regresor generado

En los problemas de estimación por mínimos cuadrados , a veces uno o más regresores especificados en el modelo no son observables. Una forma de sortear este problema es estimar o generar regresores a partir de datos observables. ^{[ 1 ]} Este método de regresores generados también es aplicable a variables instrumentales no observadas . Bajo ciertas condiciones de regularidad, se conserva la consistencia y la normalidad asintótica del estimador de mínimos cuadrados, pero la varianza asintótica tiene una forma diferente en general.

Supongamos que el modelo de interés es el siguiente:

${\displaystyle y_{i}=g(x_{1i},x_{2i},\beta )+u_{i}}$

donde g es una función de media condicional y su forma se conoce salvo por un parámetro β de dimensión finita. Aquí${\displaystyle x_{2i}}$no es observable, pero sabemos que${\displaystyle x_{2i}=h(w_{i},\gamma)}$para alguna función h conocida hasta el parámetro${\displaystyle \gamma }$y una muestra aleatoria${\displaystyle y_{i}=g(x_{1i},x_{2i},\beta )+u_{i}}$está disponible. Supongamos que tenemos un estimador consistente.${\displaystyle {\sombrero {\gamma }}}$de${\displaystyle \gamma }$que utiliza la observación${\displaystyle w_{i}}$Entonces, β puede estimarse mediante mínimos cuadrados (no lineales) utilizando${\displaystyle {\sombrero {x_{2i}}}=h(w_{i},{\sombrero {\gamma }})}$. Algunos ejemplos de la configuración anterior incluyen Anderson et al. (1976 ^{[ 2 ]} y Barro (1977). ^{[ 3 ]}

Este problema se enmarca dentro del modelo del estimador M de dos pasos , por lo que la consistencia y la normalidad asintótica del estimador pueden verificarse utilizando la teoría general del estimador M de dos pasos. ^{[ 4 ]} Como en el problema general del estimador M de dos pasos, la varianza asintótica de un estimador de regresores generado suele ser diferente de la del estimador con todos los regresores observados. Sin embargo, en algunos casos especiales, las varianzas asintóticas de los dos estimadores son idénticas. Para dar un ejemplo de ello, consideremos el caso en el que la función de regresión es lineal en el parámetro y el regresor no observado es un escalar. Denotando el coeficiente del regresor no observado por${\displaystyle \delta }$si${\displaystyle \delta =0}$y${\displaystyle E[\triangledown \gamma h(W,\gamma )U]=0}$entonces la varianza asintótica es independiente de si se observa el regresor. ^{[ 4 ]}

Con pequeñas modificaciones en el modelo, la formulación anterior también es aplicable a la estimación de variables instrumentales. Supongamos que el modelo de interés es lineal en parámetros. El término de error está correlacionado con algunos de los regresores, y el modelo especifica algunas variables instrumentales, que no son observables pero tienen la representación${\displaystyle z_{i}=h(w_{i},\gamma)}$. Si un estimador consistente de${\displaystyle \gamma }$de${\displaystyle {\sombrero {\gamma }}}$está disponible usando${\displaystyle {\hat {z}}_{i}=h(w_{i},{\hat {\gamma }})}$Como instrumentos, el parámetro de interés puede estimarse mediante IV. De forma similar al caso anterior, la consistencia y la normalidad asintótica se cumplen bajo condiciones leves, y la varianza asintótica tiene una forma diferente a la del caso IV observado. Sin embargo, existen casos en los que los dos estimadores tienen la misma varianza asintótica. Un ejemplo de este tipo de casos es si${\displaystyle E[\triangledown \gamma h(W,\gamma )]=0[4]}$En este caso especial, la inferencia sobre el parámetro estimado se puede realizar con el estimador de error estándar IV habitual .