t)\cos(\omega t)}{\hbar }}\langle 2|e\mathbf {r} \cdot \mathbf {E} _{0}|1\rangle e^{-i\omega _{0}t}\end{aligned}}}$$

o

$${\displaystyle {\begin{aligned}i{\dot {c}}_{1}(t)&=\Omega c_{2}(t)\cos(\omega t)e^{i\omega _{0}t}\\i{\dot {c}}_{2}(t)&=\Omega ^{*}c_{1}(t)\cos(\omega t)e^{-i\omega _{0}t}\end{aligned}}}$$

Aquí${\displaystyle \Omega$ :=\Omega _{1,2}} , donde${\displaystyle \Omega _{i,j}={\frac {\langle i|e\mathbf {r} \cdot \mathbf {E} _{0}|j\rangle }{\hbar }}}$es la frecuencia de Rabi.

En el numerador tenemos el momento dipolar de transición para el${\displaystyle i\to j}$transición, cuya amplitud al cuadrado representa la fuerza de la interacción entre el campo electromagnético y el átomo, y${\displaystyle \mathbf {E} _{0}={\hat {\epsilon }}E_{0}}$es la amplitud del campo eléctrico vectorial , que incluye la polarización . El numerador tiene dimensiones de energía, por lo que dividiendo por${\displaystyle \hbar }$da una frecuencia angular .

Por analogía con un dipolo clásico , es evidente que un átomo con un gran momento dipolar será más susceptible a la perturbación por un campo eléctrico . El producto escalar incluye un factor de${\displaystyle \cos \theta }$, dónde${\displaystyle \theta }$es el ángulo entre la polarización de la luz y el momento dipolar de transición. Cuando son paralelos, la interacción es más fuerte; cuando son perpendiculares, no hay interacción alguna.

Si reescribimos las ecuaciones diferenciales encontradas anteriormente:

$${\displaystyle {\begin{aligned}i{\dot {c}}_{1}(t)=\Omega c_{2}(t)\cos(\omega t)e^{i\omega _{0}t}&\to {\frac {\Omega c_{2}}{2}}(e^{i(\omega +\omega _{0})t}+e^{-i(\omega -\omega _{0})t})\\i{\dot {c}}_{2}(t)=\Omega ^{*}c_{1}(t)\cos(\omega t)e^{-i\omega _{0}t}&\to {\frac {\Omega ^{*}c_{1}}{2}}(e^{i(\omega -\omega _{0})t}+e^{-i(\omega +\omega _{0})t})\end{aligned}}}$$

y aplicar la aproximación de onda rotatoria , que supone que${\displaystyle \omega +\omega _{0}>>\omega -\omega _{0}}$, de tal manera que podamos descartar los términos oscilantes de alta frecuencia , tenemos

$${\displaystyle {\begin{aligned}i{\dot {c}}_{1}(t)&={\frac {\Omega c_{2}}{2}}e^{i\delta t}\\i{\dot {c}}_{2}(t)&={\frac {\Omega ^{*}c_{1}}{2}}e^{-i\delta t}\end{aligned}}}$$

dónde${\displaystyle \delta =\omega -\omega _{0}}$Se denomina desintonización entre el láser y las frecuencias atómicas.

Podemos resolver estas ecuaciones, suponiendo que en el tiempo${\displaystyle t=0}$el átomo está en${\displaystyle |1\rangle }$(es decir${\displaystyle c_{1}(0)=1}$) para encontrar

$${\displaystyle |c_{2}(t)|^{2}={\frac {\Omega ^{2}\sin ^{2}{\bigg (}{\frac {{\sqrt {\Omega ^{2}+\delta ^{2}}}t}{2}}{\bigg )}}{\Omega ^{2}+\delta ^{2}}}}$$

Esta es la probabilidad en función del desajuste y del tiempo de la población del estado${\displaystyle |2\rangle }$. Un gráfico en función de la desintonización y el aumento del tiempo de 0 a${\displaystyle t={\frac {\pi }{\Omega }}}$da:

Vemos que para${\displaystyle \delta =0}$La población oscilará entre los dos estados a la frecuencia de Rabi.

La cantidad${\displaystyle {\sqrt {\Omega ^{2}+\delta ^{2}}}}$se conoce comúnmente como la "frecuencia Rabi generalizada". Para los casos en los que${\displaystyle \delta \neq 0}$, el balanceo de Rabi ocurre realmente a esta frecuencia, donde${\displaystyle \delta }$es la desintonización , una medida de cuán lejos está la luz de la resonancia con respecto a la transición. Por ejemplo, al examinar la animación anterior con una frecuencia de desplazamiento de ±1,73, se puede ver que durante el tiempo que tarda la oscilación en resonancia en completar 1/2 ciclo de Rabi, la oscilación con el desplazamiento mencionado experimenta un ciclo completo , es decir, al doble de la frecuencia de Rabi en resonancia (sin desintonización).${\displaystyle \Omega _{i,j}}$Tal como predice esta ecuación. Cabe destacar también que, a medida que la frecuencia de la luz incidente se aleja de la frecuencia de transición, la amplitud de la oscilación de Rabi disminuye, como se ilustra en la gráfica anterior con la línea discontinua.

Las oscilaciones de Rabi coherentes también pueden ser impulsadas por transiciones de dos fotones . En este caso, consideramos un sistema con tres niveles de energía atómica,${\displaystyle |1\rangle }$,${\displaystyle |i\rangle }$, y${\displaystyle |2\rangle }$, dónde${\displaystyle |i\rangle }$es un estado intermedio con frecuencia correspondiente${\displaystyle \omega _{i}}$y un campo electromagnético con dos componentes de frecuencia:

$${\displaystyle {\hat {V}}(t)=e\mathbf {r} \cdot \mathbf {E} _{L1}\cos(\omega _{L1}t)+e\mathbf {r} \cdot \mathbf {E} _{L2}\cos(\omega _{L2}t)}$$

Una transición de dos fotones no es lo mismo que una excitación desde el estado fundamental a un estado intermedio, y luego desde el estado intermedio al estado excitado . En cambio, el átomo absorbe dos fotones simultáneamente y se excita directamente entre los estados inicial y final. La frecuencia de batido de los dos fotones debe ser resonante con la transición de dos fotones (diferencia entre las frecuencias de los estados inicial y final).

$${\displaystyle {\begin{aligned}&|\omega _{L1}-\omega _{L2}|=\omega _{2}-\omega _{1}\\&\Delta =|\omega _{L1}-(\omega _{i}-\omega _{1})|\gg 0\end{aligned}}}$$

Delta determina la tasa de dispersión del estado intermedio. Cuanto mayor sea, mayor será el tiempo de coherencia.

Podemos derivar la frecuencia de Rabi de dos fotones volviendo a las ecuaciones.

$${\displaystyle {\begin{aligned}i{\dot {c}}_{1}(t)&={\frac {\Omega _{1i}c_{i}}{2}}e^{i\Delta t}\\i{\dot {c}}_{i}(t)&={\frac {\Omega _{1i}^{*}c_{1}}{2}}e^{-i\Delta t}\end{aligned}}}$$

que ahora describen la excitación entre el estado fundamental y los estados intermedios. Sabemos que tenemos la solución.

$${\displaystyle c_{i}(t)={\frac {\Omega _{1i}\sin {\bigg (}{\frac {{\tilde {\Omega }}_{1i}t}{2}}{\bigg )}}{{\tilde {\Omega }}_{1i}}}}$$

dónde${\displaystyle {\tilde {\Omega }}_{1i}}$es la frecuencia de Rabi generalizada para la transición del estado inicial al intermedio. De manera similar, para la transición del estado intermedio al final tenemos las ecuaciones

$${\displaystyle {\begin{aligned}i{\dot {c}}_{i}(t)&={\frac {\Omega _{i2}c_{2}}{2}}e^{i\Delta t}\\i{\dot {c}}_{2}(t)&={\frac {\Omega _{i2}^{*}c_{i}}{2}}e^{-i\Delta t}\end{aligned}}}$$

Ahora conectamos${\displaystyle c_{i}(t)}$en la ecuación anterior para${\displaystyle {\dot {c}}_{2}(t)}$

$${\displaystyle i{\dot {c}}_{2}(t)={\frac {\Omega _{i2}^{*}\Omega _{1i}\sin {\bigg (}{\frac {{\tilde {\Omega }}_{1i}t}{2}}{\bigg )}}{2{\tilde {\Omega }}_{1i}}}e^{-i\Delta t}}$$

El coeficiente es proporcional a:

$${\displaystyle c_{2}(t)\propto {\frac {\Omega _{i2}\Omega _{1i}}{2\Delta }}}$$

Esta es la frecuencia de Rabi de dos fotones. ^{[ 1 ]} Es el producto de las frecuencias de Rabi individuales para el${\displaystyle |1\rangle \to |i\rangle }$y${\displaystyle |i\rangle \to |2\rangle }$transiciones, divididas por la desintonización del estado intermedio${\displaystyle |i\rangle }$.

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