Conjetura de Thom

En matemáticas , una curva algebraica suave${\displaystyle C}$en el plano proyectivo complejo , de grado${\displaystyle d}$, tiene género dado por la fórmula género-grado

${\displaystyle g=(d-1)(d-2)/2}$.

La conjetura de Thom , que recibe su nombre del matemático francés René Thom , afirma que si${\displaystyle \Sigma }$es cualquier curva conectada suavemente incrustada que representa la misma clase en homología que${\displaystyle C}$, entonces el género${\displaystyle g}$de${\displaystyle \Sigma }$satisface la desigualdad

${\displaystyle g\geq (d-1)(d-2)/2}$.

En particular, C es conocido como un representante minimizador de género de su clase de homología. Fue demostrado por primera vez por Peter Kronheimer y Tomasz Mrowka en octubre de 1994, ^{[ 1 ]} utilizando los entonces nuevos invariantes de Seiberg-Witten .

Suponiendo que${\displaystyle \Sigma }$tiene un número de autointersección no negativo , esto fue generalizado a variedades de Kähler (un ejemplo es el plano proyectivo complejo) por John Morgan , Zoltán Szabó y Clifford Taubes , ^{[ 2 ]} también usando los invariantes de Seiberg-Witten.

Existe al menos una generalización de esta conjetura, conocida como la conjetura simpléctica de Thom (que ahora es un teorema, como demostraron, por ejemplo, Peter Ozsváth y Szabó en 2000 ^{[ 3 ]} ). Esta afirma que una superficie simpléctica de una 4-variedad simpléctica minimiza el género dentro de su clase de homología. Esto implicaría el resultado anterior, ya que las curvas algebraicas (dimensión compleja 1, dimensión real 2) son superficies simplécticas dentro del plano proyectivo complejo, que es una 4-variedad simpléctica.

• Fórmula de la adjunción
• Conjetura de Milnor (topología)