Teoría probabilística generalizada

Una teoría probabilística generalizada (GPT) es un marco general para describir las características operativas de teorías físicas arbitrarias . Una GPT debe especificar qué tipo de sistemas físicos se pueden encontrar en el laboratorio, así como las reglas para calcular las estadísticas de resultados de cualquier experimento que involucre preparaciones, transformaciones y mediciones etiquetadas. El marco de las GPT se ha utilizado para definir teorías físicas no cuánticas hipotéticas que, no obstante, poseen las características más notables de la teoría cuántica , como el entrelazamiento ^{[1] [2]} o la teletransportación ^[3] . En particular, un pequeño conjunto de axiomas motivados físicamente es suficiente para distinguir la representación GPT de la teoría cuántica. ^{[4] [5] [6] [7]}

El formalismo matemático de las GPT ha sido desarrollado desde los años 1950 y 1960 por muchos autores, y redescubierto de forma independiente varias veces. Las primeras ideas se deben a Segal ^[8] y Mackey ^[9], aunque el primer tratamiento exhaustivo y matemáticamente riguroso se remonta al trabajo de Ludwig, Dähn y Stolz, los tres con base en la Universidad de Marburgo. ^{[10] [11] [12] [13] [14] [15]} Si bien el formalismo en estos trabajos anteriores es menos similar al moderno, ya a principios de los años 1970 las ideas de la escuela de Marburgo habían madurado y la notación se había desarrollado hacia el uso moderno, gracias también a la contribución independiente de Davies y Lewis. ^{[16] [17]} Los libros de Ludwig y las actas de una conferencia celebrada en Marburgo en 1973 ofrecen un relato exhaustivo de estos primeros desarrollos. ^{[18] [4]} El término "teoría probabilística generalizada" fue acuñado por Jonathan Barrett en 2007, ^[19] basándose en la versión del marco introducido por Lucien Hardy. ^[5]

Nótese que algunos autores utilizan el término teoría probabilística operacional (OPT). ^{[6] [20]} Las OPT son una forma alternativa de definir teorías físicas no cuánticas hipotéticas, basadas en el lenguaje de la teoría de categorías , en la que se especifican los axiomas que deben satisfacer las observaciones.

Un GPT se especifica mediante una serie de estructuras matemáticas, a saber:

• una familia de espacios de estados, cada uno de los cuales representa un sistema físico;
• una regla de composición (normalmente corresponde a un producto tensorial ), que especifica cómo se forman los espacios de estados conjuntos;
• un conjunto de mediciones que asignan estados a probabilidades y que generalmente se describen mediante un álgebra de efectos ;
• un conjunto de posibles operaciones físicas, es decir, transformaciones que asignan espacios de estados a espacios de estados.

Se puede argumentar que si uno puede preparar un estado y un estado diferente , entonces también se puede lanzar una moneda (posiblemente sesgada) que caiga en un lado con probabilidad y en el otro con probabilidad y preparar o , dependiendo del lado en el que caiga la moneda. El estado resultante es una mezcla estadística de los estados y y en las GPT tales mezclas estadísticas se describen mediante combinaciones convexas, en este caso . Por esta razón se supone que todos los espacios de estados son conjuntos convexos . Siguiendo un razonamiento similar, se puede argumentar que también el conjunto de resultados de medición y el conjunto de operaciones físicas deben ser convexos. ${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$${\estilo de visualización p}$${\estilo de visualización 1-p}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$${\displaystyle px+(1-p)y}$

Además, siempre se supone que los resultados de las mediciones y las operaciones físicas son mapas afines, es decir, que si es una transformación física, entonces debemos tener y de manera similar para los resultados de las mediciones. Esto se desprende del argumento de que deberíamos obtener el mismo resultado si primero preparamos una mezcla estadística y luego aplicamos la operación física, o si preparamos una mezcla estadística de los resultados de las operaciones físicas. ${\estilo de visualización \Phi}$$${\displaystyle \Phi (px+(1-p)y)=p\Phi (x)+(1-p)\Phi (y)}$$

Nótese que las operaciones físicas son un subconjunto de todos los mapas afines que transforman estados en estados, ya que debemos exigir que una operación física produzca un estado válido incluso cuando se aplica a una parte de un sistema (la noción de "parte" es sutil: se especifica explicando cómo se componen los diferentes tipos de sistemas y cómo los parámetros globales del sistema compuesto se ven afectados por las operaciones locales).

Por razones prácticas, a menudo se supone que una GPT general está incrustada en un espacio vectorial de dimensión finita, aunque existen formulaciones de dimensión infinita. ^{[21] [22]}

La teoría clásica es una teoría de probabilidad general en la que los estados corresponden a distribuciones de probabilidad y tanto las mediciones como las operaciones físicas son mapas estocásticos. Se puede observar que en este caso todos los espacios de estados son símplex .

La teoría de la información cuántica estándar es una teoría de la información cuántica (GPT) en la que los tipos de sistemas se describen mediante un número natural que corresponde a la dimensión del espacio de Hilbert complejo. Los estados de los sistemas de la dimensión del espacio de Hilbert se describen mediante matrices semidefinidas positivas normalizadas, es decir, mediante las matrices de densidad . Las mediciones se identifican con medidas con valores de operador positivo (POVM) y las operaciones físicas son mapas completamente positivos . Los sistemas se componen mediante el producto tensorial de los espacios de Hilbert complejos subyacentes. ${\estilo de visualización D}$${\estilo de visualización D}$

La teoría cuántica real es la teoría cuántica de la información que se obtiene a partir de la teoría de la información cuántica estándar restringiendo la teoría a los espacios de Hilbert reales. No satisface el axioma de la tomografía local. ^[23]

El marco de las teorías de probabilidad cuántica ha proporcionado ejemplos de teorías físicas consistentes que no pueden incorporarse a la teoría cuántica y que, de hecho, presentan características muy poco cuánticas. Una de las primeras fue la teoría Box-world, con correlaciones no locales máximas. ^[19] Otros ejemplos son las teorías con interferencia de tercer orden ^[24] y la familia de teorías de probabilidad cuántica conocidas como bits generalizados. ^[25]

Muchas características que se consideraban puramente cuánticas están presentes en realidad en todas las GPT no clásicas. Entre ellas se incluyen la imposibilidad de transmisión universal, es decir, el teorema de no clonación ; ^[26] la existencia de mediciones incompatibles; ^{[22] [27]} y la existencia de estados entrelazados o mediciones entrelazadas. ^{[1] [2]}

• Fundamentos cuánticos