cálculo de Itô

El cálculo de Itô , que recibe su nombre de Kiyosi Itô , extiende los métodos del cálculo a procesos estocásticos como el movimiento browniano (véase el proceso de Wiener ). Tiene importantes aplicaciones en finanzas matemáticas , en ecuaciones diferenciales estocásticas y, más recientemente, incluso en aprendizaje automático .

El concepto central es la integral estocástica de Itô, una generalización estocástica de la integral de Riemann-Stieltjes en análisis. Los integrandos y los integradores son ahora procesos estocásticos: $${\displaystyle Y_{t}=\int _{0}^{t}H_{s}\,dX_{s},}$$ donde H es un proceso localmente integrable al cuadrado adaptado a la filtración generada por X ( Revuz & Yor 1999 , Capítulo IV) , que es un movimiento browniano o, más generalmente, una semimartingala . El resultado de la integración es entonces otro proceso estocástico. Concretamente, la integral de 0 a cualquier t particular es una variable aleatoria , definida como un límite de una cierta secuencia de variables aleatorias. Las trayectorias del movimiento browniano no satisfacen los requisitos para poder aplicar las técnicas estándar del cálculo. Así, con el integrando un proceso estocástico, la integral estocástica de Itô equivale a una integral con respecto a una función que no es diferenciable en ningún punto y tiene variación infinita en cada intervalo de tiempo. La idea principal es que la integral puede definirse siempre que el integrando H esté adaptado , lo que en términos generales significa que su valor en el tiempo t solo puede depender de la información disponible hasta ese momento. En términos generales, se elige una secuencia de particiones del intervalo de 0 a t y se construyen sumas de Riemann . Cada vez que calculamos una suma de Riemann, utilizamos una instancia particular del integrador. Es crucial determinar qué punto de cada intervalo pequeño se usa para calcular el valor de la función. El límite se toma entonces en probabilidad cuando la malla de la partición tiende a cero. Se deben considerar numerosos detalles técnicos para demostrar que este límite existe y es independiente de la secuencia particular de particiones. Normalmente, se utiliza el extremo izquierdo del intervalo.

Entre los resultados importantes del cálculo de Itô se incluyen la fórmula de integración por partes y el lema de Itô , que es una fórmula de cambio de variables . Estas difieren de las fórmulas del cálculo estándar debido a los términos de variación cuadrática . Esto se puede contrastar con la integral de Stratonovich como formulación alternativa; esta sí sigue la regla de la cadena y no requiere el lema de Itô. Ambas formas integrales se pueden convertir una en la otra. La integral de Stratonovich se obtiene como la forma límite de una suma de Riemann que emplea el promedio de la variable estocástica en cada pequeño paso de tiempo, mientras que la integral de Itô la considera solo al principio.

En finanzas matemáticas , la estrategia de evaluación de la integral descrita se conceptualiza como la decisión inicial de qué hacer y la posterior observación del cambio en los precios. El integrando representa la cantidad de acciones que poseemos, el integrador representa el movimiento de los precios y la integral es la cantidad total de dinero que tenemos, incluyendo el valor de nuestras acciones, en un momento dado. Los precios de las acciones y otros activos financieros negociados pueden modelarse mediante procesos estocásticos como el movimiento browniano o, más frecuentemente, el movimiento browniano geométrico (véase Black-Scholes ). Entonces, la integral estocástica de Itô representa la ganancia de una estrategia de negociación en tiempo continuo que consiste en mantener una cantidad H _t de acciones en el tiempo t . En esta situación, la condición de que H sea adaptativa corresponde a la restricción necesaria de que la estrategia de negociación solo puede utilizar la información disponible en cada momento. Esto evita la posibilidad de obtener ganancias ilimitadas mediante la clarividencia : comprar acciones justo antes de cada subida del mercado y vender antes de cada bajada. De manera similar, la condición de que H sea adaptada implica que la integral estocástica no divergirá cuando se calcule como un límite de sumas de Riemann ( Revuz & Yor 1999 , Capítulo IV) .

El proceso Y definido anteriormente como $${\displaystyle Y_{t}=\int _{0}^{t}H\,dX\equiv \int _{0}^{t}H_{s}\,dX_{s},}$$ es en sí mismo un proceso estocástico con parámetro de tiempo t , que también se escribe a veces como Y = H · X ( Rogers y Williams 2000 ) . Alternativamente, la integral se escribe a menudo en forma diferencial dY = H dX , que es equivalente a Y − Y ₀ = H · X. Como el cálculo de Itô se ocupa de procesos estocásticos de tiempo continuo, se supone que se da un espacio de probabilidad filtrado subyacente.$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0},\mathbb {P} ).}$$ El álgebra σ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$representa la información disponible hasta el tiempo t , y un proceso X se adapta si X _t es${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$-medible. Se entiende que un movimiento browniano B es un${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$-Movimiento browniano, que es simplemente un movimiento browniano estándar con las propiedades de que B _t es${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$-medible y que B _{t + s} − B _t es independiente de${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$para todo s , t ≥ 0 ( Revuz y Yor 1999 ) .

La integral de Itô se puede definir de manera similar a la integral de Riemann-Stieltjes , es decir, como un límite en probabilidad de sumas de Riemann ; dicho límite no necesariamente existe en cada trayectoria. Supongamos que B es un proceso de Wiener (movimiento browniano) y que H es un proceso continuo por la derecha ( càdlàg ), adaptado y localmente acotado. Si${\displaystyle \{\pi _{n}\}}$ es una secuencia de particiones de [ 0, t ] con ancho de malla que tiende a cero, entonces la integral de Itô de H con respecto a B hasta el tiempo t es una variable aleatoria$${\displaystyle \int _{0}^{t}H\,dB=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{[t_{i-1},t_{i}]\in \pi _{n}}H_{t_{i-1}}(B_{t_{i}}-B_{t_{i-1}}).}$$

Se puede demostrar que este límite converge en probabilidad .

Para algunas aplicaciones, como los teoremas de representación de martingalas y los tiempos locales , se necesita la integral para procesos que no son continuos. Los procesos predecibles forman la clase más pequeña que es cerrada al tomar límites de secuencias y contiene todos los procesos adaptados continuos por la izquierda. Si H es cualquier proceso predecible tal que ∫ ₀ ^t H ² ds < ∞ para todo t ≥ 0, entonces se puede definir la integral de H con respecto a B , y se dice que H es B -integrable. Cualquier proceso de este tipo puede aproximarse mediante una secuencia H _n de procesos continuos por la izquierda, adaptados y localmente acotados, en el sentido de que $${\displaystyle \int _{0}^{t}(H-H_{n})^{2}\,ds\to 0}$$ en probabilidad. Entonces, la integral de Itô es $${\displaystyle \int _{0}^{t}H\,dB=\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{t}H_{n}\,dB}$$ donde, de nuevo, se puede demostrar que el límite converge en probabilidad. La integral estocástica satisface la isometría de Itô.$${\displaystyle \mathbb {E} \left[\left(\int _{0}^{t}H_{s}\,dB_{s}\right)^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H_{s}^{2}\,ds\right]}$$ lo cual se cumple cuando H está acotada o, más generalmente, cuando la integral del lado derecho es finita.

Un proceso de Itô se define como un proceso estocástico adaptado que puede expresarse como la suma de una integral con respecto al movimiento browniano y una integral con respecto al tiempo, $${\displaystyle X_{t}=X_{0}+\int _{0}^{t}\sigma _{s}\,dB_{s}+\int _{0}^{t}\mu _{s}\,ds.}$$

Aquí, B es un movimiento browniano y se requiere que σ sea un proceso B -integrable predecible, y μ sea predecible e integrable ( Lebesgue ). Es decir, $${\displaystyle \int _{0}^{t}(\sigma _{s}^{2}+|\mu _{s}|)\,ds<\infty }$$ para cada t . La integral estocástica puede extenderse a tales procesos de Itô, $${\displaystyle \int _{0}^{t}H\,dX=\int _{0}^{t}H_{s}\sigma _{s}\,dB_{s}+\int _{0}^{t}H_{s}\mu _{s}\,ds.}$$

Esto se define para todos los integrandos localmente acotados y predecibles. De manera más general, se requiere que Hσ sea B- integrable y Hμ sea Lebesgue integrable, de modo que $${\displaystyle \int _{0}^{t}\left(H^{2}\sigma ^{2}+|H\mu |\right)ds<\infty .}$$ Estos procesos predecibles H se denominan X -integrables.

Un resultado importante para el estudio de los procesos de Itô es el lema de Itô . En su forma más simple, para cualquier función f dos veces continuamente diferenciable en los números reales y proceso de Itô X como se describió anteriormente, establece que${\displaystyle Y_{t}=f(X_{t})}$es en sí mismo un proceso Itô satisfactorio $${\displaystyle dY_{t}=f^{\prime }(X_{t})\mu _{t}\,dt+{\tfrac {1}{2}}f^{\prime \prime }(X_{t})\sigma _{t}^{2}\,dt+f^{\prime }(X_{t})\sigma _{t}\,dB_{t}.}$$

Esta es la versión en cálculo estocástico de la fórmula de cambio de variables y la regla de la cadena . Se diferencia del resultado estándar debido al término adicional que involucra la segunda derivada de f , que proviene de la propiedad de que el movimiento browniano tiene una variación cuadrática no nula .

La integral de Itô se define con respecto a una semimartingala X. Estos son procesos que pueden descomponerse como X = M + A para una martingala local M y un proceso de variación finita A. Ejemplos importantes de tales procesos incluyen el movimiento browniano , que es una martingala , y los procesos de Lévy . Para un proceso H continuo por la izquierda, localmente acotado y adaptado, la integral H · X existe y puede calcularse como un límite de sumas de Riemann. Sea π _n una secuencia de particiones de [ 0, t ] con malla que tiende a cero,  $${\displaystyle \int _{0}^{t}H\,dX=\lim _{n\to \infty }\sum _{t_{i-1},t_{i}\in \pi _{n}}H_{t_{i-1}}(X_{t_{i}}-X_{t_{i-1}}).}$$

Este límite converge en probabilidad. La integral estocástica de procesos continuos por la izquierda es suficientemente general para estudiar gran parte del cálculo estocástico. Por ejemplo, es suficiente para aplicaciones del lema de Itô, cambios de medida mediante el teorema de Girsanov y para el estudio de ecuaciones diferenciales estocásticas . Sin embargo, resulta insuficiente para otros temas importantes como los teoremas de representación de martingalas y los tiempos locales .

La integral se extiende a todos los integrandos predecibles y localmente acotados, de una manera única, de modo que se cumple el teorema de convergencia dominada . Es decir, si H _n → H y | H _n | ≤ J para un proceso localmente acotado J , entonces  $${\displaystyle \int _{0}^{t}H_{n}\,dX\to \int _{0}^{t}H\,dX,}$$ en probabilidad. La unicidad de la extensión de integrandos continuos por la izquierda a integrandos predecibles es resultado del lema de la clase monótona .

En general, la integral estocástica H · X puede definirse incluso en casos donde el proceso predecible H no está acotado localmente. Si K = 1 / (1 + | H | ) , entonces K y KH están acotados. La asociatividad de la integración estocástica implica que H es X -integrable, con la integral H · X = Y , si y solo si Y ₀ = 0 y K · Y = ( KH ) · X . El conjunto de procesos X -integrables se denota por L ( X ) .

Las siguientes propiedades se pueden encontrar en trabajos como ( Revuz & Yor 1999 ) y ( Rogers & Williams 2000 ) :

• La integral estocástica es un proceso càdlàg . Además, es una semimartingala .
• Las discontinuidades de la integral estocástica vienen dadas por los saltos del integrador multiplicados por el integrando. El salto de un proceso càdlàg en un instante t es X _t − X _t− , y a menudo se denota por Δ X _t . Con esta notación, Δ( H · X ) = H Δ X . Una consecuencia particular de esto es que las integrales con respecto a un proceso continuo son siempre continuas.
• Asociatividad . Sean J y K procesos predecibles, y K sea X- integrable. Entonces, J es K · X integrable si y solo si JK es X -integrable, en cuyo caso$${\displaystyle J\cdot (K\cdot X)=(JK)\cdot X}$$
• Convergencia dominada . Supongamos que H _n → H y | H _n | ≤ J , donde J es unproceso X -integrable. Entonces H _n · X → H · X . La convergencia es en probabilidad en cada instante t . De hecho, converge uniformemente en conjuntos compactos en probabilidad. 
• La integral estocástica conmuta con la operación de tomar covariaciones cuadráticas. Si X e Y son semimartingalas, entonces cualquier proceso X -integrable también será [ X , Y ] -integrable, y [ H · X , Y ] = H · [ X , Y ] . Una consecuencia de esto es que el proceso de variación cuadrática de una integral estocástica es igual a una integral de un proceso de variación cuadrática.$${\displaystyle [H\cdot X]=H^{2}\cdot [X]}$$

Al igual que en el cálculo ordinario, la integración por partes es un resultado importante en el cálculo estocástico. La fórmula de integración por partes para la integral de Itô difiere del resultado estándar debido a la inclusión de un término de covarianza cuadrática . Este término proviene del hecho de que el cálculo de Itô trata procesos con variación cuadrática no nula, lo que solo ocurre para procesos de variación infinita (como el movimiento browniano). Si X e Y son semimartingalas, entonces $${\displaystyle X_{t}Y_{t}=X_{0}Y_{0}+\int _{0}^{t}X_{s-}\,dY_{s}+\int _{0}^{t}Y_{s-}\,dX_{s}+[X,Y]_{t}}$$ donde [ X , Y ] es el proceso de covarianza cuadrática.

El resultado es similar al teorema de integración por partes para la integral de Riemann-Stieltjes , pero tiene un término de variación cuadrática adicional .

El lema de Itô es la versión de la regla de la cadena o fórmula de cambio de variables que se aplica a la integral de Itô. Es uno de los teoremas más poderosos y frecuentemente utilizados en el cálculo estocástico. Para una semimartingala continua n- dimensional X = ( X ¹ ,..., X ⁿ ) y una función f dos veces continuamente diferenciable de R ⁿ a R , establece que f ( X ) es una semimartingala y, $${\displaystyle df(X_{t})=\sum _{i=1}^{n}f_{i}(X_{t})\,dX_{t}^{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{n}f_{i,j}(X_{t})\,d[X^{i},X^{j}]_{t}.}$$ Esto difiere de la regla de la cadena utilizada en el cálculo estándar debido al término que involucra la covariación cuadrática [ X ⁱ , X ^j ] . La fórmula se puede generalizar para incluir una dependencia temporal explícita en${\displaystyle f,}$y de otras maneras (véase el lema de Itô ).

Las demostraciones de que la integral de Itô está bien definida suelen proceder examinando primero integrandos muy simples, como procesos constantes a trozos, continuos por la izquierda y adaptados donde la integral se puede escribir explícitamente. Dichos procesos simples y predecibles son combinaciones lineales de términos de la forma H _t = A 1 _{{ t > T }} para tiempos de parada T y variables aleatorias A medibles _{por T} , para las cuales la integral es $${\displaystyle H\cdot X_{t}\equiv \mathbf {1} _{\{t>T\}}A(X_{t}-X_{T}).}$$ Esto se extiende a todos los procesos simples y predecibles mediante la linealidad de H · X en H.

Para un movimiento browniano B , la propiedad de que tiene incrementos independientes con media cero y varianza Var( B _t ) = t puede usarse para demostrar la isometría de Itô para integrandos simples predecibles, $${\displaystyle \mathbb {E} \left[(H\cdot B_{t})^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H_{s}^{2}\,ds\right].}$$ Mediante una extensión lineal continua , la integral se extiende de forma única a todos los integrandos predecibles que satisfacen $${\displaystyle \mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H^{2}\,ds\right]<\infty ,}$$ De tal forma que la isometría de Itô se mantenga. Posteriormente, se puede extender a todos los procesos B- integrables mediante localización . Este método permite definir la integral con respecto a cualquier proceso de Itô.

Para una semimartingala general X , se puede utilizar la descomposición X = M + A en una martingala local M más un proceso de variación finita A. Entonces, se puede demostrar que la integral existe por separado con respecto a M y A , y combinarlas mediante la linealidad, H · X = H · M + H · A , para obtener la integral con respecto a X. La integral estándar de Lebesgue-Stieltjes permite definir la integración con respecto a procesos de variación finita, por lo que la existencia de la integral de Itô para semimartingalas se deduce de cualquier construcción para martingalas locales.

Para una martingala càdlàg integrable al cuadrado M , se puede utilizar una forma generalizada de la isometría de Itô. Primero, se utiliza el teorema de descomposición de Doob-Meyer para demostrar que existe una descomposición M ² = N + ⟨ M ⟩ , donde N es una martingala y ⟨ M ⟩ es un proceso continuo por la derecha, creciente y predecible que comienza en cero. Esto define de forma única ⟨ M ⟩ , que se denomina variación cuadrática predecible de M. La isometría de Itô para martingalas integrables al cuadrado es entonces $${\displaystyle \mathbb {E} \left[(H\cdot M_{t})^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H_{s}^{2}\,d\langle M\rangle _{s}\right],}$$ lo cual puede demostrarse directamente para integrandos simples y predecibles. Al igual que en el caso anterior del movimiento browniano, se puede utilizar una extensión lineal continua para extender de forma única a todos los integrandos predecibles que satisfacen E [ H ² · ⟨ M ⟩ _t ] < ∞ . Este método puede extenderse a todas las martingalas locales de cuadrado integrable mediante localización. Finalmente, la descomposición de Doob-Meyer puede utilizarse para descomponer cualquier martingala local en la suma de una martingala local de cuadrado integrable y un proceso de variación finita, lo que permite construir la integral de Itô con respecto a cualquier semimartingala.

Existen muchas otras demostraciones que aplican métodos similares pero que evitan la necesidad de utilizar el teorema de descomposición de Doob-Meyer, como el uso de la variación cuadrática [ M ] en la isometría de Itô, el uso de la medida de Doléans para submartingalas o el uso de las desigualdades de Burkholder-Davis-Gundy en lugar de la isometría de Itô. Esta última se aplica directamente a las martingalas locales sin tener que abordar primero el caso de la martingala de cuadrado integrable.

Existen pruebas alternativas que solo utilizan el hecho de que X es càdlàg, adaptado, y el conjunto { H · X _t :  | H | ≤ 1 es previsible simple} está acotado en probabilidad para cada tiempo t , lo que es una definición alternativa para que X sea una semimartingala. Se puede usar una extensión lineal continua para construir la integral para todos los integrandos continuos por la izquierda y adaptados con límites por la derecha en todas partes (caglad o procesos L). Esto es lo suficientemente general como para poder aplicar técnicas como el lema de Itô ( Protter 2004 ) . Además, se puede usar una desigualdad de Khintchine para probar el teorema de convergencia dominada y extender la integral a integrandos predecibles generales ( Bichteler 2002 ) .

El cálculo de Itô se define ante todo como un cálculo integral, tal como se ha descrito anteriormente. Sin embargo, también existen diferentes nociones de "derivada" con respecto al movimiento browniano:

En física, se suelen utilizar ecuaciones diferenciales estocásticas (EDE), como las ecuaciones de Langevin , en lugar de integrales estocásticas. Aquí, una ecuación diferencial estocástica (EDE) de Itô se formula a menudo mediante $${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=h_{k}+g_{kl}\xi _{l},}$$ dónde${\displaystyle \xi _{j}}$es ruido blanco gaussiano con $${\displaystyle \langle \xi _{k}(t_{1})\,\xi _{l}(t_{2})\rangle =\delta _{kl}\delta (t_{1}-t_{2})}$$ y se utiliza la convención de suma de Einstein .

Si${\displaystyle y=y(x_{k})}$es una función de x _k , entonces se debe usar el lema de Itô :$${\displaystyle {\dot {y}}={\frac {\partial y}{\partial x_{j}}}{\dot {x}}_{j}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial x_{k}\,\partial x_{l}}}g_{km}g_{ml}.}$$

Una EDE de Itô como la anterior también corresponde a una EDE de Stratonovich que se lee: $${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=h_{k}+g_{kl}\xi _{l}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial g_{kl}}{\partial {x_{m}}}}g_{ml}.}$$

Las EDE aparecen frecuentemente en física en forma de Stratonovich, como límites de ecuaciones diferenciales estocásticas impulsadas por ruido coloreado cuando el tiempo de correlación del término de ruido tiende a cero. Para un tratamiento reciente de diferentes interpretaciones de ecuaciones diferenciales estocásticas, véase, por ejemplo, ( Lau y Lubensky, 2007 ) .