Fórmula de género-grado

En la geometría algebraica clásica , la fórmula género-grado relaciona el grado${\displaystyle d}$de una curva plana irreducible${\displaystyle C}$con su género aritmético${\displaystyle g}$mediante la fórmula:

${\displaystyle g={\frac {1}{2}}(d-1)(d-2).}$

Aquí "curva plana" significa que${\displaystyle C}$es una curva cerrada en el plano proyectivo${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$. Si la curva no es singular, entonces el género geométrico y el género aritmético son iguales, pero si la curva es singular, con solo singularidades ordinarias, entonces el género geométrico es menor. Más precisamente, una singularidad ordinaria de multiplicidad${\displaystyle r}$disminuye el género en${\displaystyle {\frac {1}{2}}r(r-1)}$. ^{[ 1 ]}

Las curvas elípticas se parametrizan mediante funciones elípticas de Weierstrass . Dado que estas funciones de parametrización son doblemente periódicas, la curva elíptica puede identificarse con un paralelogramo periódico cuyos lados están unidos, es decir, un toroide. Por lo tanto, el género de una curva elíptica es 1. La fórmula género-grado es una generalización de este hecho a curvas de mayor género. La idea básica sería utilizar ecuaciones de mayor grado. Consideremos la ecuación cuártica.$${\displaystyle \left(y^{2}-x(x-1)(x-2)\right)\,(5y-x)+\epsilon x=0.}$$Para valores pequeños distintos de cero${\displaystyle \varepsilon }$Esto da como resultado la curva no singular. Sin embargo, cuando${\displaystyle \varepsilon =0}$, esto es$${\displaystyle \left(y^{2}-x(x-1)(x-2)\right)\,(5y-x)=0,}$$una curva reducible (la unión de una cúbica no singular y una recta). Cuando se suman los puntos del infinito, obtenemos una recta que interseca a la cúbica en 3 puntos. La imagen compleja de esta curva reducible se parece a un toro y una esfera que se tocan en 3 puntos. Como${\displaystyle \varphi }$Cuando los valores cambian a valores distintos de cero, los puntos de contacto se abren formando tubos que conectan el toroide y la esfera, añadiendo dos asas al toroide, lo que da como resultado una curva de género 3.

En general, si${\displaystyle g(d)}$es el género de una curva de grado${\displaystyle d}$curva no singular, luego procediendo como arriba, obtenemos una curva no singular de grado${\displaystyle d+1}$por${\displaystyle \varepsilon }$-suavizar la unión de una curva de grado${\displaystyle d}$y una línea. La línea se encuentra con el grado${\displaystyle d}$curva en${\displaystyle d}$puntos, por lo que esto lleva a la recursión$${\displaystyle g(d+1)=g(d)+d-1,\quad g(1)=0.}$$Esta recursión tiene la solución${\displaystyle g(d)={\frac {1}{2}}(d-1)(d-2)}$.

La fórmula de género-grado se puede demostrar a partir de la fórmula de adjunción ; para más detalles, véase Fórmula de adjunción §  Aplicaciones a curvas . ^{[ 2 ]}

Para una hipersuperficie no singular${\displaystyle H}$de grado${\displaystyle d}$en el espacio proyectivo${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$del género aritmético${\displaystyle g}$La fórmula queda así:

${\displaystyle g={\binom {d-1}{n}},\,}$

dónde${\displaystyle {\tbinom {d-1}{n}}}$es el coeficiente binomial .

• Conjetura de Thom

• Este artículo incorpora material del artículo de Citizendium " Fórmula de grado de género ", que está bajo la licencia Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported , pero no bajo la GFDL .
• Enrico Arbarello , Maurizio Cornalba, Phillip Griffiths , Joe Harris . Geometría de curvas algebraicas. vol. 1 Springer, ISBN 0-387-90997-4, apéndice A.
• Phillip Griffiths y Joe Harris , Principios de geometría algebraica, Wiley, ISBN 0-471-05059-8, capítulo 2, sección 1.
• Robin Hartshorne (1977): Geometría algebraica , Springer, ISBN 0-387-90244-9.
• Kulikov, Viktor S. (2001) [1994], "Género de una curva" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press