Distribución lambda de Turquía

Formalizada por John Tukey , la distribución lambda de Tukey es una distribución de probabilidad continua y simétrica definida en términos de su función cuantil . Se suele utilizar para identificar una distribución apropiada (véanse los comentarios a continuación) y no se emplea directamente en modelos estadísticos .

La distribución lambda de Tukey tiene un único parámetro de forma , λ , y, al igual que otras distribuciones de probabilidad, puede transformarse mediante un parámetro de localización , μ , y un parámetro de escala , σ . Dado que la forma general de la distribución de probabilidad puede expresarse en términos de la distribución estándar, las fórmulas subsiguientes se proporcionan para la forma estándar de la función.

Para la forma estándar de la distribución lambda de Tukey, la función cuantil,${\displaystyle ~Q(p)~,}$(es decir, la función inversa de la función de distribución acumulativa ) y la función de densidad de cuantiles,${\displaystyle ~q={\frac {\ \operatorname {d} Q\ }{\operatorname {d} p}}\ ,}$son

${\displaystyle \ Q\left(\ p\$ ;\lambda \ \right)~=~{\begin{cases}{\tfrac {1}{\ \lambda \ }}\left[\ p^{\lambda }-(1-p)^{\lambda }\ \right]\ ,&\ {\mbox{ si }}\ \lambda \neq 0~,\\{}\\\ln \left({\frac {p}{\ 1-p\ }}\right)~,&\ {\mbox{ si }}\ \lambda =0~.\end{cases}}}

${\displaystyle q\left(\ p\$ ;\lambda \ \right)~=~{\frac {\ \operatorname {d} Q\ }{\operatorname {d} p}}~=~p^{\lambda -1}+\left(\ 1-p\ \right)^{\lambda -1}~.}

Para la mayoría de los valores del parámetro de forma, λ , la función de densidad de probabilidad (PDF) y la función de distribución acumulativa (CDF) deben calcularse numéricamente. La distribución lambda de Tukey tiene una forma cerrada simple para la CDF y/o PDF solo para algunos valores excepcionales del parámetro de forma, por ejemplo: λ ∈ { 2, 1, 1 / 2 , 0 } ( ver distribución uniforme [ casos λ = 1 y λ = 2 ] y la distribución logística [caso λ = 0 ].

Sin embargo, para cualquier valor de λ, tanto la CDF como la PDF pueden tabularse para cualquier número de probabilidades acumuladas, p , utilizando la función cuantil Q para calcular el valor x , para cada probabilidad acumulada p , con la densidad de probabilidad dada por 1 / q , el recíproco de la función de densidad cuantil. Como es habitual con las distribuciones estadísticas, la distribución lambda de Tukey puede utilizarse fácilmente consultando los valores en una tabla preparada.

La distribución lambda de Tukey es simétrica alrededor de cero, por lo tanto , el valor esperado de esta distribución, si existe, es igual a cero. La varianza existe para λ > − 1 / 2 , y excepto cuando λ = 0 , viene dada por la fórmula

${\displaystyle \operatorname {Var} [\ X\ ]={\frac {2}{\lambda ^{2}}}{\bigg (}\ {\frac {1}{\ 1+2\lambda \ }}~-~{\frac {\ \Gamma (\lambda +1)^{2}\ }{\ \Gamma (2\lambda +2)\ }}\ {\bigg )}~.}$

De forma más general, el momento de orden n es finito cuando λ > ⁠ −1 / n ⁠ y se expresa (excepto cuando λ = 0 ) en términos de la función beta Β ( x , y ) :  

${\displaystyle \mu _{n}\equiv \operatorname {E} [\ X^{n}\ ]={\frac {1}{\lambda ^{n}}}\sum _{k=0}^{n}\ (-1)^{k}\ {n \choose k}\ \mathrm {B} (\ \lambda \ k+1\ ,\ (nk)\ \lambda +1\ )~.}$

Debido a la simetría de la función de densidad, todos los momentos de orden impar, si existen, son iguales a cero.

A diferencia de los momentos centrales, los momentos L pueden expresarse en forma cerrada. Para${\displaystyle \lambda >-1\ ,}$el${\displaystyle \ r}$momento L,${\displaystyle \ \ell _{r}\ ,}$viene dado por ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\ell _{r}&={\frac {\ 1+(-1)^{r}\ }{\lambda }}\ \sum _{k=0}^{r-1}\ (-1)^{r-1-k}\ {\binom {r-1}{k}}\ {\binom {r+k-1}{k}}\ \left({\frac {1}{\ k+1+\lambda \ }}\right)\\{}\\&={\bigl (}1+(-1)^{r}{\bigr )}{\frac {\ \Gamma (1+\lambda )\ \Gamma (r-1-\lambda )\ }{\ \Gamma (1-\lambda )\ \Gamma (r+1+\lambda )\ }}~.\end{aligned}}}$

Los primeros seis momentos L se pueden presentar de la siguiente manera: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \ell _{1}=~~0\ ,}$

${\displaystyle \ell _{2}={\frac {2}{\ \lambda \ }}\ \left[\ -{\frac {1}{\ 1+\lambda \ }}+{\frac {2}{\ 2+\lambda \ }}\ \right]\ ,}$

${\displaystyle \ell _{3}=~~0\ ,}$

${\displaystyle \ell _{4}={\frac {2}{\ \lambda \ }}\ \left[-{\frac {1}{\ 1+\lambda \ }}+{\frac {12}{\ 2+\lambda \ }}-{\frac {30}{\ 3+\lambda \ }}+{\frac {20}{\ 4+\lambda \ }}\ \right]\ ,}$

${\displaystyle \ell _{5}=~~0\ ,}$

${\displaystyle \ell _{6}={\frac {2}{\ \lambda \ }}\ \left[\ -{\frac {1}{\ 1+\lambda \ }}+{\frac {30}{\ 2+\lambda \ }}-{\frac {210}{\ 3+\lambda \ }}+{\frac {560}{\ 4+\lambda \ }}-{\frac {630}{\ 5+\lambda \ }}+{\frac {252}{\ 6+\lambda \ }}\ \right]~.}$

La distribución lambda de Tukey es en realidad una familia de distribuciones que pueden aproximar varias distribuciones comunes. Por ejemplo,

El uso más común de esta distribución es generar un gráfico PPCC de Tukey lambda para un conjunto de datos . Según el valor de λ con la mejor correlación, como se muestra en el gráfico PPCC , se sugiere un modelo apropiado para los datos. Por ejemplo, si el mejor ajuste de la curva a los datos se produce para un valor de λ igual o cercano a 0,14 , entonces empíricamente los datos podrían modelarse bien con una distribución normal. Los valores de λ menores que 0,14 sugieren una distribución con colas más pesadas.

Un punto de inflexión en λ = 0 ( logística ) indicaría colas bastante gruesas, con el límite extremo en λ = −1 , aproximando las versiones de Cauchy y de muestra pequeña de la t de Student . Es decir, a medida que el valor óptimo de λ varía desde colas delgadas en 0,14 hacia colas gruesas en −1 , se sugiere una función de densidad de probabilidad en forma de campana con colas cada vez más pesadas. De manera similar, un valor óptimo de ajuste de la curva de λ mayor que 0,14 sugiere una distribución con colas excepcionalmente delgadas (basado en el punto de vista de que la distribución normal en sí misma tiene colas delgadas de entrada; la distribución exponencial se suele elegir como ejemplo de colas intermedias entre gruesas y delgadas).

Excepto para valores de λ que se aproximan a 0 y aquellos inferiores, todas las funciones PDF discutidas tienen soporte finito , entre ⁠ − 1 / | λ | ⁠ y ⁠ +1 / | λ | ⁠ .        

Dado que la distribución lambda de Tukey es una distribución simétrica , el uso del gráfico PPCC de lambda de Tukey para determinar una distribución razonable para modelar los datos solo se aplica a distribuciones simétricas. Un histograma de los datos debería proporcionar evidencia sobre si los datos pueden modelarse razonablemente con una distribución simétrica. ^{[ 4 ]}

La distribución lambda generalizada (GLD) generaliza la distribución lambda dividiendo las ocurrencias de λ en el cuantil en dos parámetros de forma (que tienen en cuenta la asimetría), un parámetro de escala y añade un parámetro de localización. Se define mediante la función cuantil ^{[ 5 ].}

${\displaystyle Q_{\text{RS74}}=\lambda _{1}+{\tfrac {1}{\ \lambda _{2}\ }}\left[\ p^{\lambda _{3}}-(1-p)^{\lambda _{4}}\ \right].}$

La función inversa es la función de distribución acumulativa. Esta distribución también tiene expresiones (bastante complejas) para μ , σ y los momentos. ^{[ 5 ]}

La parametrización anterior es la forma original propuesta por Ramberg y Schmeiser; algunas elecciones de λ _3,4 producen funciones cuantil no válidas (una función cuantil no debe ser negativa). ^{[ 6 ] : (Teorema 1.3.33)} Una forma más comúnmente utilizada es FMKL (1988), que es válida siempre que λ 2 > 0;. También hay una variante de FMKL que agrega asimetría. La otra parametrización alternativa es GPD de van Staden y Loots (2009), que tiene expresiones más simples para los L-momentos, una regla simple para la validez de los parámetros y un parámetro de asimetría δ . ^{[ 7 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{\text{FMKL}}=&\ \lambda _{1}+{\tfrac {1}{\ \lambda _{2}\ }}\left[{\frac {p^{\lambda _{3}}-1}{\lambda _{3}}}-{\frac {{(1-p)}^{\lambda _{4}}-1}{\lambda _{4}}}\right]&\ {\mbox{ if }}\ \lambda _{2}>0,\\Q_{\text{GPD}}=&\ \alpha +{\frac {\beta }{\lambda }}\left[(1-\delta )(p^{\lambda }-1)-\delta ({(1-p)}^{\lambda }-1)\right]&\ {\text{ if }}\ \beta >0{\mbox{ and }}-1\leq \delta \leq 1.\end{aligned}}}$

El GLD fue desarrollado por Ramberg y Schmeiser en 1974 para generar números aleatorios para la simulación de Monte Carlo. Otros investigadores lo encontraron útil para ajustar diversas mediciones en las ciencias naturales, las finanzas y la economía. ^{[ 8 ]} Su uso se extendió al campo del control estadístico de calidad y existen procedimientos para utilizarlo en el cálculo de índices de capacidad de proceso . ^{[ 5 ]}

• Distribución de Tukey-Lambda . Galería de distribuciones. Manual de estadística para ingeniería. Laboratorio de Tecnología de la Información del NIST de EE . UU . 1.3.6.6.15. EDA 366F.

 Este artículo incorpora material de dominio público del Instituto Nacional de Estándares y Tecnología.