Estimador M de dos pasos

Los estimadores M de dos pasos abordan problemas de estimación M que requieren una estimación preliminar para obtener el parámetro de interés. La estimación M de dos pasos difiere del problema de estimación M habitual porque la distribución asintótica del estimador de segundo paso generalmente depende del estimador de primer paso. Considerar este cambio en la distribución asintótica es importante para una inferencia válida.

La clase de estimadores M de dos pasos incluye el estimador de selección de muestra de Heckman , ^{[ 1 ]} mínimos cuadrados no lineales ponderados y mínimos cuadrados ordinarios con regresores generados . ^{[ 2 ]}

Para fijar ideas, deja ${\displaystyle \{W_{i}\}_{i=1}^{n}\subseteq R^{d}}$ser una muestra i.i.d.${\displaystyle \Theta }$y${\displaystyle \Gamma }$son subconjuntos de espacios euclidianos${\displaystyle R^{p}}$y${\displaystyle R^{q}}$, respectivamente. Dada una función${\displaystyle m(;;;):R^{d}\times \Theta \times \Gamma \rightarrow R}$, estimador M de dos pasos ${\displaystyle {\sombrero {\theta }}}$ se define como:

${\displaystyle {\hat {\theta }}:=\arg \max _{\theta \in \Theta }{\frac {1}{n}}\sum _{i}m{\bigl (}W_{i},\theta ,{\hat {\gamma }}{\bigr )}}$

dónde${\displaystyle {\sombrero {\gamma }}}$es una estimación M de un parámetro de perturbación que debe calcularse en el primer paso.

La consistencia de los estimadores M de dos pasos se puede verificar comprobando las condiciones de consistencia para los estimadores M habituales, aunque podría ser necesaria alguna modificación. En la práctica, la condición importante a comprobar es la condición de identificación . ^{[ 2 ]} Si ${\displaystyle {\hat {\gamma }}\rightarrow \gamma ^{*},}$dónde${\displaystyle \gamma ^{*}}$es un vector no aleatorio, entonces la condición de identificación es que ${\displaystyle E[m(W_{1},\theta,\gamma ^{*})]}$tiene un maximizador único sobre${\displaystyle \Theta }$.

Cuando el primer paso es un estimador de máxima verosimilitud , bajo ciertas suposiciones, el estimador M de dos pasos es más asintóticamente eficiente (es decir, tiene una varianza asintótica menor) que el estimador M con un parámetro del primer paso conocido. La consistencia y la normalidad asintótica del estimador se derivan del resultado general sobre los estimadores M de dos pasos. ^{[ 4 ]}

Sea {V _i ,W _i ,Z _i } ⁿ _i=1 una muestra aleatoria y el estimador M de segundo paso${\displaystyle {\widehat {\theta }}}$es lo siguiente:

${\displaystyle {\widehat {\theta }}:={\underset {\theta \in \Theta }{\operatorname {arg\max } }}\sum _{i=1}^{n}m(v_{i},w_{i},z_{i}:\theta ,{\widehat {\gamma }})}$

dónde ${\displaystyle {\widehat {\gamma }}}$es el parámetro estimado por máxima verosimilitud en el primer paso. Para el MLE,

${\displaystyle {\widehat {\gamma }}:={\underset {\gamma \in \Gamma }{\operatorname {arg\max } }}\sum _{i=1}^{n}\log f(v_{it}:z_{i},\gamma )}$

donde f es la densidad condicional de V dado Z. Ahora, supongamos que dado Z , V es condicionalmente independiente de W. Esto se denomina supuesto de independencia condicional o selección en observables. ^{[ 4 ] [ 5 ]} Intuitivamente, esta condición significa que Z es un buen predictor de V, de modo que, una vez condicionado a Z, V no tiene dependencia sistemática de W. Bajo el supuesto de independencia condicional, la varianza asintótica del estimador de dos pasos es:

${\displaystyle \mathrm {E} [\nabla _ {\theta }s(\theta _ {0},\gamma _ {0})]^{-1}\mathrm {E} [g(\theta _ {0},\gamma _ {0})g(\theta _ {0},\gamma _ {0})^{\mathrm {T} }]\mathrm {E} [\nabla _{\theta }s(\theta _{0},\gamma _{0})]^{-1}}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}g(\theta ,\gamma )&:=s(\theta ,\gamma )-\mathrm {E} [\nabla _ {\gamma }s(\theta ,\gamma )]\mathrm {E} [d(\gamma )d(\gamma )^{\mathrm {T} }]^{-1}d(\gamma )\\s(\theta ,\gamma )&:=\nabla _{\theta }m(V,W,Z:\theta ,\gamma )\\d(\gamma )&:=\nabla _{\gamma }\log f(V:Z,\gamma )\end{alineado}}}$

y ∇ representa la derivada parcial con respecto a un vector fila . En el caso en que γ ₀ es conocido, la varianza asintótica es

${\displaystyle \mathrm {E} [\nabla _ {\theta }s(\theta _ {0},\gamma _ {0})]^{-1}\mathrm {E} [s(\theta _ {0},\gamma _ {0})s(\theta _ {0},\gamma _ {0})^{\mathrm {T} }]\mathrm {E} [\nabla _{\theta }s(\theta _{0},\gamma _{0})]^{-1}}$

y por lo tanto, a menos que${\displaystyle \mathrm {E} [\nabla _ {\gamma }s(\theta,\gamma )]=0}$_{El estimador M de} dos pasos es más eficiente que el estimador M habitual. Esto sugiere que, incluso cuando γ₀ se conoce a priori, se obtiene una ganancia de eficiencia al estimar γ mediante MLE. Una aplicación de este resultado se encuentra, por ejemplo, en la estimación del efecto del tratamiento. ^{[ 4 ]}

• regresor generado
• Corrección de Heckman
• Mínimos cuadrados generalizados factibles
• Método generalizado factible de dos pasos de los momentos

• Estimador adaptativo