Generador (matemáticas)

Las quintas raíces de la unidad en el plano complejo, bajo la multiplicación, forman un grupo de orden 5. Cada elemento distinto de la unidad es, por sí mismo, un generador para todo el grupo.

En matemáticas y física , el término generador o conjunto generador puede referirse a diversos conceptos relacionados. En todos los casos, el concepto subyacente es el de un conjunto más pequeño de objetos, junto con un conjunto de operaciones que se le pueden aplicar, que dan como resultado la creación de una colección mayor de objetos, denominada conjunto generado . Se dice entonces que el conjunto mayor es generado por el conjunto menor. Generalmente, el conjunto generador tiene un conjunto de propiedades más simple que el conjunto generado, lo que facilita su análisis. Por lo general, las propiedades del conjunto generador se conservan de alguna manera durante el proceso de generación; asimismo, las propiedades del conjunto generado suelen reflejarse en el conjunto generador.

Lista de generadores

A continuación se presenta una lista de ejemplos de conjuntos generadores.

Conjunto generador o conjunto de expansión de un espacio vectorial : un conjunto que genera el espacio vectorial.
Conjunto generador de un grupo : un subconjunto de un grupo que no está contenido en ningún otro subgrupo del grupo que no sea el grupo completo.
Conjunto generador de un anillo : Un subconjunto S de un anillo A genera A si el único subanillo de A que contiene a S es A.
Conjunto generador de un ideal en un anillo
Generación de un conjunto de módulos
En teoría de categorías , un generador es un objeto que puede utilizarse para distinguir morfismos.
En topología , una colección de conjuntos que generan la topología se denomina subbase.
Conjunto generador de un álgebra topológica : S es un conjunto generador de un álgebra topológica A si la subálgebra cerrada más pequeña de A que contiene a S es A.
Generación de un σ-álgebra mediante una colección de subconjuntos.

Ecuaciones diferenciales

En el estudio de las ecuaciones diferenciales , y comúnmente en las de física , se utiliza la idea de un conjunto de desplazamientos infinitesimales que pueden extenderse para obtener una variedad , o al menos una parte local de ella, mediante la integración. El concepto general consiste en emplear la función exponencial para tomar los vectores del espacio tangente y extenderlos, como geodésicas , a un conjunto abierto que rodea el punto de tangencia. En este caso, es habitual denominar a los elementos del espacio tangente como generadores de la variedad. Cuando la variedad posee algún tipo de simetría, también existe la noción relacionada de carga o corriente , que a veces también se denomina generador, aunque, estrictamente hablando, las cargas no son elementos del espacio tangente.

Los elementos del álgebra de Lie de un grupo de Lie se denominan a veces "generadores del grupo", especialmente por los físicos. ^{[ 1 ]} El álgebra de Lie puede considerarse como los vectores infinitesimales que generan el grupo, al menos localmente, mediante la aplicación exponencial , pero el álgebra de Lie no forma un conjunto generador en sentido estricto. ^{[ 2 ]}
En el análisis estocástico , una difusión de Itō o un proceso de Itō más general tiene un generador infinitesimal .
El generador de cualquier simetría continua implícita en el teorema de Noether , siendo los generadores de un grupo de Lie un caso especial. En este caso, un generador a veces se denomina carga o carga de Noether ; algunos ejemplos son:
- momento angular como generador de rotaciones , ^{[ 3 ]}
- momento lineal como generador de traslaciones , ^{[ 3 ]}
- La carga eléctrica es el generador del grupo de simetría U(1) del electromagnetismo ,
- Las cargas de color de los quarks son los generadores de la simetría de color SU(3) en la cromodinámica cuántica ,
Más precisamente, el término "acusación" debería aplicarse únicamente al sistema raíz de un grupo Lie.

Véase también

Referencias

↑ McMahon, D. (2008). Teoría cuántica de campos . McGraw Hill. ISBN 978-0-07-154382-8.
↑ Parker, CB (1994). Enciclopedia de Física de McGraw Hill (2.ª ed.). McGraw Hill. ISBN 0-07-051400-3.
^ Abers , E. (2004). Mecánica Cuántica . Addison Wesley. ISBN 978-0-131-461000.

Enlaces externos

Conjuntos generadores, K. Conrad

[1] McMahon, D. (2008). Teoría cuántica de campos . McGraw Hill. ISBN 978-0-07-154382-8.

[2] Parker, CB (1994). Enciclopedia de Física de McGraw Hill (2.ª ed.). McGraw Hill. ISBN 0-07-051400-3.

[Abers04-3] Abers , E. (2004). Mecánica Cuántica . Addison Wesley. ISBN 978-0-131-461000.

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